diff --git a/FB_Diskretisierung.pdf b/FB_Diskretisierung.pdf index e8ff27697183db566154c1444d13a7a85403469d..0948135221e1cd1e0303a403aa4cb1b835902d8c 100644 Binary files a/FB_Diskretisierung.pdf and b/FB_Diskretisierung.pdf differ diff --git a/Regelungstechnik.tex b/Regelungstechnik.tex index 819b750ffcfbb8119a8982c986dc7d70df647507..a2dce4a6ca2b579b9f45a3e11d43d20925135dcc 100644 --- a/Regelungstechnik.tex +++ b/Regelungstechnik.tex @@ -33,7 +33,7 @@ so dass hier nur die Messgröße über den D-Anteil geführt wird, siehe Bild \r \text{Typ I:}~~ &G_I(z)=\frac{k_p}{T_I}\frac{T}{z-1}\\ \text{Typ II:}~~ &G_I(z)=\frac{k_p}{T_I}\frac{Tz}{z-1} ~\Laplace~ u^I_k = u^I_{k-1} + k_p\frac{T}{T_I} e_k \end{align} -Die verzögerte Integration des Typ I entspricht der Integration bei Forward-Euler-Diskretisierung. Ob diese hier geeignet ist, ist fraglich und der Fokus liegt auf der Variante Typ II liegen, welche der schnelleren Integration bei Backward-Euler-Diskretisierung entspricht. Der D-Anteil wird in beiden Fällen über den Differenzenquotienten +Die verzögerte Integration des Typ I entspricht der Integration bei Forward-Euler-Diskretisierung oder ZOH-Diskretisierung. Ob diese hier geeignet ist, ist fraglich und der Fokus soll auf der Variante Typ II liegen, welche der schnelleren Integration bei Backward-Euler-Diskretisierung entspricht. Der D-Anteil wird in beiden Fällen über den Differenzenquotienten \begin{align} u_k^D = k_P T_d\frac{e_k-e_{k-1}}{T}\\ \end{align} @@ -55,12 +55,12 @@ U(z) = kp\left(1 + \frac{T}{2T_I} \frac{z+1}{z-1} +\frac{T_D}{T} \frac{z-1}{z} \end{align} wobei der Differenzialanteil nach \begin{align}\label{eq:BWE} -s\equiv \frac{z-1}{zT}~~\text{Backward-Euler} +s\equiv \frac{z-1}{zT}~~\text{(Backward-Euler)} \end{align} diskretisiert bleibt. In \cite{unbehauen2000RT2} wird der PID-T1-Regler angegeben. Dabei sei es auch hier von Vorteil, das PT1 Glied mit der Entsprechung -nach Gl. \ref{Backward-Euler} +nach Gl. \eqref{eq:BWE} zu diskretisieren: \begin{align}\label{eq:PIDT1} G_{PI-DT1}(z) = kp\left(1 + \frac{T}{2T_I} \frac{z+1}{z-1} +\frac{T_D}{T} \frac{z-1}{z(1+T_V/T)-T_V/T} \right) @@ -90,9 +90,9 @@ Für $T_V\rightarrow 0$ geht der Regler in die PID-Variante Gl. \eqref{eq:PIDLun \end{center} \end{figure} -Als Gedankenexperiment sei ein kontinuierlicher Regler ZOH-diskretisiert. Betrachte man die Äquivalenz aus Bild \ref{fig:zeitbereichsäquivalenzZOH} liefert $G_{ZOH}(z)$ Werte, welche auf dem kontinuierlichen Ausgang der Reihenschaltung von ZOH-Glied und $G(s)$ liegt. Bei Einsatz von $G\textbf{}(z)$ wird dessen Ausgangsfolge wieder für die Abtastperiode konstant gehalten, woraus sich die Äquivalenz aus Bild \ref{fig:AllgemReglerdigital} ergibt. Das Ziel der Überlegung ist zu verdeutlichen, dass der Einbau von zwei Verzögerungsglieder eine eher schlechte Lösung darstellt. Für den Grenzfall des P-Reglers ist aufgrund der separaten Abtastung ein Abtast-Haltglied unwirksam (siehe Reihenschaltung von MATLAB\texttrademark-ZOH-Blöcken), womit kein Widerspruch zu \ref{fig:PReglerdigital} vorliegt. +Als Gedankenexperiment sei ein kontinuierlicher Regler ZOH-diskretisiert. Betrachtet man die Äquivalenz aus Bild \ref{fig:zeitbereichsäquivalenzZOH} liefert $G_{ZOH}(z)$ Werte, welche auf dem kontinuierlichen Ausgang der Reihenschaltung von ZOH-Glied und $G(s)$ liegt. Bei Einsatz von $G(z)$ wird dessen Ausgangsfolge wieder für die Abtastperiode konstant gehalten, woraus sich die Äquivalenz aus Bild \ref{fig:AllgemReglerdigital} ergibt. Das Ziel der Überlegung ist zu verdeutlichen, dass der Einbau von zwei Verzögerungsgliedern eine eher schlechte Lösung darstellt. Für den Grenzfall des P-Reglers ist aufgrund der separaten Abtastung ein Abtast-Halteglied unwirksam (siehe Reihenschaltung von MATLAB\texttrademark-ZOH-Blöcken), womit kein Widerspruch zu \ref{fig:PReglerdigital} vorliegt. -\textbf{Methoden für die Regler-Diskretisierung.} Eine FOH-Diskretisierung ist offensichtlich die bessere Lösung, da die Werte von $G_{FOH}(z)$ auf dem kontinuierlichen Ausgang von $G(s)$ liegen, wenn dieses System mit einer linearen Interpolation zwischen den Abtastwerten angeregt wird. Diese Äquivalenz ist jedoch nicht realisierbar, da das FOH-Glied zur Interpolation nicht kausal ist. Tatsächlich wird Tustin-Approximation und Matched-Filter-Approximation in \cite{Lunze16b} und \cite{unbehauen2000RT2} zur Reglerdiskretisierung vorgeschlagen, während Euler-Backward-Approximation nur der Vollständigkeit halber und für den Differenzenquotienten erwähnt wird. FOH-Diskretisierung sollte in der Regel aber ebenso gut geeignet sein. +\textbf{Methoden für die Regler-Diskretisierung.} Eine FOH-Diskretisierung ist offensichtlich die bessere Lösung, da die Werte von $G_{FOH}(z)$ auf dem kontinuierlichen Ausgang von $G(s)$ liegen, wenn dieses System mit einer linearen Interpolation zwischen den Abtastwerten angeregt wird. Diese Äquivalenz ist jedoch nicht realisierbar, da das FOH-Glied zur Interpolation nicht kausal ist. Der FOH-diskretisierte Regler ansich ist natürlich realisierbar. Tatsächlich wird Tustin-Approximation und Matched-Filter-Approximation in \cite{Lunze16b} und \cite{unbehauen2000RT2} zur Reglerdiskretisierung vorgeschlagen, während Euler-Backward-Approximation nur der Vollständigkeit halber erwähnt wird und für den Differenzenquotienten und dessen PT1-Approximation (mit sehr kleiner Zeitkonstante) eingesetzt wird. FOH-Diskretisierung sollte in der Regel aber ebenso gut geeignet sein. \begin{figure}[H] \begin{center}