diff --git a/1_Einleitung.tex b/1_Einleitung.tex
index 8d721532e27ee5e7952828857095aa8ce2065056..3bb68247cc58dd23992e78f34c268fe96896d159 100644
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@@ -18,6 +18,8 @@ Weitere Motive zur Ermittlung diskreter Systeme können in der Analyse, Simulati
 
 Besonders einfach sind die Ansätze der Euler-Diskretisierung \ref{sec:Euler-Diskretisierung} welche schnell auch auf nicht-lineare Modelle angewendet werden können. Nach Rekapitulation einiger wichtige Begriffe der Systemtheorie im Grundlagenkapitel \ref{sec:Grundlagen} sollen in Kapitel \ref{sec:Diskretisierungsmethoden} alle genannten Ansätze auch aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden, um einen systematischen Überblick zu ermöglichen.
 
+Die Ansätze können, für die hier behandelten lineare Systeme, sowohl im Zeit- als auch im Frequenzbereich betrachtet werden. Generell ist von Interesse, wie letztlich jede Methode die Integration im diskreten numerisch umsetzt. Nur einige Methoden lassen sich durch Ersetzen aller Integratoren durch diskrete Akkumulatoren umsetzten. Damit ist gemeint, dass in der jeweiligen kontinuierlichen Darstellung der Differenzialgleichung jder Integrator durch den Akkumulator ersetzt wird.  Ob ein stabiles kontinuierliches System in ein stabiles diskretes transformiert wird, hängt von der Abbildung der Polstellen ab. Das diskrete System hat immer die selbe Anzahl an Polstellen. Für dynamische Eigenschaften sind aber auch die Nullstellen relevant. Diese können abgebildet werden oder neu bei der Diskretisierung  entstehen. Wichtige Eigenschaften werden in Tabelle \ref{table:massen} aufgeführt. Ihre Bedeutung soll in den einzelnen Kapitel näher erläutert werden. Neben der Übertragungsfunktion (als Transformationspaar mit der z-Übertragungsfunktion) sollen auch Zustandsraummodelle betrachtet werden.  
+
 \begin{landscape}
 
 \begin{table}[H]
@@ -73,8 +75,6 @@ Besonders einfach sind die Ansätze der Euler-Diskretisierung \ref{sec:Euler-Dis
 \end{landscape}
 %% Quertabelle Ende
 
-Die Ansätze können, für die hier behandelten lineare Systeme, sowohl im Zeit- als auch im Frequenzbereich betrachtet werden. Generell ist von Interesse, wie letztlich jede Methode die Integration im diskreten numerisch umsetzt. Nur einige Methoden lassen sich durch Ersetzen aller Integratoren durch diskrete Akkumulatoren umsetzten. Damit ist gemeint, dass in der jeweiligen kontinuierlichen Darstellung der Differenzialgleichung jder Integrator durch den Akkumulator ersetzt wird.  Ob ein stabiles kontinuierliches System in ein stabiles diskretes transformiert wird, hängt von der Abbildung der Polstellen ab. Das diskrete System hat immer die selbe Anzahl an Polstellen. Für dynamische Eigenschaften sind aber auch die Nullstellen relevant. Diese können abgebildet werden oder neu bei der Diskretisierung  entstehen. Wichtige Eigenschaften werden in Tabelle \ref{table:massen} aufgeführt. Ihre Bedeutung soll in den einzelnen Kapitel näher erläutert werden. Neben der Übertragungsfunktion (als Transformationspaar mit der z-Übertragungsfunktion) sollen auch Zustandsraummodelle betrachtet werden.  
-
 \begin{figure}[H]
   \begin{center}
     \includegraphics[width=0.8\textwidth]{bilder/Sprungantwort_Vergleich}
@@ -102,9 +102,11 @@ Der Verlauf für das ZOH-approximierte System liegt zu den Zeitpunkten $kT$ exak
 Aus einer anderen Perspektive wird aber lediglich ein anderer Aspekt, nämlich die Impulsantwort exakt nachgebildet, bzw. bei einer Identifikation aus Messdaten "`möglichst gut"' approximiert. Ein Vergleich der diskreten mit der kontinuierliche Impulsantwort zeigt Bild \ref{fig:Impulseantwort}.
 
 \textbf{Digitale Regelung.} Für die digitale Regelung ist zunächst ein Verständnis der Bedeutung der Abtastzeit fundamental. Klar ist, dass eine konstante Abtastzeit $T$ kleiner als die dominanten Zeitkonstanten des zu regelnden Prozesses sein muss. Der Regler muss schneller sein als der Prozess. Zur Realisierung benötigt man eine echtzeitfähige Hardware, welche sicherstellt, dass $T$ bis auf tolerierbare Schwankungen (Jitter) eingehalten wird. Eine zu langsame Hardware ist prinzipiell nicht einsetztbar, während die Echtzeitfähigkeit auch fordert, dass der Regel-Algorithmus nicht in zu kurzen Abständen aufgerufen wird.
-Echtzeitfähiger Hardware kann z. B. durch einen priorisierten Interrupt realisiert werden, welcher mittels eines Timers (Uhr) mit der Periode $T$ durchgeführt wird, um den Regel-Algorithmus auszuführen. Der Algorithmus muss natürlich in der Zeit $T$ ausführbar sein, was bei den hier ermittelten diskreten Filtern mit konstanter Anzahl von Operationen leicht sichergestellt werden kann. Aufwendige Algorithmen wie numerische Optimierungen in der Modellprädiktiven Regelung erfordern eine genauere Betrachtung.
+Echtzeitfähige Hardware kann z. B. durch einen priorisierten Interrupt realisiert werden, welcher mittels eines Timers (Uhr) mit der Periode $T$ durchgeführt wird, um den Regel-Algorithmus auszuführen. Der Algorithmus muss natürlich in der Zeit $T$ ausführbar sein, was bei den hier ermittelten diskreten Filtern mit konstanter Anzahl von Operationen leicht sichergestellt werden kann. Aufwendige Algorithmen wie numerische Optimierungen in der modellprädiktiven Regelung erfordern eine genauere Betrachtung.
 
+Kontinuierliche Reglergesetze lassen sich mit unterschiedlichen Ansätzen diskretisieren, wobei das resultierende diskrete Reglergesetz von der Abtastzeit abhängt. Dies soll am Beispiel des PID- bzw. PID-T1-Reglers gezeigt werden, für welchen in der Literatur verschiedene Differenzengleichungen angegeben werden. Genauso ergeben sich je nach Diskretisierungsmethode für allgemeine, dynamische Regler verschiedene diskrete Reglergesetze. Aus der z-Übertragungsfunktion können die Parameter einer kanonischen Filterstruktur für den Regler direkt abgelesen werden. 
 
+ZOH-Diskretisierung eignet sich zur Reglerdiskretisierung nicht. Stattdessen kann die als Abtastsystem bezeichnete Reihenschaltung aus Halteglied und Streckenmodell ZOH-diskretisiert werden, um einen rein diskreten Regelkreis zu erhalten bzw. anhand des diskreten Modells den diskreten Regler zu entwerfen. Für diesen Schritt steht eine eigene Welt von Methoden zu Verfügung, welche hier nicht thematisiert werden.
 
 
 %\begin{landscape}
diff --git a/2_Grundlagen.tex b/2_Grundlagen.tex
index f9a4b500b6f832f7b1997e649ad75f6a36408a47..3f33971e8657d95808f4b674f9333a94a508b7c3 100644
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+++ b/2_Grundlagen.tex
@@ -83,12 +83,12 @@ Die Laplace-Transformation des abgetasteten pseudo-kontinuierlichen Signals
 \begin{align}
 L\{y^*(t)\}&=
 \int_0^\infty \sum_{-\infty}^\infty \rho(t-kT) u(kT)e^{-st} dt\\
-=&\sum_{0}^\infty u(kT) \int_0^\infty \rho(t-kT) e^{-st} dt\\
-=&\sum_{0}^\infty u(kT)  e^{-skT}
+=&\sum_{k=0}^\infty u(kT) \int_0^\infty \rho(t-kT) e^{-st} dt\\
+=&\sum_{k=0}^\infty u(kT)  e^{-skT}
 \end{align}
 motiviert den Übergang zur z-Transformation durch Ersetzen von $z=e^{sT}$ für diskrete Folgen $u_d(k)$
 \begin{align}
-Z\{u(k)\}=\sum_{0}^\infty u(k)  z^{-k} = U(z)
+Z\{u(k)\}=\sum_{k=0}^\infty u(k)  z^{-k} = U(z)
 \end{align}
 
 Zu beachten ist, dass der Einheitsimpuls
@@ -105,7 +105,9 @@ nicht aus der Abtastung des Dirac-Impulses hervorgeht, da dieser bei null nicht
 
 %Ersetz man in der Laplace-Transformation , so entsteht die z-Transformation, über welche 
 Die diskrete Impulsantwort als Reaktion auf den diskreten Impuls $\rho(k)$ und die diskrete Übertragungsfunktion bilden ein z-Transformationspaar 
-\[g(k)~~\laplace~~ G(z) = \frac{Y(z)}{U(z)} = K_d\frac{\Pi_{i=1}^q (z-z_{0i})}{\Pi_{i=1}^n (z-z_i)}~~,\]
+\begin{align}\label{eq:diskPN}
+g(k)~~\laplace~~ G(z) = \frac{Y(z)}{U(z)} = K_d\frac{\Pi_{i=1}^q (z-z_{0i})}{\Pi_{i=1}^n (z-z_i)}~~,
+\end{align}
 womit sich ähnliche Darstellungen und Zusammenhänge wie im Kontinuierlichen ergeben (siehe auch Seite 8). 
 %\pageref{ref:pdfuebersicht} funktionieren nicht
 %\ref{ref:pdfuebersicht}
diff --git a/6_FOH-Diskretisierung.tex b/6_FOH-Diskretisierung.tex
index 900f0c1eb8ef4719023fe043fa8d9401f9b8d239..9d39b8ee07b27e608c9e99c220948d8614e258dc 100644
--- a/6_FOH-Diskretisierung.tex
+++ b/6_FOH-Diskretisierung.tex
@@ -109,7 +109,7 @@ R(z) = \frac{T}{z-1}H(z)
 \]
 erhalten wir dann
 \[
-G_{FOH}(z) = \underbrace{\frac{T}{z-1}  \frac{z}{z-1}}_{\Laplace~ \gamma(k) \text{aus \eqref{eq:gammak}}} R(z)~~.
+G_{FOH}(z) = \underbrace{\frac{z-1}{T}}_{\Laplace~ \gamma(k) \text{aus \eqref{eq:gammak}}}  \frac{z-1}{z} R(z)~~.
 \]
 
 
diff --git a/FB_Diskretisierung.pdf b/FB_Diskretisierung.pdf
index 4ea3b4f80b4fe654fb5316c4d0d76898e5794eb4..e8ff27697183db566154c1444d13a7a85403469d 100644
Binary files a/FB_Diskretisierung.pdf and b/FB_Diskretisierung.pdf differ
diff --git a/Regelungstechnik.tex b/Regelungstechnik.tex
index 1011067ab32f40a739a228462feb1e6a9f1661b9..819b750ffcfbb8119a8982c986dc7d70df647507 100644
--- a/Regelungstechnik.tex
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@@ -50,23 +50,101 @@ u_k &=u_k^P + u_k^I + u_k^D\\
 Tabelliert erhält man in \cite{lutz:2005} für beide Typen die Koeffizienten der Übertragungsfunktion für den \textit{Stellungsalgorithmus} des PID-Reglers sowie der Spezialfälle.
 
 In \cite{Lunze16b} und \cite{unbehauen2000RT2} wird jeweils vorgeschlagen, den I-Anteil durch die Trapez-Regel entsprechend Tustin-Diskretisierung zu realisieren, also für den echten PID-Regler 
-\[
-U(z) = kp\left(1 + \frac{T}{2T_I} \frac{z+1}{z-1} +\frac{k_D}{T} \frac{z-1}{z} E(z) \right)
-\]
-In  \cite{unbehauen2000RT2} wird der PID-T1-Regler angegeben. Dabei sei es von Vorteil, das PT1 Glied mit der Entsprechung
-...
-zu diskretisieren.
+\begin{align}\label{eq:PIDLunze}
+U(z) = kp\left(1 + \frac{T}{2T_I} \frac{z+1}{z-1} +\frac{T_D}{T} \frac{z-1}{z}  \right)E(z)~~,
+\end{align}
+wobei der Differenzialanteil nach
+\begin{align}\label{eq:BWE} 
+s\equiv  \frac{z-1}{zT}~~\text{Backward-Euler}
+\end{align}
+diskretisiert bleibt.
+
+In  \cite{unbehauen2000RT2} wird der PID-T1-Regler angegeben. Dabei sei es auch hier von Vorteil, das PT1 Glied mit der Entsprechung
+nach Gl. \ref{Backward-Euler}
+zu diskretisieren:
+\begin{align}\label{eq:PIDT1}
+G_{PI-DT1}(z) = kp\left(1 + \frac{T}{2T_I} \frac{z+1}{z-1} +\frac{T_D}{T} \frac{z-1}{z(1+T_V/T)-T_V/T}  \right)
+\end{align}
+Für $T_V\rightarrow 0$ geht der Regler in die PID-Variante Gl. \eqref{eq:PIDLunze} über.
 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subsection{Diskretisierung und Implementierung allgemeiner Regler
          \label{sec:allgemeineRegler}}
+
+\begin{figure}[H]
+\begin{center}
+  \includegraphics[width=0.8\textwidth]{bilder/PReglerdigital}
+      \caption{P-Regler und Modifikation bei digitaler Realisierung. %\citep{yawpitchroll2013}%
+             \label{fig:PReglerdigital}}
+\end{center}
+\end{figure}
+
 				
+\textbf{Vergleich von kontinuierlichem und diskreten Regler.} In wenigen Fällen kann man direkt nachvollziehen, wie sich ein kontinuierlicher Regler in seiner Struktur verschlechtert, wenn man zum diskreten Regelkreis übergeht. Realisiert man einen P-Regler auf einem Rechner und geht davon aus, dass dieser nach Einlesen des Eingangswertes innerhalb eines Bruchteils der Abtastperiode den Ausgangswert (Durchgriff) berechnet und am Ausgang setzt und konstant hält, dann kann der diskrete Regler durch Hinzufügen eine ZOH-Gliedes vor oder hinter dem P-Glied modelliert werden. Beide Regelkreise unterscheiden sich genau dadurch, dass der diskrete Regler den Abtastwert für die Dauer der Abtastperiode konstant hält, siehe Bild \ref{fig:PReglerdigital}.
+
+\begin{figure}[H]
+\begin{center}
+  \includegraphics[width=0.8\textwidth]{bilder/AllgemReglerdigital}
+      \caption{Allgemeiner Regler und Modifikation bei ZOH-Diskretisierung. %\citep{yawpitchroll2013}%
+             \label{fig:AllgemReglerdigital}}
+\end{center}
+\end{figure}
+
+Als Gedankenexperiment sei ein kontinuierlicher Regler ZOH-diskretisiert. Betrachte man die Äquivalenz aus Bild \ref{fig:zeitbereichsäquivalenzZOH} liefert $G_{ZOH}(z)$ Werte, welche auf dem kontinuierlichen Ausgang der Reihenschaltung von ZOH-Glied und $G(s)$ liegt. Bei Einsatz von $G\textbf{}(z)$ wird dessen Ausgangsfolge wieder für die Abtastperiode konstant gehalten, woraus sich die Äquivalenz aus Bild \ref{fig:AllgemReglerdigital} ergibt. Das Ziel der Überlegung ist zu verdeutlichen, dass der Einbau von zwei Verzögerungsglieder eine eher schlechte Lösung darstellt. Für den Grenzfall des P-Reglers ist aufgrund der separaten Abtastung ein Abtast-Haltglied unwirksam (siehe Reihenschaltung von MATLAB\texttrademark-ZOH-Blöcken), womit kein Widerspruch zu \ref{fig:PReglerdigital} vorliegt.
+
+\textbf{Methoden für die Regler-Diskretisierung.} Eine FOH-Diskretisierung ist offensichtlich die bessere Lösung, da die Werte von $G_{FOH}(z)$ auf dem kontinuierlichen Ausgang von $G(s)$ liegen, wenn dieses System mit einer linearen Interpolation zwischen den Abtastwerten angeregt wird. Diese Äquivalenz ist jedoch nicht realisierbar, da das FOH-Glied zur Interpolation nicht kausal ist. Tatsächlich wird Tustin-Approximation und  Matched-Filter-Approximation in \cite{Lunze16b} und \cite{unbehauen2000RT2} zur Reglerdiskretisierung vorgeschlagen, während Euler-Backward-Approximation nur der Vollständigkeit halber und für den Differenzenquotienten erwähnt wird. FOH-Diskretisierung sollte in der Regel aber ebenso gut geeignet sein. 
+
+\begin{figure}[H]
+\begin{center}
+  \includegraphics[width=0.8\textwidth]{bilder/Filter}
+      \caption{Kanonische digitale Filterstruktur. %\citep{yawpitchroll2013}%
+             \label{fig:Filter}}
+\end{center}
+\end{figure}
+
+\textbf{Implementierung.} Liegt bereits eine Differenzengleichung oder ZRM vor, sollte die Implementierung keine Schwierigkeit darstellen. Aus der 
+z-Übertragungsfunktion ist eine Zeitbereichs-Darstellung zunächst abzuleiten. Die Darstellung als gebrochen rationale Funktion eignet sich, um direkt die Koeffizienten der kanonische Normalform eines digitalen Filters abzulesen. Stellt man die z-Übertragungsfunktion anstelle der Pol-/Nulstellenform \eqref{eq:diskPN} als gebrochen rationale Funktion
+\[
+G(z) = \frac{U(z)}{E(z)} =  \frac{\sum_{k=0}^n a_k z^{-k}}{\sum_{k=0}^q b_k z^{-k}}
+\]
+dar, dann ergibt sich im Zeitbereich
+\[
+b_0 e_k + b_1 e_{k-1} +b_2 e_{k-2} \hdots = a_0 u_k + a_1 u_{k-1} + a_2 u_{k-2} \hdots
+\]
+Filter, realisiert durch die Filterstruktur Bild \ref{fig:Filter}. Die Filterkoeffizienten sind bis auf einen Faktor eindeutig.
+
+\textit{Beispiel: PI-DT1-Regler. Geht man von Gl. \eqref{eq:PIDT1} aus und setzt $b_0=1$, dann erhält man durch Aufmultiplizieren die auch in \cite{unbehauen2000RT2} angegebenen Filterkoeffizienten
+\begin{align}
+a_0 &= \frac{k_p}{1+T_V/T} \left(1+ \frac{T+T_V}{2T_I}  +  \frac{T_D+T_V}{T} \right)\\
+a_1 &= \frac{k_p}{1+T_V/T} \left(-1 + \frac{T}{2T_I} - 2\frac{T_D+T_V}{T} \right) \\
+a_2 &= \frac{k_p}{1+T_V/T} \left(\frac{T_D+T_V}{T}- \frac{T_V}{2T_I} \right)\\ 
+b_1 &= -\frac{T_V}{T+T_V} 
+\end{align}
+Nachteilig gegenüber der parallelen Implementierung der drei Anteile P, I und DT1 ist, dass für den Grenzfall des verschwindenden I-Anteils ($T_I\rightarrow \infty$) die Differenzengleichung und die Filterstruktur formal weiterhin von zweiter Ordnung ist. Allerdings verhält das Filter sich exakt, wie das verbleibende Filter aus P- und DT1-Anteil erster Ordnung.     
+}
 				
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subsection{Abtastsystem, (ZOH-)Diskretisierung der Strecke 
          \label{sec:Abtastsystem}}
+
+\begin{figure}[H]
+\begin{center}
+  \includegraphics[width=0.8\textwidth]{bilder/Abtastsystem}
+      \caption{Abtastsystem als Reihenschaltung aus ZOH-Glied und Streckenmodell %\citep{yawpitchroll2013}%
+             \label{fig:Abtastsystem}}
+\end{center}
+\end{figure}
 				
-				
+Betrachtet man einen Regelkreis mit diskretem Regler $G_R(z)$, an dessen Ausgang das Signal für eine Periode gehalten wird (ZOH), dann stellt die Reihenschaltung aus einem mit Abtastsignal beaufschlagtem ZOH-Glied und dem kontinuierlichen Streckenmodell das Abtastsystem dar, siehe Bild \ref{fig:Abtastsystem}. Dieses diskretisieren wir aus Sicht des Reglers exakt, also im Sinne der ZOH-Diskretisierung, um mit dem diskreten Regler einen rein diskreten Regelkreis zu erhalten. Da das diskrete Modell die kontinuierlichen Ausgangssignale der Strecke (auch bei großer Abtastzeit) exakt trifft, ist es bestens für den Reglerentwurf in der rein diskreten Welt mit ganz eigenen Methoden der diskreten Regelung geeignet.  				
 
 
+\begin{figure}[H]
+\begin{center}
+  \includegraphics[width=0.8\textwidth]{bilder/ZOH-Identität}
+      \caption{Äquivalenter diskreter Regelkreis mit ZOH-diskretisiertem System %\citep{yawpitchroll2013}%
+             \label{fig:ZOH-Identität}}
+\end{center}
+\end{figure}
+
+Die Äquivalenz in den diskreten Signalen $u(k)$ und $y(k)$ soll Bild \ref{fig:ZOH-Identität} verdeutlichen. Vom klassischen Regelkreis (oben) ausgehend, wird der Abtaster verschoben (mitte). Das ZOH-diskretisierte System ersetzt das Streckenmodell (unten) und der Regelkreis ist rein diskret.
  
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diff --git a/bilder/PIDmod.PNG b/bilder/PIDmod.PNG
index acc1fa58f9e4a6eb1e4942bf3ca98cd06c1f1632..063718599707ba6e7d43d2d68773ccf89afcaa42 100644
Binary files a/bilder/PIDmod.PNG and b/bilder/PIDmod.PNG differ