Select Git revision
shell-scripts-6.txt
Forked from
Peter Gerwinski / bs
Source project has a limited visibility.
3_Euler-Diskretisierung.tex 19.22 KiB
\subsection{Euler-Diskretisierung
\label{sec:Euler-Diskretisierung}}
Der Euler-Ansatz besteht darin, die kontinuierliche Zeitableitung durch den Differenzenquotienten zu ersetzen, im ersten Fall (nicht-kausal) mit dem zukünftigen Wert des abzuleitenden Signals, im zweiten Fall mit dem vergangenen Wert (kausal). In beiden Fällen erhält man kausale, diskrete Systeme, allerdings mit ungünstigen Eigenschaften bezüglich Transformation der Eigenwerte/Pole. Im MIT-Video \citep{yawpitchroll2013} sind diese Eigenschaften dargestellt. Von Vorteil ist, dass auch nichtlineare Differenzialgleichungen auf diese Art leicht diskretisiert werden können. Für lineare Systeme könnte der Ansatz als naiv betrachtet, weshalb in der Quelle \citep{yawpitchroll2013} gegen Ende zur Tustin-Approximation (Kap. \ref{sec:Tustin-Approximation}) übergegangen wird.
\subsubsection{Euler-Forward-Diskretisierung (explizit)
\label{sec:Euler-Forward-Diskretisierung}}
\textbf{Differenzenquotient.} Der Ansatz der Euler-Diskretisierung ist es, die Differenziale durch den Differenzenquotienten zu ersetzen. Bei der Euler-Forward-Methode
\begin{align}\label{Forward_diffq}
\dot{x}\approx \frac{x(k+1)-x(k)}{T}
\end{align}
bildet man die Differenz aus dem \textbf{zukünftigen} Wert und dem aktuellen Wert zum Zeitpunkt $k$ und bildet den Quotienten mit der Abtastzeit $T$.
Die Differenzengleichung des diskreten Differenziators mit Eingang $u(k)$ lautet also
\begin{align*}
y(k)&= \frac{u(k+1)-u(k)}{T}~~.
\end{align*}
Sie ist nicht realisierbar, weil nicht kausal. Allerdings gilt ja auch der ideale kontinuierliche Differenziator als nicht-kausal. Die Übertragungsfunktion ergibt sich durch z-Transformation zu
\begin{align*}
Y(z) = \frac{zU(z)- U(z)}{T} ~~\Leftrightarrow~~ \frac{Y(z)}{U(z)}=\frac{z-1}{T}~\leftrightarrow G(s)=s
\end{align*}
und führt auf den Zusammenhang $sT+1 \equiv z$. Dies entspricht auch der Taylorreihenentwicklung \eqref{eq:Taylorreihe} für $f(s)=e^{sT}$ um $s_0=0$ bis zum Term erster Ordnung:
\begin{align}\label{eq:TaylorE}
z = e^{sT} = \sum_{n=0}^\infty \frac{T^n}{n!} s^n = 1+ sT + \frac{(sT)^2}{2} \hdots \approx 1+sT
\end{align}
\textbf{Integration.} Bei der Euler-Diskretisierung ersetzt man jede elementare Differenziation entsprechend, bzw. jede Integration, welche z. B. im Signalflussgraphen der Differenzialgleichungen auftritt. Als Umkehroperation zur Bildung des Differenzenquotienten leiten wir die diskrete Integration bzw. Akkumulation wie ab. Wir vertauschen Ein- und Ausgang und bilden den Differenzenquotienten des Ausgangssignals:
\[u(k)= \frac{y(k+1)-y(k)}{T}\]
Umstellen nach $y$ liefert die die Differenzengleichung für den Akkumulator:
\begin{align*}
y(k+1)&=y(k)+T u(k)\\
\end{align*}
\begin{tikzpicture}[node distance=2.5cm,auto,>=latex', scale=3]
\node [int] (a) {$\text{A}_{EF}$}; %\node [int, pin={[init]above:$v_0$}] (a) {$\int$};
\node (b) [left of=a,node distance=2cm, coordinate] {a};
\node (c) [right of=a] {$$}; %\node [int, pin={[init]above:$p_0$}] (c) [right of=a] {$\int$};
\node (d) [right of=c] {$$};
\node (e) [right of=d] {$\text{A}_{EF}:~y(k)=y(k-1)+T u(k-1)$};
\node [coordinate] (end) [right of=c, node distance=2cm]{};
\path[->] (b) edge node {$u(k)$} (a);
\path[->] (a) edge node {$y(k)$} (c);
\end{tikzpicture}
Unter Anwendung der z-Transformation erhält man
\begin{align*}
Y(z) (1- z^{-1}) &= T z^{-1} U(z)\\
\Leftrightarrow G(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}&=T\frac{1}{z-1}
\end{align*}
als Übertragungsfunktion des diskreten Integrators.
Tatsächlich kann jeder Integrator wie bereits erwähnt entsprechend
\begin{align}
\frac{1}{s}\equiv T\frac{1}{z-1}
\end{align}
durch den Akkumulator ersetzt bzw. jede Zeitableitung $s$ durch den Kehrwert.
\textbf{Pol-/Nullstellenverschiebung.} Die Abbildung im Frequenzbereich ist also durch
\begin{align*}
s\equiv (z-1)\cdot 1/T~~~\text{bzw.}~~~z\equiv sT+1
\end{align*}
gegeben und die Überführung erfolgt durch Ersetzen komplexen Variablen $s\mapsto (z-1)/T$.
Eine Eigenschaft des Ansatzes ist damit, dass eine eindeutige $s-z$-Transformation stattfindet, insbesondere auch der Pol- und Nullstellen.
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (0,0) -- (5,0) node[below] {$Re$}; \draw[->] (2.5,-2.5) -- (2.5,2.5) node[above] {s-Ebene}; \draw[->] (2.5,-2.5) -- (2.5,2.5) node[right] {$Im$};
\draw[->] (6,0) -- (11,0) node[below] {$Re$}; \draw[->] (8.5,-2.5) -- (8.5,2.5) node[above] {z-Ebene}; \draw[->] (8.5,-2.5) -- (8.5,2.5) node[right] {$Im$};
%\draw[fill=red!20] (-2.5,0)--(2.5,5);
\fill [fill=red!20, fill opacity=0.5] (0,-2.5) rectangle (2.5,2.5);
\fill [fill=red!20, fill opacity=0.5] (6,-2.5) rectangle (9.5,2.5);
\draw [dashed] (8.5,0) circle[radius=1];
%\fill [fill=red!20, fill opacity=0.2] (9.5,0) circle[radius=1];
%\draw [black] (9.5,0) circle[radius=1];
\draw (9.5,-0.1) -- (9.5,0.1) node[below]{1};
\draw[fill = red] (2.5,0) circle[radius=0.1];
\draw[fill = red] (9.5,0) circle[radius=0.1];
%\draw[fill = red] (9.5,1) diamond[radius=0.1];
%\node[diamond] (9.5,1);
\node[below] at (1.5,0) (name) {$-1/T$};
\node[star, fill = red, inner sep=2pt, minimum size=0.1pt] at (1.5,0) (name) {};
\node[star, fill = red, inner sep=2pt, minimum size=0.1pt] at (8.5,0) (name) {};
\node[diamond, fill = red, inner sep=2pt, minimum size=0.1pt] at (2.5,1) (name) {};
\node[diamond, fill = red, inner sep=2pt, minimum size=0.1pt] at (2.5,-1) (name2) {};
\draw[->,thick] (8.5,2)--(9.5,2);
\draw[->,thick] (8.5,-2)--(9.5,-2);
%\draw[] node(name2) {text};
%%Bild
\node[diamond, fill = red, inner sep=2pt, minimum size=0.1pt] at (9.5,1) (name) {};
\node[diamond, fill = red, inner sep=2pt, minimum size=0.1pt] at (9.5,-1) (name) {};
\end{tikzpicture}
\caption{Transformation der Pol- und Nullstellen bei Euler-Forward-Diskretisierung \label{fig:s-zEuler}}
\end{center}
\end{figure}
Betrachtet man die Verschiebung der Pole der linken s-Halbebene, so können stabile Systeme in instabile diskrete Systeme transformiert werden.
Man kann sich vorstellen, dass nur in Ausnahmefällen stabile Pole des kontinuierlichen Systems im Einheitskreis der z-Ebene landen und somit auch stabile Pole des diskreten Systems darstellen. Das dargestellte, grenzstabile Polpaar wird auf instabile Pole des diskreten Systems führen, aber auch zu weit links in der s-Ebene liegende Pole transformieren bei zu geringer Abtastrate möglicherweise nicht auf stabile Pole.
\textbf{Zustandsraummodell.} Die Art der Polverschiebung zeigt sich auch bei Diskretisierung der Zustandsgleichung des ZRM \eqref{ZRM_kont}, wo mit dem Differenzenquotienten \eqref{Forward_diffq} folgt
\begin{align*}
\jv x_{k+1}-\jv x_k&=T \jv A_k \jv x_k + T \jv B_k \jv u_k\\
\Leftrightarrow\jv x_{k+1}&=(\underbrace{T\jv A_k+\jv I}_{\jv A_d}) \jv x_k + \underbrace{T\jv B_k}_{\jv B_d} \jv u_k~~.
\end{align*}
Auch hier wird die Skalierung und Verschiebung der Systemeigenwerte deutlich, welche in der Regel die Pole des Systems bilden.
ZRM-EF:
\begin{empheq}[box=\fbox]{align*}
%\boxed{
\jv A_d &= T\jv A_k+\jv I ~~&~~ \jv B_d &= T\jv B_k \\
%&&= (e{\jv A_k T}-\jv I){\jv A_k}^{-1}\jv B_k\\^
\jv C_d &=\jv C_k =\jv C ~~&~~ \jv D_d &= \jv D_k =\jv D
%}
\end{empheq}
%}
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{bilder/step-ForwardEuler}
\caption{Sprungantwort eines Systems 2. Ordnung und Euler-Forward-Diskretisierung für verschiedene Abtastzeiten %\citep{yawpitchroll2013}%
\label{fig:step-ForwardEuler}}
\end{center}
\end{figure}
\textbf{Beispiel.} Die Sprunganwort (Bild \ref{fig:step-ForwardEuler}) für das EF-diskretisierte Originalsystem
\[G(s)=\frac{s+1}{s^2+s+1}\]
liegt für $T=0.5$ im Vergleich zu anderen Verfahren (Bild \ref{fig:Sprungantwort}) weiter von der kontinuierlichen Sprungantwort weg. Wie Bild \ref{fig:step-ForwardEuler} zeigt, nähern sich die diskreten Werte dem kontinuierlichen Original bei Reduktion der Abtastzeit. In der Simulationstechnik wird genau die notwendige, sehr geringe Schrittweite als Ausschlusskriterium für das Verfahren genannt. Für größere $T$ wird das diskrete System instabil. Die statische Verstärkung des Originalsystems $h(t\rightarrow\infty)$ entspricht unabhängig von $T$ der, des diskreten Systems. Das dies im Allgemeinen der Fall ist, kann anhand der Darstellungen in ZRM-Form gezeigt werden:
\begin{align*}
G_k(s=0) = \jv D- \jv C\jv A_k^{-1} \jv B_k &\stackrel{?}{=} \jv D+ \jv C(\jv I-\jv A_d)^{-1} \jv B_d =G_d(z=1)\\
\Leftrightarrow~~ - \jv A_k^{-1} \jv B_k &{=} \jv (\jv I-\jv A_d)^{-1} \jv B_d\\
&{=} \jv (\jv I-\jv (T\jv A_k+\jv I))^{-1} T \jv B_k = - \jv A_k^{-1} \jv B_k
\checkmark
\end{align*}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{Euler-Backward-Diskretisierung (implizit)
\label{sec:Euler-Backward-Diskretisierung}}
\textbf{Differenzenquotient.} Der Ansatz Euler-Backward (EB) bedeutet, einen kausalen diskreten Differenziator zu bilden, bei dem die Zeitableitung durch den Differenzenquozienten aus dem aktuellen und dem \textbf{vergangenen} Vorgängerwert des Signals ersetzt wird:
\begin{align}\label{eq:firstOrderDiff}
\dot{x}\approx \frac{x(k)-x(k-1)}{T}
\end{align}
Wie später durchgeführt, kann das ZRM mit dieser Approximation diskretisiert werden, da es ein System aus Ableitungen erster Ordnung bildet. Um herauszufinden, wie im EB-Sinn Ableitungen höherer Ordnung zu approximieren sind, kann ein ZRM gebildet werden (bzw. nur die Zustandsgleichung), welches äquivalent zur Differenzialgleichung ${\ddot x}_1(t)=u(t)$ ist:
\begin{align*}
\begin{pmatrix} {\dot x}_1\\{\dot x}_2 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0&1\\0&0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} {x}_1\\{x}_2 \end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}
u
\end{align*}
Mit Gl. \eqref{eq:firstOrderDiff} ergeben die zwei Zeilen des ZRM EB-diskretisiert
\begin{align*}
x^1_k-x^1_{k-1} &= T x^2_k\\
x^2_k-x^2_{k-1} &= T u_k
\end{align*}
und das Ersetzen von $x^2$ in Zeile zwei führt auf
\begin{align*}
x^1_k- 2 x^1_{k-1} + x^1_{k-2} &= T^2 u_k
\end{align*}
In \cite{unbehauen2000RT2} ist noch für Ableitungen dritter Ordnung der Differenzenquotient im Sinne der EB-Approximation angegeben, welcher hier für lineare System auf die Approximationen
\begin{align*}%\label{eq:firstOrderDiff}
\ddot{x}&\approx \frac{x(k)-2x(k-1) + x(k-2)}{T^2}\\
\dddot{x}&\approx \frac{x(k)-3x(k-1) + 3x(k-2)-x(k-3)}{T^3}
\end{align*}
führt.
\textbf{Integration.} Leiten wir diesmal direkt aus Gl. \eqref{eq:firstOrderDiff} ab, dass der Differenziation im Frequenzbereich auf der linken Seite ($s$) der Differenz von verzögerten Eingängen ($z^{-1}$) entspricht, also
\begin{align}
s \equiv \frac{1-z^{-1}}{T}~~~\text{bzw.}~~~z\equiv\frac{1}{1-sT}
\end{align}
dann erhalten wir durch Umstellen auch die Übertragungsfunktion des Integrators
\begin{align}\label{EB:Integrator}
\frac{1}{s}\equiv \frac{Tz}{z-1} = \frac{Y(z)}{U(z)}~~.
\end{align}
Durch Umkehrung der E/A-Signale des Differenziators oder durch Transformation der Übertragungsfuktion \eqref{EB:Integrator} kann man die Differenzengleichung des Akkumulators ermitteln:
\begin{tikzpicture}[node distance=2.5cm,auto,>=latex', scale=3]
\node [int] (a) {$\text{A}_{EB}$}; %\node [int, pin={[init]above:$v_0$}] (a) {$\int$};
\node (b) [left of=a,node distance=2cm, coordinate] {a};
\node (c) [right of=a] {$$}; %\node [int, pin={[init]above:$p_0$}] (c) [right of=a] {$\int$};
\node (d) [right of=c] {$$};
\node (e) [right of=d] {$\text{A}_{EB}:~y(k)= y(k-1)+Tu(k)$};
\node [coordinate] (end) [right of=c, node distance=2cm]{};
\path[->] (b) edge node {$u(k)$} (a);
\path[->] (a) edge node {$y(k)$} (c);
\end{tikzpicture}
\textbf{Pol-/Nullstellentransformation.} Auch dieser Ansatzes stellt eine eindeutige Pol-Transformation dar. Die Transformation stabiler Pole aus der linken s-Halbebene führt in einen Kreis um $0.5$ im Einheitskreis, siehe Bild \ref{fig:s-zEuler2}. Das ist bezüglich der dynamischen Eigenschaften des Systems konservativ, soll heißen bestimmt dynamische Eigenschaften stabiler diskreter System können nicht aus stabilen kontinuierlichen Systemen abgeleitet werden.
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (0,0) -- (5,0) node[below] {$Re$}; \draw[->] (2.5,-2.5) -- (2.5,2.5) node[above] {s-Ebene}; \draw[->] (2.5,-2.5) -- (2.5,2.5) node[right] {$Im$};
\draw[->] (6,0) -- (11,0) node[below] {$Re$}; \draw[->] (8.5,-2.5) -- (8.5,2.5) node[above] {z-Ebene}; \draw[->] (8.5,-2.5) -- (8.5,2.5) node[right] {$Im$};
%\draw[fill=red!20] (-2.5,0)--(2.5,5);
\fill [fill=red!20, fill opacity=0.5] (0,-2.5) rectangle (2.5,2.5);
\fill [fill=red!20, fill opacity=0.5] (9.5,0) circle[radius=1];
\draw [dashed] (8.5,0) circle[radius=2];\draw [black] (9.5,0) circle[radius=1];
\draw (9.5,-0.1) -- (9.5,0.1) node[below]{};
\draw[fill = red] (2.5,0) circle[radius=0.1];
\draw[fill = red] (10.5,0) circle[radius=0.1];
%\draw[fill = red] (9.5,1) diamond[radius=0.1];
%\node[diamond] (9.5,1);
\node[] at (3,1) (name) {$j/T$};
\node[diamond, fill = red, inner sep=2pt, minimum size=0.1pt] at (2.5,1) (name) {};
\node[diamond, fill = red, inner sep=2pt, minimum size=0.1pt] at (2.5,-1) (name2) {};
\draw[->,thick] (2.5,0)--(0.5,0);
%\draw[] node(name2) {text};
%%Bild
\node[diamond, fill = red, inner sep=2pt, minimum size=0.1pt] at (9.5,1) (name) {};
\node[diamond, fill = red, inner sep=2pt, minimum size=0.1pt] at (9.5,-1) (name) {};
\draw[->,thick] (10.5,0) -- (9.9,0);
\end{tikzpicture}
\caption{Transformation der Polstellen bei Euler-Backward-Diskretisierung \label{fig:s-zEuler2}}
\end{center}
\end{figure}
Etwas genauer anhand der Pol-/Nullstellenform betrachtet, wird deutlich, dass die Nullstellen genauso abgebildet werden, wie die Pole.
\[
G(s) =K\frac{\Pi_{i=1}^q (s-s_{0i})}{\Pi_{i=1}^n (s-s_i)}\leftrightarrow
K\frac{\Pi_{i=1}^q (\frac{z-1}{zT}-s_{0i})}{\Pi_{i=1}^n (\frac{z-1}{zT}-s_i)}
=K\frac{\Pi_{i=1}^q (z-1-s_{0i}zT)}{\Pi_{i=1}^n (z-1-s_izT)}\cdot (zT)^{n-q}
\]
Hier wird nach dem Ersetzen mit $zT$ erweitert, wobei man prüfe, dass bei identischer Anzahl von Nullstellen und Polen die Terme zur Erweiterung entsprechend wegfallen. Für kausale Systeme ohne Durchgriff sind mehr Pole vorhanden und man erhält $n-q>0$ zusätzliche Nullstellen bei $z_{i0} = 0$ im diskreten System.
Die Form eignet sich, um die Gleichheit der statischen Verstärkungen zu überprüfen:
\[
G_k(0) =K\frac{\Pi_{i=1}^q (-s_{0i})}{\Pi_{i=1}^n (-s_i)}\stackrel{?}{=}
K\frac{\Pi_{i=1}^q (-s_{0i}T)}{\Pi_{i=1}^n (-s_iT)}\cdot (T)^{n-q} = G_d(1) \checkmark
\]
\textbf{Zustandsraummodell.} In Abhängigkeit der Matrizen diskretisiert man die Zustandsgleichung des ZRM
\begin{align}\label{ZRM:kompliziert}
\jv x_k-\jv x_{k-1}&=T\jv A_k\jv x_k + T\jv B_k\jv u_k\\\nonumber
\Leftrightarrow~(\jv I-T\jv A_k)\jv x_{k+1}&= \jv x_k + T\jv B_k \jv u_{k+1}\\
\Leftrightarrow \jv x_{k+1}&= \underbrace{(\jv I-T\jv A_k)^{-1}}_{\overline{\jv A}=\jv A_d} \jv x_k + \underbrace{(\jv I-T\jv A_k)^{-1} T\jv B_k}_{\overline{\jv B}} \jv u_{k+1}
\end{align}
\begin{itemize}
\item Die Umformung von Gl. \eqref{ZRM:kompliziert} in ein ZRM ist etwas aufwendiger, weil hier die vermeidliche Zustandsgröße $\jv x(k+1)$ vom Eingang $\jv u(k+1)$ zum gleichen Zeitpunkt abhängt. Mit einem modifizierten Zustand sollte die Darstellung gelingen (siehe Anhang A und Fortsetzung).
\item Es lässt sich aber erkennen, dass die Zustandsübergangsmatrix $\jv A_d= (\jv I-T\jv A_k)^{-1}$ lautet.
\item Plausibilisiert man sich die Eigenwerttransformation anhand der stabilen Eigenwerte $\lambda_i(jv A_k)<0$ auf der reellen Achse, so kann das mit der speziellen Form der Diagonalmatrix für $\jv A_k$ gelingen. Es gilt dann $\hat{\lambda}_i(\jv I-T\jv A_k)>1$ und damit für die inverse Matrix $0<\lambda_i(\jv A_d)<1$, also im angedeuteten Bildbereich auf der positiven reellen Achse im Einheitskreis.
\end{itemize}
ZRM-EB:
\begin{empheq}[box=\fbox]{align*}
%\boxed{
\jv A_d &= (\jv I-T\jv A_k)^{-1} ~~&~~ \jv B_d &= (\jv I-T\jv A_k)^{-2}T\jv B_k \\
%&&= (e{\jv A_k T}-\jv I){\jv A_k}^{-1}\jv B_k\\^
\jv C_d &=\jv C_k ~~&~~ \jv D_d &= \jv C_k(\jv I-T\jv A_k)^{-1}T\jv B_k + \jv D_k
%}
\end{empheq}
%}
\textbf{Beispiel.} Bei beiden Methoden (EF, EB) erhält man das diskrete System durch entsprechendes Ersetzen von $s$ in $G(s)$, wie hier mit Hilfe der Symbolic Toolbox \texttrademark~ in MATLAB\texttrademark~ durchgeführt. Die statische Verstärkung bleibt erhalten.
\href{https://gitlab.cvh-server.de/jfalkenhain/diskretisierung-linearer-systeme/-/blob/master/Matlab/Diskretisierung_Euler.m}{File on Git: Diskretisierung\_Euler.m}
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{bilder/step-bothEuler}
\caption{Sprungantwort eines Systems 2. Ordnung für Euler-Forward und Euler-Backward-Diskretisierung für verschiedene Abtastzeiten %\citep{yawpitchroll2013}%
\label{fig:stepEuler}}
\end{center}\end{figure}
Wie Bild \ref{fig:stepEuler} zeigt, nähern sich die beiden Ansätze quasi für kleinere Abtastzeiten von verschiedenen Seiten an.
%\citep[S. 25]{mathworks2013}
%\begin{eqnarray}
% P_\text{Welle} &=& 2 \pi M n \label{eq:drehmoment-1} \\
% \Leftrightarrow\quad M &=& \frac{P_\text{Welle}}{ 2 \pi n} \label{eq:drehmoment-2}
%\end{eqnarray}
%\subsection{Compilieren%
% \label{sec:Compilieren}}
%
%\begin{figure}[H]
% \begin{center}
% \includegraphics[width=0.3\textwidth]{bilder/roll_pitch_yaw}
% % Einbinden einer Pixelgrafik.
% % Die Endung „.png“ darf weggelassen werden.
% \caption{Ein Beispielbild mit Quellenangabe \citep{yawpitchroll2013}%
% \label{fig:roll_pitch_yaw}}
% \end{center}
%\end{figure}
%
%\begin{minipage}[b]{7cm}
% \centering
% \includegraphics[width=7cm]{bilder/quadrocopter}
% \captionof{figure}{Quadrocopter \newline
% % kein \\ innerhalb von \caption oder \captionof
% % \newline
% \citep{bild_quad}%
% \label{fig:quadrocopter}}
%\end{minipage}\hfill
%\begin{minipage}[b]{7cm}
% \centering
% \includegraphics[width=7cm]{bilder/ka32S}
% \captionof{figure}{Koaxialhelicopter \newline
% \citep[S. 101]{hubschrauber1997}%
% \label{fig:ka32S}}
%\end{minipage}
%\begin{table}[H]
% \caption{Masse des anzuhebenden Trägers%
% \label{table:massen}}
% \medskip
% \begin{center}
% \begin{tabular}{l|r}
% %
% % Die Leerzeichen im Quelltext haben keinen Einfluß auf die
% % Anordnung innerhalb der Tabelle. Diese wird durch die o.a.
% % Angabe „{l|r}“ gesteuert: linksbündiges Feld, senkrechter
% % Strich, rechtsbündiges Feld.
% %
% Bauteil & Masse[g] \\
% \hline
% Trägerrohr & 35 \\
% Linearlager & 7 \\
% Lagerblock Linearlager & 5 \\
% Kabel und Schrauben & 20 \\
% Motoren & 50 \\
% Propeller & 10 \\
% Propeller Eingriffschutz & 80 \\
% Holzplatte & 14 \\
% Drehzahlsensoren & 5 \\
% \hline
% Gesamtmasse & 226 \\
% % @@@ PG: Stimmt nicht: Die Summe der Zahlen ist 194!
% \end{tabular}
% \end{center}%\end{table}
%
%\glqq{}{Boris ermöglicht die blockorientierte Simulation
% dynamischer Systeme nahezu beliebiger Art}\grqq{}
% \citep[S. 25]{boris2009}.