From 1929f2e8f4436d3a9519c5e4d36b06ba99b7538c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Jan Falkenhain <jan.falkenhain@hs-bochum.de> Date: Sun, 28 Mar 2021 19:54:08 +0200 Subject: [PATCH] 4rd commit --- 1_Einleitung.tex | 2 +- 4_ZOH-Diskretisierung.tex | 6 ++- 5_Impulse-Diskretisierung.tex | 98 ++++++++++++----------------------- hauptdatei.bib | 25 +++++---- hauptdatei.tex | 18 +++---- 5 files changed, 60 insertions(+), 89 deletions(-) diff --git a/1_Einleitung.tex b/1_Einleitung.tex index 2d3e36b..150d664 100644 --- a/1_Einleitung.tex +++ b/1_Einleitung.tex @@ -58,7 +58,7 @@ Aus einer anderen Perspektive wird aber lediglich ein anderer Aspekt, nämlich d Backward-Euler & Ja & & &\\ ZOH & Nein & & & 5 \\ FOH & Nein & & &20 \\ - Impuls & Nein &50 & &\\ + Impuls & Nein &$\frac{z}{z-1}$ & &g(kT)=g(t)\\ Tustin & Ja 10 &&&\\ Mathched Filter & Nein & -&-& 80 \\ %Holzplatte & 14 \\ diff --git a/4_ZOH-Diskretisierung.tex b/4_ZOH-Diskretisierung.tex index 776f7d9..594cb15 100644 --- a/4_ZOH-Diskretisierung.tex +++ b/4_ZOH-Diskretisierung.tex @@ -58,7 +58,11 @@ Bildet man die Faltungsumme also mit dem ZOH-diskretisierten System, basierend a \end{empheq} %} -Darin stellt $\e^{\jv A}$ eine Matrixexponetialfunktion. Ihre numerische Berechnung ist die Hauptaufgabe bei der Ermittlung des diskreten Modells. +Darin stellt $\e^{\jv A}$ eine Matrixexponetialfunktion dar: +\begin{align*} +e^{\jv A_k T} = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{\jv A^i T^i}{i!} +\end{align*} +Ihre numerische Berechnung ist die Hauptaufgabe bei der Ermittlung des diskreten Modells. %\begin{minipage}[b]{7cm} % \centering diff --git a/5_Impulse-Diskretisierung.tex b/5_Impulse-Diskretisierung.tex index 9d201f6..713e982 100644 --- a/5_Impulse-Diskretisierung.tex +++ b/5_Impulse-Diskretisierung.tex @@ -1,76 +1,44 @@ \section{Impulse-Diskretisierung \label{sec:Impulse-Diskretisierung}} +\textbf{Impulsantwort.} Mit Hilfe der Impulsantwort wird ein lineares System eindeutig charakterisiert. Nimmt man die Impulsantwort eines Systems zur Ermittlung eines diskreten Modells mit der Abtastzeit $T$, dann lautet der Ansatz +\begin{align}\label{Impulse:bed} +g_k(kT) =g_d (k)~~\laplace ~~G_{Impulse}(z)~~. +\end{align} +In der Praxis lassen sich damit natürlich auch Linearisierungen, Systemvereinfachungen, Arbeitspunktmodelle usw. komplexerer Systeme ermitteln. Die Ordnung des diskreten Systems ergibt sich prinzipiell aus der Anzahl der verwendeten Abtastzeitpunkte. Die Übertragungsfunktion entsteht dass aus z-Transformation der abgetasteten Impulsfolge. +In +\cite{bild_quad} +%\url{https://www.eit.hs-karlsruhe.de/mesysto/fileadmin/downloads/teilB/PDFs/Musterloesungen/Skript_TDS_Musterloesungen_Kapitel_6.pdf} +%\url{https://www.eit.hs-karlsruhe.de/mesysto/quicklink/startseite.html} +wird in der konkreten Beispielaufgabe darauf hingewiesen, dass die statische Verstärkung $K_S=G_{Impulse}(1)$ nicht der des kontinuierlichen Systems entspricht, mit geringerer Abtastzeit aber immer besser approximiert wird. Eine Erklärung dafür wird auch im Frequenzbereich gesucht. +Die Diskretisierung eines Durchgriffs auf diese Weise ist wenig sinnvoll. Die Impulsantwort eines kontinuierlichen Systems erhält durch diesen den Anteil $g(t)=d\cdot \rho(0)+\tilde g(t)$. Bis auf diesen Impuls bei $t=0$ ist sie identisch mit $\tilde g(t)$, der Impulsantwort mit verschwindendem Durchgriff. -%\begin{eqnarray} -% P_\text{Welle} &=& 2 \pi M n \label{eq:drehmoment-1} \\ -% \Leftrightarrow\quad M &=& \frac{P_\text{Welle}}{ 2 \pi n} \label{eq:drehmoment-2} -%\end{eqnarray} +Die theoretische Ermittlung korrespondierender diskreter Systeme aus der kontinuierlichen Übertragungsfunktion kann zumeist direkt anhand von Korrespondenztabellen erfolgen, welche in der Regel -%\subsection{Compilieren% -% \label{sec:Compilieren}} -% -%\begin{figure}[H] -% \begin{center} -% \includegraphics[width=0.3\textwidth]{bilder/roll_pitch_yaw} -% % Einbinden einer Pixelgrafik. -% % Die Endung „.png“ darf weggelassen werden. -% \caption{Ein Beispielbild mit Quellenangabe \citep{yawpitchroll2013}% -% \label{fig:roll_pitch_yaw}} -% \end{center} -%\end{figure} -% -%\begin{minipage}[b]{7cm} -% \centering -% \includegraphics[width=7cm]{bilder/quadrocopter} -% \captionof{figure}{Quadrocopter \newline -% % kein \\ innerhalb von \caption oder \captionof -% % \newline -% \citep{bild_quad}% -% \label{fig:quadrocopter}} -%\end{minipage}\hfill -%\begin{minipage}[b]{7cm} -% \centering -% \includegraphics[width=7cm]{bilder/ka32S} -% \captionof{figure}{Koaxialhelicopter \newline -% \citep[S. 101]{hubschrauber1997}% -% \label{fig:ka32S}} -%\end{minipage} - -%\begin{table}[H] -% \caption{Masse des anzuhebenden Trägers% -% \label{table:massen}} -% \medskip -% \begin{center} -% \begin{tabular}{l|r} -% % -% % Die Leerzeichen im Quelltext haben keinen Einfluß auf die -% % Anordnung innerhalb der Tabelle. Diese wird durch die o.a. -% % Angabe „{l|r}“ gesteuert: linksbündiges Feld, senkrechter -% % Strich, rechtsbündiges Feld. -% % -% Bauteil & Masse[g] \\ -% \hline -% Trägerrohr & 35 \\ -% Linearlager & 7 \\ -% Lagerblock Linearlager & 5 \\ -% Kabel und Schrauben & 20 \\ -% Motoren & 50 \\ -% Propeller & 10 \\ -% Propeller Eingriffschutz & 80 \\ -% Holzplatte & 14 \\ -% Drehzahlsensoren & 5 \\ -% \hline -% Gesamtmasse & 226 \\ -% % @@@ PG: Stimmt nicht: Die Summe der Zahlen ist 194! -% \end{tabular} -% \end{center} -%\end{table} -% - +\begin{table}[H] + \caption{Impuls-diskretisierte Systeme% + \label{table:impuls}} + \medskip + \begin{center} + \begin{tabular}{l|c|c|r} + $G(s)$ & $g(t)$ & $g(kT)$ & $G(z)$\\ + \hline + $\frac{1}{s}$ & $\sigma(t)$ & $\sigma(k)$ & $\frac{z}{z-1}$ \\ + $\frac{1}{s^2}$ & $t\cdot \sigma(t)$ & $kT\cdot\sigma(k)$ & $\frac{Tz}{(z-1)^2}$ \\ + $\frac{1}{1+s \tau }$ & $1/tau e^{-t/\tau}$ & $1/tau e^{-t/\tau}$& $\frac{1}{\tau}\frac{z}{z-e^{-T/\tau}}$ \\ + \hline + + % @@@ PG: Stimmt nicht: Die Summe der Zahlen ist 194! + \end{tabular} + \end{center} +\end{table} + +Die erste Zeile von \ref{table:impuls} zeigt, wie der diskrete Integrator aus dem kontinuierlichen hervorgeht. Auf den Impuls antwortet der Integrator mit der Sprungfunktion. Die dritte Spalte verzeichnet die Sprungfolge als deren Abtastung, also die diskretisierte Impulsantwort, welche in den Tabellen oft nicht verzeichnet ist. Z-transformiert ergibt sich $G(z)$, in Zeile eins für den Integrator. Allerdings hat dieser diskrete Integrator nicht die Bedeutung des Akkumulators bei den Verfahren nach Euler und Tustin. So gilt für Impulse-Diskretisierung nicht die allgemeine Korrespondenz aus Spalte eins und vier, auch kann nicht einfach im Blockschaltbild der Differenzialgleichung jeder Integrator durch den Akkumulator ersetzt werden. + +Die dritte Zeile von \ref{table:impuls} entspricht dem PT$_{1}$-Glied, womit die Einträge etwas abgewandelt sind im Vergleich zu typischen Korrespondenztabellen. $G(z)$ ist also das diskrete PT$_{1}$-Glied im Sinne einer Impuls-Diskretisierung. %\glqq{}{Boris ermöglicht die blockorientierte Simulation % dynamischer Systeme nahezu beliebiger Art}\grqq{} % \citep[S. 25]{boris2009}. diff --git a/hauptdatei.bib b/hauptdatei.bib index 99f73fa..ca25472 100644 --- a/hauptdatei.bib +++ b/hauptdatei.bib @@ -28,16 +28,15 @@ note = {Lecture 7: Discrete Approximation of Continuous-Time Systems. \url{https } - - -@MISC{zeppelin2013, -author = {{ZLT Zeppelin Luftschifftechnik}}, -title = {{Der Zeppelin NT}}, -month = {Juni}, -year = {2013}, -note = {\url{http://www.zeppelinflug.de/zeppelin-nt-211.html}} +MISC{SystemtheorieOnline, +author = {{Manfred Strohrmann}}, +title = {{Systemtheorie Online}}, +month = {}, +year = {}, +note = {\url{https://www.eit.hs-karlsruhe.de/mesysto/quicklink/startseite.html}} } + @MISC{mathworks2013, author = {MathWorks}, title = {{Simulink Target Hardware}}, @@ -49,11 +48,11 @@ note = {\url{http://www.mathworks.de/discovery/simulink-target-hardware.html}} @MISC{bild_quad, -author = {Tilman Pietzsch}, -title = {{Microcopter}}, -month = {November}, -year = {2011}, -note = {\url{http://www.microcopters.de/photos/98/dsc-1577.jpg}} +author = {Manfred Strohrmann}, +title = {{Systemtheorie Online}}, +month = {März}, +year = {2021}, +note = {\url{https://www.eit.hs-karlsruhe.de/mesysto/fileadmin/downloads/teilB/PDFs/Musterloesungen/Skript_TDS_Musterloesungen_Kapitel_6.pdf}} } @article{BINGULAC1992293, diff --git a/hauptdatei.tex b/hauptdatei.tex index 9197164..2971cda 100644 --- a/hauptdatei.tex +++ b/hauptdatei.tex @@ -236,25 +236,25 @@ \clearpage \input{2_Grundlagen} - % Abschnitt 3: Beispiele + % Abschnitt 3: Euler \clearpage \input{3_Euler-Diskretisierung} - - % Abschnitt 4: Beispiele + + % Abschnitt 7: Tustin \clearpage - \input{4_ZOH-Diskretisierung} + \input{7_Tustin-Diskretisierung} -% Abschnitt 5: Beispiele +% Abschnitt 5: Impulse \clearpage \input{5_Impulse-Diskretisierung} -% Abschnitt 6: Beispiele + % Abschnitt 4: ZOH \clearpage - \input{6_FOH-Diskretisierung} + \input{4_ZOH-Diskretisierung} -% Abschnitt 7: Beispiele +% Abschnitt 6: FOH \clearpage - \input{7_Tustin-Diskretisierung} + \input{6_FOH-Diskretisierung} % Abschnitt 7: Beispiele \clearpage -- GitLab