Nachbereitung 2.1.2020

20200102/README.md

+Spezial-Vorlesung am 2.1.2020: Quantencomputer
+==============================================
+
+Die Sicherheit aktueller Verschlüsselungsverfahren beruht auf der
+Schwierigkeit, bestimmte mathematische Probleme zu lösen (Beispiel:
+RSA-Verfahren – Primfaktorzerlegung).
+
+Im September 2019 meldete Google einen Durchbruch beim Bau eines
+_Quantencomputers_.  Mit Hilfe derartiger Systeme lassen sich die
+o.a. mathematischen Probleme in erheblich kürzerer Zeit lösen.
+Dies stellt die weltweite Datensicherheit in Frage.
+
+Dieser Vortrag soll beleuchten, wie Quantencomputer grundsätzlich
+funktionieren und skizzieren, auf welche Weise man damit aktuelle
+Verschlüsselungsverfahren (am Beispiel des RSA-Verfahrens) brechen
+kann. Desweiteren wird darauf eingegangen, welche Rollen
+Datensicherheit und Datenschutz in unserem Alltag spielen.
+
+Vorkenntnisse: Vektorrechnung, komplexe Zahlen  
+Uhrzeit und Raum: 15:45 bis ca. 17:15 Uhr, Seminarraum 3-30  
+Im Anschluß laden wir ein zu einer Diskussions- und Fragestunde.

20200102/hp-20200102.tex

+% hp-20120102.pdf - Lecture Slides on Low-Level Programming
+% Copyright (C) 2012, 2013, 2015, 2016, 2017, 2018, 2019, 2020  Peter Gerwinski
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+% document.  If not, see <http://creativecommons.org/licenses/>.
+
+% README: Quantencomputer, Datensicherheit und Datenschutz
+
+\documentclass[10pt,t,fleqn]{beamer}
+
+\usepackage{pgslides}
+\usepackage{tikz}
+
+\usefonttheme[onlymath]{serif}
+
+\title{Hardwarenahe Programmierung}
+\author{Prof.\ Dr.\ rer.\ nat.\ Peter Gerwinski}
+\date{2.\ Januar 2020}
+
+\begin{document}
+
+\maketitleframe
+
+\nosectionnonumber{\inserttitle}
+
+\begin{frame}
+
+  \shownosectionnonumber
+
+  \begin{itemize}
+    \item[\textbf{1}] \textbf{Einführung}
+      \hfill\makebox(0,0)[br]{\raisebox{2.25ex}{\url{https://gitlab.cvh-server.de/pgerwinski/hp}}}
+    \item[\textbf{2}] \textbf{Einführung in C}
+    \item[\textbf{3}] \textbf{Bibliotheken}
+    \item[\textbf{4}] \textbf{Hardwarenahe Programmierung}
+      \begin{itemize}
+        \vspace*{-0.1cm}
+        \item[\dots]
+%        \item[4.3] Interrupts
+%        \item[4.4] volatile-Variable
+        \item[4.6] Byte-Reihenfolge -- Endianness
+        \color{medgreen}
+        \item[4.7] Binärdarstellung negativer Zahlen
+        \item[4.8] Speicherausrichtung -- Alignment
+      \end{itemize}
+    \item[\textbf{5}] \textbf{Algorithmen}
+      \begin{itemize}
+        \item[5.1] Differentialgleichungen
+        \item[5.2] Rekursion
+        \color{magenta}
+        \item[5.3] Aufwandsabschätzungen
+        \item[5.\hbox to 0.56em{\boldmath$\frac{1+i}{\sqrt2}$}]\hspace*{0.90em}Quantencomputer
+%        \vspace*{-0.1cm}
+        \item[\dots]
+      \end{itemize}
+    \vspace*{-\smallskipamount}
+    \item[\textbf{\dots}]
+  \end{itemize}
+
+\end{frame}
+
+\setcounter{section}{4}
+\section{Algorithmen}
+\setcounter{subsection}{2}
+\subsection{Aufwandsabschätzungen \protect\color{gray}-- Komplexitätsanalyse}
+
+\begin{frame}[fragile]
+
+%  \newcommand{\w}{\hspace*{0.75pt}}
+
+  \showsubsection
+
+  \begin{picture}(0,0)
+    \put(7.6,-0.5){%
+      \begin{minipage}[t]{5.3cm}
+%        \vspace*{-1.0cm}\includegraphics{landau-symbols.pdf}
+        \vspace*{-1.0cm}\alt<3->{\includegraphics{landau-symbols-3.pdf}}%
+                       {\alt<2->{\includegraphics{landau-symbols-2.pdf}}%
+                                {\includegraphics{landau-symbols.pdf}}}
+        \small
+        \begin{description}\itemsep0pt\leftskip-0.5cm
+          \item[$n$:] Eingabedaten
+          \item[$g(n)$:] Rechenzeit
+        \end{description}
+      \end{minipage}}
+  \end{picture}
+
+  \vspace*{-\bigskipamount}
+
+  Wann ist ein Programm "`schnell"'?
+
+  \medskip
+
+  Faustregel:\\Schachtelung der Schleifen zählen\\
+  $k$ Schleifen ineinander \textarrow\ $\mathcal{O}(n^k)$
+
+  \bigskip
+
+  \begin{onlyenv}<1>
+    \textbf{Wie schnell ist RSA-Verschlüsselung?}
+
+    \smallskip
+
+    \begin{math}
+      c = m^e\,\%\,N
+    \end{math}
+    \quad
+    ("`$\%$"' = "`modulo"')
+
+    \medskip
+
+    \begin{lstlisting}[gobble=6,xleftmargin=2em]
+      int c = 1;
+      for (int i = 0; i < e; i++)
+        c = (c * m) % N;
+    \end{lstlisting}
+
+    \smallskip
+
+    \begin{itemize}
+      \item
+        $\mathcal{O}(e)$ Iterationen
+%      \item
+%        wenn $n$ die Anzahl der Binärziffern (Bits) von $e$ ist:
+%        $\mathcal{O}(2^n)$ Iterationen
+      \item
+        mit Trick:
+        $\mathcal{O}(\log e)$ Iterationen ($\log e$ = Anzahl der Ziffern von $e$)
+    \end{itemize}
+
+    \smallskip
+
+    Jede Iteration enthält eine Multiplikation und eine Division.\\
+    Aufwand dafür: $\mathcal{O}(\log e)$\\
+    \textarrow\ Gesamtaufwand: $\mathcal{O}\bigl((\log e)^2\bigr)$
+
+  \end{onlyenv}
+
+  \begin{onlyenv}<2->
+
+    \textbf{Wie schnell ist RSA?}\\
+
+    \smallskip
+
+    ($n$ = typische beteiligte Zahl, z.\,B. $e,p,q$)
+
+%    \begin{tabbing}
+%      Verschlüsselung brechen (Primfaktorzerlegung):~\=\kill
+%      Schlüsselerzeugung (Berechnung von $d$): 
+%        \> \color{red}$\mathcal{O}\bigl((\log n)^2\bigr)$,\\[0.5\smallskipamount]
+%      Ver- und Entschlüsselung (Exponentiation):
+%        \> \color{red}$\mathcal{O}\kern0.5pt(n\log n)$,\\[0.5\smallskipamount]
+%      Verschlüsselung brechen (Primfaktorzerlegung):
+%        \> \color{red}$\mathcal{O}\bigl(2^{\sqrt{\log n\,\cdot\,\log\log n}}\bigr)$
+%    \end{tabbing}
+
+    \begin{itemize}
+      \item
+        Ver- und Entschlüsselung (Exponentiation):\\
+        {\color{red}$\mathcal{O}\!\left((\log n)^2\right)$}
+      \item
+        Schlüsselerzeugung (Berechnung von $d$):\\
+        {\color{red}$\mathcal{O}\!\left((\log n)^2\right)$}
+      \item
+        Verschlüsselung brechen (Primfaktorzerlegung):\\
+        {\color{red}$\mathcal{O}\bigl(2^{\sqrt{\log n\,\cdot\,\log\log n}}\bigr)$}
+    \end{itemize}
+
+    \vspace{0cm plus 1filll}
+
+    \textbf{Die Sicherheit von RSA beruht darauf,
+    daß das Brechen der Verschlüsselung aufwendiger ist als
+    \boldmath$\mathcal{O}\bigl((\log n)^k\bigr)$ (für beliebiges $k$).}
+
+    \vspace*{0.65cm}
+
+  \end{onlyenv}
+
+\end{frame}
+
+\subsectionnonumber{\boldmath 5.$\frac{1+i}{\sqrt2}$\quad Quantencomputer}
+
+\begin{frame}
+
+  \showsubsectionnonumber
+
+  Mit Hilfe eines Quantencomputers ist es möglich,\\
+  RSA mit dem Aufwand $\mathcal{O}\bigl((\log n)^3\bigr)$ zu brechen.
+
+  \medskip
+
+  Hierfür ist ein Quantencomputer mit mindestens $\log n$ Qubits erforderlich.\\
+  ($\log n$ ist die Länge des Schlüssels in Bits,
+  derzeit typischerweise 2048 bis 4096.)
+
+  \bigskip
+
+  Dezember 2001:\\
+  IBM präsentiert einen funktionierenden Quantencomputer mit 7 Qubits.
+
+  \medskip
+
+  September 2019:\\
+  Google präsentiert einen funktionierenden Quantencomputer mit 53 Qubits.
+
+  \vspace{0cm plus 1filll}
+
+  \textbf{Die Sicherheit von RSA beruht darauf,
+  daß das Brechen der Verschlüsselung aufwendiger ist als
+  \boldmath$\mathcal{O}\bigl((\log n)^k\bigr)$ (für beliebiges $k$).}
+
+  \vspace*{0.65cm}
+
+\end{frame}
+
+\subsubsectionnonumber{\boldmath 5.$\frac{1+i}{\sqrt2}$.\kern0.5pt$i$\quad Einführung in die Quantenmechanik}
+
+\begin{frame}
+
+  \showsubsubsectionnonumber
+
+  \begin{onlyenv}<1-3>
+
+    Klassische Mechanik (Physik):
+
+    \smallskip
+
+    Zustand eines Teilchens (Massenpunkt):\\
+    Masse $m$, Ort $\vec{x}$, Impuls $\vec{p}$ (oder: Geschwindigkeit $\vec{v}\kern1pt$)
+
+    \bigskip
+
+  \end{onlyenv}
+
+  \pause
+
+  Quantenmechanik:
+
+  \smallskip
+
+  Zustand eines Teilchens:\\
+  Masse $m$, komplexwertige Wellenfunktion $\psi(\vec{x})$
+  \begin{itemize}
+    \item
+      Ort: $|\psi(\vec{x})|^2$ = Wahrscheinlichkeit, das Teilchen am Ort $\vec{x}$ zu messen
+    \item
+      Impuls: Wellenstruktur in der komplexen Phase
+    \pause
+    \item
+      Normierung:
+      \begin{math}
+        \displaystyle
+        \int\limits_{\mathbb{R}^3} |\psi(\vec{x}\kern1pt)|^2\,d^3\vec{x} = 1
+      \end{math}
+      ("`Irgendwo muß das Teilchen ja sein \dots"')
+  \end{itemize}
+
+  \begin{onlyenv}<4>
+
+    \bigskip
+
+    Einfachster Fall: Es gibt überhaupt nur 2 Orte.
+    \begin{displaymath}
+      \psi(\vec{x}\kern1pt)
+        = \left(\begin{array}{c}
+            \psi_1 \\
+            \psi_0
+          \end{array}\right)
+      \qquad
+      |\psi_0|^2 + |\psi_1|^2 = 1
+    \end{displaymath}
+
+    Schreibweise: Basisvektoren $\left|0\right>$ und $\left|1\right>$
+    -- "`Basiszustände"'
+    \begin{displaymath}
+      \psi(\vec{x}\kern1pt)
+        = \psi_0 \left|0\right> + \psi_1 \left|1\right>
+    \end{displaymath}
+
+  \end{onlyenv}
+
+\end{frame}
+
+\subsubsectionnonumber{\boldmath 5.$\frac{1+i}{\sqrt2}$.\kern0.5pt$\mbox{2}i$\quad Qubits}
+
+\begin{frame}
+
+  \showsubsubsectionnonumber
+
+  \begin{itemize}
+    \item
+      Ein Bit kann die (klassischen) Zustände 0 und 1 annehmen.
+    \arrowitem
+      2 Zustände, beschrieben durch eine ganze Zahl, die 0 oder 1 sein darf
+      \begin{center}
+        \bigskip
+        \makebox(0,0){\includegraphics[height=1cm]{ampel-gruen.png}}\qquad\qquad
+        \makebox(0,0){oder}\qquad\qquad
+        \makebox(0,0){\includegraphics[height=1cm]{ampel-rot.png}}
+        \bigskip
+      \end{center}
+    \medskip
+    \item
+      Ein Qubit kann die quantenmechanischen Basiszustände\\
+      $\left|0\right>$ und $\left|1\right>$ annehmen ("`1 Teilchen, 2 Orte"').
+    \arrowitem
+      unendlich viele Zustände, beschrieben durch\\
+      zwei komplexe Zahlen $\psi_0$ und $\psi_1$ mit $|\psi_0|^2 + |\psi_1|^2 = 1$
+      \begin{center}
+        \bigskip
+        \makebox(0,0){\includegraphics[height=1cm]{ampel-gemisch.png}}~\qquad
+        \makebox(0,0){=}\qquad
+        \makebox(0,0){$\sqrt{\frac13}$}\qquad
+        \makebox(0,0){\includegraphics[height=1cm]{ampel-gruen.png}}\qquad
+        \makebox(0,0){+}\qquad
+        \makebox(0,0){$\sqrt{\frac23}$}\qquad
+        \makebox(0,0){\includegraphics[height=1cm]{ampel-rot.png}}
+        \bigskip
+      \end{center}
+    \medskip
+    \item
+      Messung: Das Qubit muß sich für $\left|0\right>$ oder $\left|1\right>$ entscheiden.\\
+      Die Wahrscheinlichkeit beträgt $|\psi_0|^2$ bzw.\ $|\psi_1|^2$.
+  \end{itemize}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+  \showsubsubsectionnonumber
+  \begin{itemize}
+    \item
+      Eine $\text{\rm NOT}$-Operation auf einem Qubit
+      vertauscht $\left|0\right>$ und $\left|1\right>$.
+      \begin{displaymath}
+        \text{\rm NOT} \left(\begin{array}{c}
+                     \psi_1\\
+                     \psi_0
+                   \end{array}\right)
+          = \left(\begin{array}{c}
+              \psi_0\\
+              \psi_1
+            \end{array}\right)
+          = \left(\begin{array}{cc}
+              0 & 1 \\
+              1 & 0
+            \end{array}\right)
+            \left(\begin{array}{c}
+              \psi_1\\
+              \psi_0
+            \end{array}\right)
+      \end{displaymath}
+      \begin{center}
+        \bigskip
+        \makebox(0,0){$\text{\rm NOT}$}~\qquad
+        \makebox(0,0){\includegraphics[height=1cm]{ampel-gemisch.png}}\qquad
+        \makebox(0,0){=}\qquad
+        \makebox(0,0){\includegraphics[height=1cm]{ampel-gemisch-not.png}}
+        \bigskip
+      \end{center}
+    \pause
+    \bigskip
+    \item
+      Eine $\sqrt{\text{\rm NOT}}$-Operation auf einem Qubit
+      vertauscht $\left|0\right>$ und $\left|1\right>$ halb.
+      \begin{displaymath}
+        \sqrt{\text{\rm NOT}}
+          = \frac{1}{\sqrt{2i}}
+            \left(\begin{array}{cc}
+              i & 1 \\
+              1 & i
+            \end{array}\right),
+        \quad\text{weil}~
+        \left(\begin{array}{cc}
+          i & 1 \\
+          1 & i
+        \end{array}\right)
+        \left(\begin{array}{cc}
+          i & 1 \\
+          1 & i
+        \end{array}\right)
+        =
+        \left(\begin{array}{cc}
+          0 & 2i \\
+          2i & 0
+        \end{array}\right)
+      \end{displaymath}
+      \begin{center}
+        \bigskip
+        \makebox(0,0){$\sqrt{\text{\rm NOT}}$}\quad\qquad
+        \makebox(0,0){\includegraphics[height=1cm]{ampel-gemisch.png}}\qquad
+        \makebox(0,0){=}\qquad
+        \makebox(0,0){\includegraphics[height=1cm]{ampel-gemisch-wurzel-not.png}}
+        \qquad\qquad
+        \makebox(0,0){$\sqrt{\text{\rm NOT}}$}\quad\qquad
+        \makebox(0,0){\includegraphics[height=1cm]{ampel-gemisch-wurzel-not.png}}\qquad
+        \makebox(0,0){=}\qquad
+        \makebox(0,0){\includegraphics[height=1cm]{ampel-gemisch-not.png}}
+        \bigskip
+      \end{center}
+      \smallskip
+      (Die Information, was wohin wandert, steckt in der komplexen Phase.)
+  \end{itemize}
+
+\end{frame}
+
+\subsubsectionnonumber{\boldmath 5.$\frac{1+i}{\sqrt2}$.\kern0.5pt$\mbox{3}i$\quad Quantenverschränkung}
+
+\begin{frame}
+
+  \showsubsubsectionnonumber
+
+  2 Qubits: $\left|0_0\right>\!, \left|1_0\right>$
+  und $\left|0_1\right>\!, \left|1_1\right>$
+
+  \medskip
+
+  Wellenfunktion:
+  \begin{math}
+      \psi_{00} \left|0_0\right>
+    + \psi_{10} \left|1_0\right>
+    + \psi_{01} \left|0_1\right>
+    + \psi_{11} \left|1_1\right>
+  \end{math}
+
+  \pause
+
+  \begin{picture}(0,0)
+    \put(2.5,0.2){\makebox(0,0)[bl]{\tikz{\draw[line width=1pt,red](0,0)--(5.8,0.6);}}}
+    \put(2.5,0.2){\makebox(0,0)[bl]{\tikz{\draw[line width=1pt,red](0,0.6)--(5.8,0);}}}
+  \end{picture}
+
+  \vspace*{-1.7\medskipamount}
+
+  \begin{itemize}
+
+    \arrowitem
+      \begin{math}
+          \psi_{00} \left|00\right>
+        + \psi_{01} \left|01\right>
+        + \psi_{10} \left|10\right>
+        + \psi_{11} \left|11\right>
+      \end{math}
+
+      \smallskip
+
+      Das hinzugekommene Qubit (Nr.~1) \\
+      kann die Basiszustände des ersten Qubits (Nr.~0) mitbenutzen.
+
+      \begin{onlyenv}<2>
+        \begin{center}
+          \bigskip
+          \makebox(0,0){\includegraphics[height=1cm]{ampel-gemisch.png}}\qquad
+          \makebox(0,0){\includegraphics[height=1cm]{ampel-blau-gelb.png}}
+          \hspace{3.0cm}
+          \makebox(0,0){können sich vermischen, z.\,B.\ zu}
+          \hspace{3.0cm}
+          \makebox(0,0){\includegraphics[height=1cm]{ampel-rot-gelb-blau.png}}\qquad
+          \makebox(0,0){\includegraphics[height=1cm]{ampel-rot-gruen-blau.png}}
+          \bigskip
+        \end{center}
+        \vspace*{-3.05\bigskipamount}
+      \end{onlyenv}
+
+    \pause
+    \medskip
+    \arrowitem
+      Mit jedem hinzukommenden Qubit\\
+      verdoppelt sich die Anzahl der Basiszustände.
+
+      \smallskip
+
+      Beispiel: Ein "`Quanten-Byte"' (8 Qubits) hat 256 Basiszustände:
+      \begin{displaymath}
+        \left|00000000\right>\!,~
+        \left|00000001\right>\!,~
+        \left|00000010\right>\!, \dots
+        \left|11111111\right>\!
+      \end{displaymath}
+      Der Gesamtzustand eines Quanten-Bytes entspricht\\
+      $2^8 = 256$ komplexen Zahlen:
+      $\psi_{00000000}$ bis $\psi_{11111111}$
+
+      \pause
+      \smallskip
+
+      Der Gesamtzustand eines 64-Bit-Quanten-Registers entspricht\\
+      $2^{64} = 18\,446\,744\,073\,709\,551\,616$ komplexen Zahlen.
+
+    \medskip
+    \arrowitem
+      Es ist schon aus Speicherplatzgründen nicht möglich,
+      auf einem klassischen Computer effizient mit Qubits zu rechnen.
+
+  \end{itemize}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[fragile]
+
+  \showsubsubsectionnonumber
+
+  \begin{itemize}
+    \item
+      $\text{\rm CNOT}$ ("`Controlled NOT"')
+      -- eine Art \lstinline{if}-Anweisung auf 2 Qubits
+
+      \medskip
+
+      \begin{lstlisting}[gobble=8]
+        if (q0)
+          q1 = ~q1;
+      \end{lstlisting}
+
+      \vspace{-2\medskipamount}
+
+      \begin{displaymath}
+        \text{\rm CNOT}
+        \left(\begin{array}{c}
+          \psi_{00} \\
+          \psi_{01} \\
+          \psi_{10} \\
+          \psi_{11}
+        \end{array}\right)
+        =
+        \left(\begin{array}{c}
+          \psi_{00} \\
+          \psi_{01} \\
+          \psi_{11} \\
+          \psi_{10}
+        \end{array}\right)
+        =
+        \left(\begin{array}{cccc}
+          1 & 0 & 0 & 0 \\
+          0 & 1 & 0 & 0 \\
+          0 & 0 & 0 & 1 \\
+          0 & 0 & 1 & 0
+        \end{array}\right)
+        \left(\begin{array}{c}
+          \psi_{00} \\
+          \psi_{01} \\
+          \psi_{10} \\
+          \psi_{11}
+        \end{array}\right)
+      \end{displaymath}
+
+      \pause
+
+      \begin{picture}(0,0)
+        \color{red}
+        \put(2.6,1.9){\makebox(0,0)[br]{\tikz{\draw[latex-,red](0.2,0)--(0.0,0.8);}}}
+        \put(2.3,2.75){\makebox(0,0)[b]{\footnotesize q0}}
+        \put(2.7,1.9){\makebox(0,0)[bl]{\tikz{\draw[latex-,red](0.0,0)--(0.2,0.8);}}}
+        \put(3.0,2.75){\makebox(0,0)[b]{\footnotesize q1}}
+        \put(6.55,1.67){\makebox(0,0){\tikz{\draw(0,0)circle(0.5);}}}
+        \put(6.55,2.20){\makebox(0,0)[b]{\footnotesize else-Zweig}}
+        \put(7.60,0.82){\makebox(0,0){\tikz{\draw(0,0)circle(0.5);}}}
+        \put(7.60,0.22){\makebox(0,0)[t]{\footnotesize if-Zweig}}
+      \end{picture}
+
+      \pause
+      \medskip
+
+      Dies funktioniert auch dann,
+      wenn die "`\lstinline{if}-Bedingung"' \lstinline{q0}\\
+      weder $\left|0\right>$ ("`false"') noch $\left|1\right>$ ("`true"') ist,
+      sondern eine Mischung.
+
+      \smallskip
+
+      Der \lstinline{if}-Zweig und der \lstinline{else}-Zweig
+      werden dann gleichzeitig ausgeführt.\\
+      ("`Mischung"' heißt also nicht "`vielleicht"', sondern "`beides"').
+
+    \pause
+    \bigskip
+    \arrowitem
+      Damit können wir nun alles berechnen, was wir wollen.\\
+      ($\text{\rm CNOT}$ zusammen mit den 1-Bit-Operationen ist "`universell"'.)
+
+  \end{itemize}
+
+\end{frame}
+
+\subsubsectionnonumber{\boldmath 5.$\frac{1+i}{\sqrt2}$.\kern0.5pt$\mbox{4}i$\quad Der Shor-Algorithmus}
+
+\begin{frame}
+
+  \showsubsubsectionnonumber
+
+  \begin{itemize}
+    \item
+      Ziel: Zerlegung einer Zahl $n = p \cdot q$ in ihre Faktoren
+    \item
+      Herangehensweise: 
+      \begin{enumerate}\itemsep0.5\smallskipamount
+        \begin{onlyenv}<1-3>
+          \item
+            Wähle $x$ mit $1 < x < n$.
+        \end{onlyenv}
+        \item
+          Suche $r$ mit $x^r\,\%\,n = 1$.
+          \only<2->{\quad\textbf{\boldmath $\longleftarrow$ mit Quantencomputer}}
+        \begin{onlyenv}<1-3>
+          \item
+            Wenn $r$ ungerade oder wenn $x^{\frac{r}{2}}\,\%\,n = n - 1$,
+            verwirf dieses $x$.\\
+            Neuer Versuch.
+          \item
+            Ansonsten ist der größte gemeinsame Teiler von $x^{\frac{r}{2}}$ und $n$\\
+            ein Faktor von $n$.\quad \mbox{:--)}
+        \end{onlyenv}
+      \end{enumerate}
+    \pause
+    \pause
+    \item
+      Algorithmus, um $r$ zu suchen:
+      \begin{enumerate}\itemsep0.5\smallskipamount
+        \begin{onlyenv}<1-4>
+          \item
+            Sei $q$ die nötige Anzahl von Bits, um $n^2$ speichern zu können.
+        \end{onlyenv}
+        \begin{onlyenv}<1-5>
+          \item
+            Lade ein $q$-Qubit-Register mit dem Wert:
+            \begin{displaymath}
+              A :=
+              \underbrace{
+                \frac{\left|0\right> + \left|1\right>}{\sqrt2},
+                \frac{\left|0\right> + \left|1\right>}{\sqrt2},
+                \dots,
+                \frac{\left|0\right> + \left|1\right>}{\sqrt2}
+              }_{\text{\footnotesize $q$ Qubits}}
+            \end{displaymath}
+            \vspace{-\medskipamount}
+        \end{onlyenv}
+        \pause
+        \item
+          Berechne in einem zweiten $q$-Qubit-Register den Wert $x^A\,\%\,n$.\\
+          Damit berechnen wir gewissermaßen gleichzeitig $x^a\,\%\,n$\\
+          für alle Werte, die $a$ annehmen kann ($0$ bis $2^q - 1$).\\
+          Die beiden Register sind nun verschränkt.
+        \pause
+        \item
+          Quanten-Fouriertransformation auf dem ersten Register.\\
+          Wegen der Verschränkung beeinflußt dies auch das zweite Register.
+        \pause
+        \item
+          Messung.\\
+          Alle Qubits müssen sich für $\left|0\right>$ oder $\left|1\right>$ entscheiden.\\
+          Den Meßwert des zweiten Registers nennen wir $r$.\\
+          Es gilt mit hoher Wahrscheinlichkeit: $x^r\,\%\,n = 1$.
+        \item
+          Fertig.\quad \mbox{:--)}
+      \end{enumerate}
+  \end{itemize}
+
+  \vspace*{-5cm}
+
+\end{frame}
+
+\subsubsectionnonumber{\boldmath 5.$\frac{1+i}{\sqrt2}$.\kern0.5pt$\mbox{5}i$\quad Fazit}
+
+\begin{frame}
+
+  \showsubsectionnonumber
+  \showsubsubsectionnonumber
+
+  \begin{itemize}
+    \item
+      Ein funktionsfähiger Quantencomputer mit mindestens 2048 Qubits\\
+      würde aktuelle Verschlüsselungsverfahren unwirksam machen.
+    \begin{onlyenv}<1>
+      \item
+        Betroffen: 
+        \begin{itemize}\itemsep0.5\smallskipamount
+          \item
+            vertrauliche Kommunikation (z.\,B.\ Online-Banking)
+          \item
+            Fernzugriff auf Rechner, Schutz persönlicher Daten
+          \item
+            digitale Rechtebeschränkung ("`Kopierschutz"')
+          \item
+            digitale Währungen
+          \item
+            \dots
+          \arrowitem
+            Chaos
+        \end{itemize}
+    \end{onlyenv}
+    \only<2->{\item[]\begin{itemize}\arrowitem Chaos\end{itemize}}
+    \pause
+    \item
+      Chaos haben wir bereits.
+      \begin{itemize}\itemsep0.5\smallskipamount
+        \begin{onlyenv}<2>
+          \item
+            Die Allermeisten sind mit persönlichen Daten sehr freigiebig.\\
+            (z.\,B.\ Datenverarbeitung und -speicherung in der Cloud)
+          \item
+            sozialer und politischer Druck \textarrow\ 
+            Sich entziehen wird schwieriger.\\
+            (z.\,B.\ Gesundheitskarte, bargeldlose Geschäfte)
+          \item
+            Daten bei Firmen und Behörden sind leicht angreifbar.
+          \item
+            Politische Maßnahmen bewirken oft ihr Gegenteil.\\
+            (z.\,B.\ DSGVO \textarrow\ mehr Bürokratie \textarrow\ weniger Anbieter)
+          \arrowitem
+            Gegenmaßnahme: Aufklärung\\
+            Bewußtsein für Datenschutz fördern
+        \end{onlyenv}
+        \only<3->{\arrowitem Aufklärung, Bewußtsein für Datenschutz fördern}
+      \end{itemize}
+    \pause
+    \item
+      demnächst in "`Eingebettete Systeme"': Verschlüsselung\\
+      Termin noch wählbar
+  \end{itemize}
+
+  \pause
+
+  \medskip
+  \begin{center}
+    \em Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!
+  \end{center}
+
+  \vspace*{-5cm}
+
+\end{frame}
+
+\end{document}

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\ No newline at end of file

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+% pgslides.sty - LaTeX Settings for Lecture Slides
+% Copyright (C) 2012, 2013  Peter Gerwinski
+%
+% This document is free software: you can redistribute it and/or
+% modify it either under the terms of the Creative Commons
+% Attribution-ShareAlike 3.0 License, or under the terms of the
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+% Foundation, either version 3 of the License, or (at your option)
+% any later version.
+%
+% This document is distributed in the hope that it will be useful,
+% but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
+% MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
+% GNU General Public License for more details.
+%
+% You should have received a copy of the GNU General Public License
+% along with this document.  If not, see <http://www.gnu.org/licenses/>.
+%
+% You should have received a copy of the Creative Commons
+% Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License along with this
+% document.  If not, see <http://creativecommons.org/licenses/>.
+
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage[british,german]{babel}  % Yes, really "german" and not "ngerman".
+\usepackage[utf8]{luainputenc}  % Without this, umlauts are broken. Weird.
+\usepackage{microtype}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+%\usepackage{times}
+\usepackage{helvet}
+\renewcommand*\familydefault{\sfdefault}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{pstricks}
+
+\hypersetup{colorlinks,allcolors=blue}
+
+%% @@@ Not necessary for slides. Why???
+%% Repair kerning: Automatically insert "\kern{-0.15em}" between "//" % (in URLs).
+%\directlua{
+%  local glyph = node.id ("glyph")
+%  local function my_kerning (head)
+%    for t in node.traverse (head) do
+%      if t.id == glyph and t.char == 47 then
+%        if t.next
+%           and t.next.next
+%           and t.next.next.id == glyph
+%           and t.next.next.char == 47 then
+%          local k = node.new ("kern")
+%          k.kern = tex.sp ("-0.15em")
+%          k.next = t.next
+%          k.prev = t
+%          t.next.prev = k
+%          t.next = k
+%        end
+%      end
+%    end
+%    node.kerning (head)
+%  end
+%  luatexbase.add_to_callback ("kerning", my_kerning, "URL kerning")
+%}
+
+\usetheme{default}
+\usefonttheme{structurebold}
+\setbeamertemplate{navigation symbols}{}
+\setbeamersize{text margin left = 0.3cm, text margin right = 0.2cm}
+\setbeamertemplate{itemize item}{$\bullet$}
+\setbeamertemplate{itemize subitem}{--}
+\setbeamerfont{itemize/enumerate subbody}{size=\normalsize}
+\setbeamerfont{itemize/enumerate subsubbody}{size=\normalsize}
+\setbeamercolor{footline}{fg=gray}
+
+\newcommand{\sep}{~$\cdot$~}
+
+\newif\ifminimalistic
+\minimalistictrue
+
+\institute[Hochschule Bochum\sep CVH]{%
+  \makebox(0,0.005)[tl]{\includegraphics[scale=0.72]{logo-hochschule-bochum-cvh-text-v2.pdf}}\hfill
+  \makebox(0,0)[tr]{\includegraphics[scale=0.5]{logo-hochschule-bochum.pdf}}%
+}
+
+\setbeamertemplate{headline}{%
+  \leavevmode
+  \hbox to \textwidth{%
+    \ifminimalistic
+      \strut\hfill
+    \else
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+    \fi
+  }%
+  \vskip0pt%
+}
+
+\iffalse
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+\else
+  \setbeamertemplate{footline}{%
+    \leavevmode
+    \hbox to \textwidth{%
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+        \strut\hfill
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+        \,\insertshorttitle\sep
+        \insertshortauthor\sep
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+      \fi
+      \insertframenumber/\inserttotalframenumber
+      %Folie\,\insertframenumber\sep Seite\,\insertpagenumber\,
+    }%
+    \vskip0pt%
+  }
+\fi
+
+\newcommand{\maketitleframe}{%
+  \ifminimalistic
+    \begin{frame}[t,plain]
+      \insertinstitute
+      \par\vfill
+      \begin{center}
+        {\LARGE\color{structure}\inserttitle\par}\bigskip\bigskip
+        {\large \insertauthor\par}\bigskip\medskip
+        \insertdate
+      \end{center}
+    \end{frame}
+  \else
+    \begin{frame}
+      \vfill
+      \begin{center}
+        {\LARGE\color{structure}\inserttitle\par}\bigskip\bigskip
+        {\large \insertauthor\par}\bigskip\medskip
+        \insertdate
+      \end{center}
+      \vfill
+    \end{frame}
+  \fi
+}
+
+\definecolor{medgreen}{rgb}{0.0,0.5,0.0}
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+
+\newenvironment{experts}{\color{darkgray}}{}
+
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