diff --git a/20191219/Tower_of_Hanoi.jpeg b/20191219/Tower_of_Hanoi.jpeg
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index 0000000000000000000000000000000000000000..a1a794afda08596ffa2f46f278db53455de25b6c
--- /dev/null
+++ b/20191219/Tower_of_Hanoi.jpeg
@@ -0,0 +1 @@
+../common/Tower_of_Hanoi.jpeg
\ No newline at end of file
diff --git a/20191219/hp-20191219.pdf b/20191219/hp-20191219.pdf
new file mode 100644
index 0000000000000000000000000000000000000000..fb487ba50708bae94bf806b250a27b08718975e3
Binary files /dev/null and b/20191219/hp-20191219.pdf differ
diff --git a/20191219/hp-20191219.tex b/20191219/hp-20191219.tex
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index 0000000000000000000000000000000000000000..c5ac855ac2a97c9b0ab37e6f79db7200d6592d6c
--- /dev/null
+++ b/20191219/hp-20191219.tex
@@ -0,0 +1,721 @@
+% hp-20191219.pdf - Lecture Slides on Low-Level Programming
+% Copyright (C) 2012, 2013, 2015, 2016, 2017, 2018, 2019 Peter Gerwinski
+%
+% This document is free software: you can redistribute it and/or
+% modify it either under the terms of the Creative Commons
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+% any later version.
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+% This document is distributed in the hope that it will be useful,
+% but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
+% MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. See the
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+% along with this document. If not, see <http://www.gnu.org/licenses/>.
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+% document. If not, see <http://creativecommons.org/licenses/>.
+
+% README: Binärdarstellung negativer Zahlen, Speicherausrichtung - Alignment
+
+\documentclass[10pt,t]{beamer}
+
+\usepackage{pgslides}
+\usepackage{pdftricks}
+\usepackage{tikz}
+
+\begin{psinputs}
+ \usepackage[utf8]{inputenc}
+ \usepackage[german]{babel}
+ \usepackage[T1]{fontenc}
+ \usepackage{helvet}
+ \renewcommand*\familydefault{\sfdefault}
+ \usepackage{pstricks,pst-grad}
+\end{psinputs}
+
+\title{Hardwarenahe Programmierung}
+\author{Prof.\ Dr.\ rer.\ nat.\ Peter Gerwinski}
+\date{19.\ Dezember 2019}
+
+\begin{document}
+
+\maketitleframe
+
+\nosectionnonumber{\inserttitle}
+
+\begin{frame}
+
+ \shownosectionnonumber
+
+ \begin{itemize}
+ \item[\textbf{1}] \textbf{Einführung}
+ \hfill\makebox(0,0)[br]{\raisebox{2.25ex}{\url{https://gitlab.cvh-server.de/pgerwinski/hp}}}
+ \item[\textbf{2}] \textbf{Einführung in C}
+ \item[\textbf{3}] \textbf{Bibliotheken}
+ \begin{itemize}
+ \item[3.1] Der Präprozessor
+ \item[3.2] Bibliotheken einbinden
+ \item[3.3] Bibliotheken verwenden
+ \color{medgreen}
+ \item[3.4] Projekt organisieren: make
+ \end{itemize}
+ \vspace*{-\smallskipamount}
+ \item[\textbf{4}] \textbf{Hardwarenahe Programmierung}
+ \begin{itemize}
+ \vspace*{-0.1cm}
+ \item[\dots]
+% \item[4.3] Interrupts
+ \item[4.4] volatile-Variable
+ \color{medgreen}
+ \item[4.6] Byte-Reihenfolge -- Endianness
+ \item[4.7] Binärdarstellung negativer Zahlen
+ \item[4.8] Speicherausrichtung -- Alignment
+ \end{itemize}
+ \item[\textbf{5}] \textbf{Algorithmen}
+ \begin{itemize}
+ \item[5.1] Differentialgleichungen
+ \vspace*{-0.1cm}
+ \item[\dots]
+ \end{itemize}
+ \vspace*{-\smallskipamount}
+ \item[\textbf{\dots}]
+ \end{itemize}
+
+\end{frame}
+
+\setcounter{section}{2}
+\section{Bibliotheken}
+\setcounter{subsection}{3}
+\subsection{Projekt organisieren: make}
+
+\begin{frame}[fragile]
+
+ \showsubsection
+ \begin{itemize}
+ \item
+ \only<4->{explizite und implizite} Regeln
+ \begin{onlyenv}<2>
+ \smallskip
+ \begin{lstlisting}[language=make,gobble=10]
+ hello-6: hello-6.o pruzzel.o
+ gcc hello-6.o pruzzel.o -o hello-6
+
+ pruzzel.o: pruzzel.c pruzzel.h
+ gcc -Wall -O pruzzel.c -c
+
+ hello-6.o: hello-6.c pruzzel.h
+ gcc -Wall -O hello-6.c -c
+ \end{lstlisting}
+ \end{onlyenv}
+ \begin{onlyenv}<4>
+ \smallskip
+ \begin{lstlisting}[language=make,gobble=10]
+ TARGET = hello-6
+ OBJECTS = hello-6.o pruzzel.o
+ HEADERS = pruzzel.h
+ CFLAGS = -Wall -O
+
+ $(TARGET): $(OBJECTS)
+ gcc $(OBJECTS) -o $(TARGET)
+
+ %.o: %.c $(HEADERS)
+ gcc $(CFLAGS) $< -c
+
+ clean:
+ rm -f $(OBJECTS) $(TARGET)
+ \end{lstlisting}
+ \end{onlyenv}
+ \item
+ Makros
+ \begin{onlyenv}<3>
+ \smallskip
+ \begin{lstlisting}[language=make,gobble=10]
+ TARGET = hello-6
+ OBJECTS = hello-6.o pruzzel.o
+ HEADERS = pruzzel.h
+ CFLAGS = -Wall -O
+
+ $(TARGET): $(OBJECTS)
+ gcc $(OBJECTS) -o $(TARGET)
+
+ pruzzel.o: pruzzel.c $(HEADERS)
+ gcc $(CFLAGS) pruzzel.c -c
+
+ hello-6.o: hello-6.c $(HEADERS)
+ gcc $(CFLAGS) hello-6.c -c
+
+ clean:
+ rm -f $(OBJECTS) $(TARGET)
+ \end{lstlisting}
+ \vspace*{-1cm}
+ \end{onlyenv}
+ \begin{onlyenv}<5->
+ \smallskip
+ \arrowitem
+ 3 Sprachen: C, Präprozessor, make
+ \end{onlyenv}
+ \end{itemize}
+
+\end{frame}
+
+\setcounter{section}{3}
+\section{Hardwarenahe Programmierung}
+\setcounter{subsection}{3}
+\subsection{volatile-Variable}
+
+\begin{frame}[fragile]
+
+ \showsubsection
+
+ Was ist eigentlich \lstinline{PORTD}?
+
+ \bigskip
+% \pause
+
+ \lstinline[style=cmd]{avr-gcc -Wall -Os -mmcu=atmega328p blink-3.c -E}
+
+ \bigskip
+% \pause
+ \lstinline{PORTD = 0x01;}\\
+ \textarrow\quad
+ \lstinline[style=terminal]{(*(volatile uint8_t *)((0x0B) + 0x20)) = 0x01;}\\
+% \pause
+ \begin{picture}(0,2)(0,-1.7)
+ \color{red}
+ \put(5.75,0.3){$\underbrace{\rule{2.95cm}{0pt}}_{\mbox{Zahl: \lstinline|0x2B|}}$}
+% \pause
+ \put(1.55,0.3){$\underbrace{\rule{4.0cm}{0pt}}_{\mbox{\shortstack[t]{Umwandlung in Zeiger\\
+ auf \lstinline|volatile uint8_t|}}}$}
+% \pause
+ \put(1.32,-1){\makebox(0,0)[b]{\tikz{\draw[-latex](0,0)--(0,1.3)}}}
+ \put(1.12,-1.1){\makebox(0,0)[tl]{Dereferenzierung des Zeigers}}
+ \end{picture}
+
+% \pause
+ \textarrow\quad
+ \lstinline|volatile uint8_t|-Variable an Speicheradresse \lstinline|0x2B|
+
+% \pause
+ \bigskip
+ \bigskip
+
+ \textarrow\quad
+ \lstinline|PORTA = PORTB = PORTC = PORTD = 0| ist eine schlechte Idee.
+
+\end{frame}
+
+\subsection{Byte-Reihenfolge -- Endianness}
+\subsubsection{Konzept}
+
+\begin{frame}[fragile]
+
+ \showsubsection
+ \showsubsubsection
+
+ Eine Zahl geht über mehrere Speicherzellen.\\
+ Beispiel: 16-Bit-Zahl in 2 8-Bit-Speicherzellen
+
+ \smallskip
+
+ Welche Bits liegen wo?
+
+% \pause
+ \bigskip
+
+ $1027 = 1024 + 2 + 1 = 0000\,0100\,0000\,0011_2 = 0403_{16}$
+
+% \pause
+ \bigskip
+ Speicherzellen:
+
+ \medskip
+ \begin{tabular}{|c|c|l}\cline{1-2}
+ \raisebox{-0.25ex}{04} & \raisebox{-0.25ex}{03} & \strut Big-Endian "`großes Ende zuerst"' \\\cline{1-2}
+ \multicolumn{2}{c}{} & für Menschen leichter lesbar \\
+ \multicolumn{3}{c}{} \\[-5pt]\cline{1-2}
+ \raisebox{-0.25ex}{03} & \raisebox{-0.25ex}{04} & \strut Little-Endian "`kleines Ende zuerst"' \\\cline{1-2}
+ \multicolumn{2}{c}{} & bei Additionen effizienter
+ \end{tabular}
+
+% \pause
+ \medskip
+ \textarrow\ Geschmackssache
+% \pause\\
+ \quad\textbf{\dots\ außer bei Datenaustausch!}
+
+% \pause
+% \bigskip
+%
+% Aber: nicht verwechseln! \qquad $0304_{16} = 772$
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+ \showsubsection
+ \showsubsubsection
+
+ Eine Zahl geht über mehrere Speicherzellen.\\
+ Beispiel: 16-Bit-Zahl in 2 8-Bit-Speicherzellen
+
+ \smallskip
+
+ Welche Bits liegen wo?
+
+ \medskip
+
+ \textarrow\ Geschmackssache\\
+ \textbf{\dots\ außer bei Datenaustausch!}
+
+ \begin{itemize}
+ \item
+ Dateiformate
+ \item
+ Datenübertragung
+ \end{itemize}
+
+\end{frame}
+
+\subsubsection{Dateiformate}
+
+\begin{frame}
+
+ \showsubsection
+ \showsubsubsection
+
+ Audio-Formate: Reihenfolge der Bytes in 16- und 32-Bit-Zahlen
+ \begin{itemize}
+ \item
+ RIFF-WAVE-Dateien (\file{.wav}): Little-Endian
+ \item
+ Au-Dateien (\file{.au}): Big-Endian
+% \pause
+ \item
+ ältere AIFF-Dateien (\file{.aiff}): Big-Endian
+ \item
+ neuere AIFF-Dateien (\file{.aiff}): Little-Endian
+ \end{itemize}
+
+% \pause
+ \bigskip
+
+ Grafik-Formate: Reihenfolge der Bits in den Bytes
+ \begin{itemize}
+ \item
+ PBM-Dateien: Big-Endian\only<1->{, MSB first}
+ \item
+ XBM-Dateien: Little-Endian\only<1->{, LSB first}
+ \end{itemize}
+ \only<1->{MSB/LSB = most/least significant bit}
+
+\end{frame}
+
+\subsubsection{Datenübertragung}
+
+\begin{frame}
+
+ \showsubsection
+ \showsubsubsection
+
+ \begin{itemize}
+ \item
+ RS-232 (serielle Schnittstelle): LSB first
+ \item
+ I$^2$C: MSB first
+ \item
+ USB: beides
+% \pause
+ \medskip
+ \item
+ Ethernet: LSB first
+ \item
+ TCP/IP (Internet): Big-Endian
+ \end{itemize}
+
+\end{frame}
+
+\subsection{Binärdarstellung negativer Zahlen}
+
+\begin{frame}[fragile]
+
+ \showsubsection
+
+ Speicher ist begrenzt!\\
+ \textarrow\ feste Anzahl von Bits
+
+ \medskip
+
+ 8-Bit-Zahlen ohne Vorzeichen: \lstinline{uint8_t}\\
+ \textarrow\ Zahlenwerte von \lstinline{0x00} bis \lstinline{0xff} = 0 bis 255\\
+ \pause
+ \textarrow\ 255 + 1 = 0
+
+ \pause
+ \medskip
+
+ 8-Bit-Zahlen mit Vorzeichen: \lstinline{int8_t}\\
+ \lstinline{0xff} = 255 ist die "`natürliche"' Schreibweise für $-1$.\\
+ \pause
+ \textarrow\ Zweierkomplement
+
+ \pause
+ \medskip
+
+ Oberstes Bit = 1: negativ\\
+ Oberstes Bit = 0: positiv\\
+ \textarrow\ 127 + 1 = $-128$
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[fragile]
+
+ \showsubsection
+
+ Speicher ist begrenzt!\\
+ \textarrow\ feste Anzahl von Bits
+
+ \medskip
+
+ 16-Bit-Zahlen ohne Vorzeichen:
+ \lstinline{uint16_t}\hfill\lstinline{uint8_t}\\
+ \textarrow\ Zahlenwerte von \lstinline{0x0000} bis \lstinline{0xffff}
+ = 0 bis 65535\hfill 0 bis 255\\
+ \textarrow\ 65535 + 1 = 0\hfill 255 + 1 = 0
+
+ \medskip
+
+ 16-Bit-Zahlen mit Vorzeichen:
+ \lstinline{int16_t}\hfill\lstinline{int8_t}\\
+ \lstinline{0xffff} = 66535 ist die "`natürliche"' Schreibweise für $-1$.\hfill
+ \lstinline{0xff} = 255 = $-1$\\
+ \textarrow\ Zweierkomplement
+
+ \medskip
+
+ Oberstes Bit = 1: negativ\\
+ Oberstes Bit = 0: positiv\\
+ \textarrow\ 32767 + 1 = $-32768$
+
+ \bigskip
+ Literatur: \url{http://xkcd.com/571/}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[fragile]
+
+ \showsubsection
+
+ Frage: \emph{Für welche Zahl steht der Speicherinhalt\,
+ \raisebox{2pt}{%
+ \tabcolsep0.25em
+ \begin{tabular}{|c|c|}\hline
+ \rule{0pt}{11pt}a3 & 90 \\\hline
+ \end{tabular}}
+ (hexadezimal)?}
+
+ \pause
+ \smallskip
+ Antwort: \emph{Das kommt darauf an.} ;--)
+
+ \pause
+ \medskip
+ Little-Endian:
+
+ \smallskip
+
+ \begin{tabular}{lrl}
+ als \lstinline,int8_t,: & $-93$ & (nur erstes Byte)\\
+ als \lstinline,uint8_t,: & $163$ & (nur erstes Byte)\\
+ als \lstinline,int16_t,: & $-28509$\\
+ als \lstinline,uint16_t,: & $37027$\\
+ \lstinline,int32_t, oder größer: & $37027$
+ & (zusätzliche Bytes mit Nullen aufgefüllt)
+ \end{tabular}
+
+ \pause
+ \medskip
+ Big-Endian:
+
+ \smallskip
+
+ \begin{tabular}{lrl}
+ als \lstinline,int8_t,: & $-93$ & (nur erstes Byte)\\
+ als \lstinline,uint8_t,: & $163$ & (nur erstes Byte)\\
+ als \lstinline,int16_t,: & $-23664$\\
+ als \lstinline,uint16_t,: & $41872$\\
+ als \lstinline,int32_t,: & $-1550843904$ & (zusätzliche Bytes\\
+ als \lstinline,uint32_t,: & $2744123392$ & mit Nullen aufgefüllt)\\
+ als \lstinline,int64_t,: & $-6660823848880963584$\\
+ als \lstinline,uint64_t,: & $11785920224828588032$\\
+ \end{tabular}
+
+ \vspace*{-1cm}
+
+\end{frame}
+
+\subsection{Speicherausrichtung -- Alignment}
+
+\begin{frame}[fragile]
+
+ \showsubsection
+
+ \begin{lstlisting}
+ #include <stdint.h>
+
+ uint8_t a;
+ uint16_t b;
+ uint8_t c;
+ \end{lstlisting}
+
+ \pause
+ \bigskip
+
+ Speicheradresse durch 2 teilbar -- "`16-Bit-Alignment"'
+ \begin{itemize}
+ \item
+ 2-Byte-Operation: effizienter
+ \pause
+ \item
+ \dots\ oder sogar nur dann erlaubt
+ \pause
+ \arrowitem
+ Compiler optimiert Speicherausrichtung
+ \end{itemize}
+
+ \medskip
+
+ \pause
+ \begin{minipage}{3cm}
+ \begin{lstlisting}[gobble=6]
+ ¡uint8_t a;
+ uint8_t dummy;
+ uint16_t b;
+ uint8_t c;¿
+ \end{lstlisting}
+ \end{minipage}
+ \pause
+ \begin{minipage}{3cm}
+ \begin{lstlisting}[gobble=6]
+ ¡uint8_t a;
+ uint8_t c;
+ uint16_t b;¿
+ \end{lstlisting}
+ \end{minipage}
+
+ \pause
+ \vspace{-1.75cm}
+ \strut\hfill
+ \begin{minipage}{6.5cm}
+ Fazit:
+ \begin{itemize}
+ \item
+ \textbf{Adressen von Variablen\\
+ sind systemabhängig}
+ \item
+ Bei Definition von Datenformaten\\
+ Alignment beachten \textarrow\ effizienter
+ \end{itemize}
+ \end{minipage}
+
+\end{frame}
+
+\section{Algorithmen}
+\setcounter{subsection}{1}
+\subsection{Rekursion}
+
+\begin{frame}[fragile]
+
+ \showsubsection
+
+ Vollständige Induktion:
+ \vspace*{-0.725cm}
+ \begin{displaymath}
+ \hspace*{4cm}
+ \left.
+ \begin{array}{r}
+ \mbox{Aussage gilt für $n = 1$}\\[2pt]
+ \mbox{Schluß von $n - 1$ auf $n$}
+ \end{array}
+ \right\}
+ \mbox{Aussage gilt für alle $n\in\mathbb{N}$}
+ \end{displaymath}
+ \vspace*{-0.5cm}
+
+ \pause
+
+ Türme von Hanoi
+
+ \begin{onlyenv}<2>
+ \begin{center}
+ \includegraphics[width=12.2cm]{Tower_of_Hanoi.jpeg}
+ \end{center}
+ \end{onlyenv}
+
+ \begin{onlyenv}<3->
+ \begin{itemize}
+ \item
+ 64 Scheiben, 3 Plätze,
+ \only<3-4>{\hfill\makebox(0,0)[rt]{\includegraphics[width=6cm]{Tower_of_Hanoi.jpeg}}}\\
+ immer 1 Scheibe verschieben
+ \item
+ Ziel: Turm verschieben
+ \item
+ Es dürfen nur kleinere Scheiben\\
+ auf größeren liegen.
+ \bigskip
+ \pause
+ \pause
+ \item
+ $n = 1$ Scheibe: fertig
+ \item
+ Wenn $n - 1$ Scheiben verschiebbar:\\
+ schiebe $n - 1$ Scheiben auf Hilfsplatz,\\
+ verschiebe die darunterliegende,\\
+ hole $n - 1$ Scheiben von Hilfsplatz
+ \end{itemize}
+ \begin{onlyenv}<5>
+ \vspace{-4.3cm}
+ \begin{lstlisting}[gobble=8,xleftmargin=6.4cm]
+ void move (int from, int to, int disks)
+ {
+ if (disks == 1)
+ move_one_disk (from, to);
+ else
+ {
+ int help = 0 + 1 + 2 - from - to;
+ move (from, help, disks - 1);
+ move (from, to, 1);
+ move (help, to, disks - 1);
+ }
+ }
+ \end{lstlisting}
+ \end{onlyenv}
+ \begin{onlyenv}<6->
+ \vspace{-5.0cm}
+ \hspace*{7.4cm}\begin{minipage}[t]{5cm}
+ 32 Scheiben:
+ \begin{lstlisting}[gobble=10,style=terminal]
+ $ ¡time ./hanoi-9a¿
+ ...
+ real 0m32,712s
+ user 0m32,708s
+ sys 0m0,000s
+ \end{lstlisting}
+ \pause[7]
+ \begin{itemize}
+ \arrowitem
+ etwas über 1 Minute\\
+ für 64 Scheiben
+ \end{itemize}
+ \pause
+ \vspace*{-0.5cm}
+ \begin{picture}(0,0)
+ \color{red}
+ \put(0,0){\makebox(0,0)[bl]{\tikz[line width=1pt]{\draw(0,0)--(4,0.8);}}}
+ \put(0,0.8){\makebox(0,0)[tl]{\tikz[line width=1pt]{\draw(0,0)--(4,-0.8);}}}
+ \end{picture}
+
+ Für jede zusätzliche Scheibe\\verdoppelt sich die Rechenzeit!
+ % 32.712 * 2^32 / 3600 / 24 / 365.25 = 4452.08032888280477602859
+ \begin{itemize}
+ \arrowitem
+ $\frac{32,712\,\text{s}\,\cdot\,2^{32}}{3600\,\cdot\,24\,\cdot\,365,25} \approx 4452$
+ Jahre\\[\smallskipamount]
+ für 64 Scheiben
+ \end{itemize}
+ \end{minipage}
+ \end{onlyenv}
+ \end{onlyenv}
+
+\end{frame}
+
+\subsection{Aufwandsabschätzungen \protect\color{gray}-- Komplexitätsanalyse}
+
+\begin{frame}[fragile]
+
+ \newcommand{\w}{\hspace*{0.75pt}}
+
+ \showsubsection
+
+ \begin{picture}(0,0)
+ \put(7.8,-0.3){%
+ \begin{minipage}[t]{5.3cm}
+ \vspace*{-1.0cm}\includegraphics{landau-symbols.pdf}
+% \vspace*{-1.0cm}\alt<2->{\includegraphics{landau-symbols-2.pdf}}%
+% {\includegraphics{landau-symbols.pdf}}
+ \small
+ \begin{description}\itemsep0pt\leftskip-0.5cm
+ \item[$n$:] Eingabedaten
+ \item[$g(n)$:] Rechenzeit
+ \end{description}
+ \end{minipage}}
+ \end{picture}
+
+ \vspace*{-1.5\bigskipamount}
+
+ \begin{itemize}
+ \item
+ Türme von Hanoi: $\mathcal{O}(2^n)$
+ \begin{onlyenv}<1>
+ \par\medskip
+ Für jede zusätzliche Scheibe\\verdoppelt sich die Rechenzeit!
+ % 32.712 * 2^32 / 3600 / 24 / 365.25 = 4452.08032888280477602859
+ \begin{itemize}
+ \arrowitem
+ $\frac{32,712\,\text{s}\,\cdot\,2^{32}}{3600\,\cdot\,24\,\cdot\,365,25} \approx 4452$
+ Jahre\\[\smallskipamount]
+ für 64 Scheiben
+ \end{itemize}
+ \end{onlyenv}
+ \end{itemize}
+
+ \pause
+
+ Beispiel: Sortieralgorithmen
+
+ \begin{itemize}
+ \item
+ Minimum suchen: \alt<4->{$\mathcal{O}(n)$}{$\mathcal{O}(\textbf{\color{red}?})$}
+ \pause
+ \item
+ \dots\ mit Schummeln: $\mathcal{O}(1)$
+ \pause
+ \pause
+ \begin{picture}(0,0)
+ \put(-4.742,-3.7){\begin{minipage}[t]{12cm}
+ Faustregel:\\Schachtelung der Schleifen zählen\\
+ $x$ Schleifen \textarrow\ $\mathcal{O}(n\w^x)$
+% \pause
+% \begin{tabbing}
+% Verschlüsselung brechen (Primfaktorzerlegung):~\=\kill
+% \textbf{\color{red}RSA}: Schlüsselerzeugung (Berechnung von $d\/$):
+% \> \color{red}$\mathcal{O}\bigl((\log n)^2\bigr)$,\\[\smallskipamount]
+% Ver- und Entschlüsselung (Exponentiation):
+% \> \color{red}$\mathcal{O}\kern0.5pt(n\log n)$,\\[0.5\smallskipamount]
+% Verschlüsselung brechen (Primfaktorzerlegung):
+% \> \color{red}$\mathcal{O}\bigl(2^{\sqrt{\log n\,\cdot\,\log\log n}}\bigr)$
+% \end{tabbing}
+ \end{minipage}}
+ \end{picture}
+ \pause
+ \item
+ Minimum an den Anfang tauschen,\\
+ nächstes Minimum suchen:\\
+ \textarrow\ Selectionsort\pause: $\mathcal{O}(n\w^2)$
+% \pause
+% \item
+% Während Minimumsuche prüfen\\und abbrechen, falls schon sortiert\\
+% \textarrow\ Bubblesort\pause: $\mathcal{O}(n)$ bis $\mathcal{O}(n\w^2)$
+% \pause
+% \item
+% Rekursiv sortieren\\
+% \textarrow\ Quicksort\pause: $\mathcal{O}(n\log n)$ bis $\mathcal{O}(n\w^2)$\hfill
+ \end{itemize}
+
+\end{frame}
+
+\end{document}
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