Title: t5_rul Potenzrechenregeln
Course: Vorkurs-Erhebungen Master

Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck; hierbei sind \(x,y \in \mathbb{R_{> 0}}\).

[value]\(\,=\,\)

Dies ist die Endgegner-Aufgabe dieser Mathe-Welt Potenzrechenrelgen. Wenn du diese Aufgabe schaffst, hast du diese Mathe-Welt gemeistert. Viel Erfolg!

Vereinfachen Sie soweit wie möglich:

[value]\(\,=\,\)

Fangen wir damit an, die Exponenten zu addieren, wenn die Basis gleich ist und multipliziert wird.

Vereinfachen Sie soweit wie möglich:

[value]\(\,=\,\)

Das funktioniert auch in die andere Richtung.

Stellen Sie den Ausdruck in der Form \(c^{\frac{1}{n}}\) dar.

[value]\(\,=\,\)

Mithilfe von Potenzen der Form \(c^{\frac{1}{n}}\) lässt sich die n-te Wurzel von \(c\), also \(\;\sqrt[n]{c}\;\), darstellen.

Vereinfachen Sie soweit wie möglich:

[value]\(\,=\,\)

Wird ein Ausdruck, der eine Potenz enthält, potenziert, lassen sich die Exponenten miteinander multiplizieren.

Nutzen Sie die Potenzrechenregeln, um folgenden Ausdruck zu vereinfachen.

[value]\(\,=\,\)

Hier zur Erinnerung die wichtigsten Potenzrechenregeln. Für \(x, y \neq 0\) und \(n, m \in \mathbb{Z}\) gilt:
- \(x^{n+m} = x^n\,x^m\;\)
Beispiel: \(2^5 = 2^{2+3} = 2^2 \cdot 2^3 = 4 \cdot 8 = 32\)

- \(\left( x^n \right)^m = x^{n\,m}\;\)
Beispiel: \(\left( 2^2 \right)^3 = 2^6 = 64\)
- \((x\,y)^n = x^n\,y^n\;\)
Beispiel: \(6^2 = (2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36\)
- \(\frac{1}{x^n} = x^{-n}\)
Beispiel: \( \frac{1}{x^2} \cdot x^2 = x^{-2} \cdot x^2 = x^{-2+2} = x^0 = 1\)
- \(\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}\)
Beispiel: \( \sqrt[3]{x} \cdot x^3 = x^{\frac{1}{3}} \cdot x^3 = x^{\frac{1}{3}+3} = x^1 = x\)

Um diese Aufgabe zu lösen, kannst du mehrere der gerade erläuterten Regeln kombinieren.