Title: Trash
Course: Vorkurs-Erhebungen Master

Geben Sie die Gleichung \([value]\) in das Eingabefeld ein.

Okay! Hier eine leichte Aufgabe zur Eingabe. Benutze für jede Multiplikation das Symbol * (Stern).

Falls du ohne Tastatur unterwegs bist, kannst du mithilfe des Mathe-Operatoren-Buttons zusätzliche Buttons aktivieren, um alle Mathe-Operatoren schnell zu finden.

Neben dem Eingabefeld siehst du, wie deine Eingabe interpretiert wird.
Wenn du auf den "Prüfen"-Button klickst, wird deine Eingabe als Antwort abgeschickt.

Geben Sie die Gleichung \([value]\) in das Eingabefeld ein.

Okay! Divisionen werden mit / (Slash) dargestellt. Hier erscheinen Sie als Brüche.

Geben Sie die Gleichung \[[value]\] in das Eingabefeld ein.

Mit dem Zeichen ^ (Caret) kannst du Potenzen darstellen.

- \(x^2\) wird so eingegeben: x^2
- \(x^{-2}\) wird so eingegeben: x^(-2)
- \(x^{1/3}\) wird so eingegeben: x^(1/3)

Geben Sie die Gleichung \[[value]\] in das Eingabefeld ein.

Okay! Machen wir es etwas komplizierter. Um Terme in Brüchen darzustellen, musst du besonders auf die Klammersetzung achten.

Geben Sie \[[value]\] in das Eingabefeld ein.

Gut. Um eine Wurzel darzustellen nutze sqrt(x) für \(\sqrt{x}\;\).

Lösen Sie nach \(x\) auf. Geben Sie die Lösung in der Form \(x=? \mbox{ or } x=?\) ein.

\[[value]\]

Achtung: Bitte setzen Sie kein zusätzliches +-Symbol vor positive Zahlen.

Gelegentlich müssen Ausdrücke mit logischen Verbindungen verknüpft werden. Nutze dafür and oder or.

Lösen Sie \(\;\)[value]\(\;\) nach x auf.

Zeigen Sie Ihren Rechenweg, indem Sie diese Aufgabe Zeile für Zeile lösen.

Sie brauchen kein Äquivalenz-Zeichen eingeben.

Um einen Rechenweg darzustellen, tippe jeden Schritt deiner Rechnung in eine neue Zeile in das Eingabefeld ein.

Geben Sie \[[value]\] in das Eingebefeld ein.

Achtung: Bitte kopieren Sie keine Unicode-Zeichen, sondern benutzen Sie einfach Ihre Tastatur.

Wenn griechische Buchstaben einzugeben sind, schreibe sie einfach aus. Beispiel: \(\alpha=\) alpha , \(\beta=\) beta ,\(\pi=\) pi .

Lösen Sie [value] nach \(x\) auf.

Zeigen Sie Ihren Rechenweg, indem Sie diese Aufgabe Zeile für Zeile lösen.

Zur Erinnerung: Das Kommando für \(\sqrt{x}\) lautet sqrt(x). Nutzen Sie or um mehrere Lösungen anzugeben.

Willkommen zum Endgegner dieser Mathe-Welt. Mit dem Lösen dieser Aufgabe hast du die erste Mathe-Welt bereits abgeschlossen. Viel Erfolg!

Kürze und fasse so weit wie möglich zusammen.

\([value] \cdot [value] =\)

Tipp: Gekürzt wird, indem man Zähler & Nenner durch dieselbe Zahl teilt.

Kürze und fasse so weit wie möglich zusammen.

\(\frac{[value]\cdot[value]\cdot[value]}{[value]\cdot[value]\cdot[value]} =\)

Tipp: \(\frac{a^3\,b^2\,c}{a^5\,b\,c^3} = \frac{a\,a\,a\,b\,b\,c}{a\,a\,a\,a\,a\,b\,c\,c\,c}\)

Kürze und fasse so weit wie möglich zusammen.

\(\frac{[value]}{[value]} \cdot \frac{[value]}{[value]} =\)

Tipp: Erst auf einen Bruchstrich sortieren. Beispiel: \(\frac{49\,a}{7\,b} \cdot \frac{21\,a\,b}{7\,a\,c} = \frac{49\,a\cdot 21\,a\,b}{7\,b \cdot 7\,a\,c} = \frac{49 \cdot 21 \cdot a \cdot a \cdot b}{7 \cdot 7 \cdot a\cdot b\cdot c}\)

Kürze und fasse so weit wie möglich zusammen.

\(\frac{[value]}{[value]}\cdot\frac{[value]^2}{([value])([value])[value]}=\)

Tipp: Kennst du noch den Ausspruch „Aus Summen kürzen nur die Dummen“?!

Erweitere jeweils mit der Zahl 5 und fasse so weit wie möglich zusammen.

\([value] = \)

Erweitere jeweils mit der Zahl 5 und fasse so weit wie möglich zusammen.

\(\frac{[value]}{[value]} = \)

Erweitere jeweils mit der Zahl 5 und fasse so weit wie möglich zusammen.

\(\frac{[value]\,[value]\,[value]\,[value]}{[value]\,[value]} = \)

Addiere bzw. subtrahiere und fasse soweit wie möglich zusammen.

\([value] =\)

Tipp: Beim Addieren und Subtrahieren müssen die Nenner der Brüche gleich sein. Kannst du dich noch an das kleinste gemeinsame Vielfache erinnern?

Addiere bzw. subtrahiere und fasse soweit wie möglich zusammen.

\([value] =\)

Tipp: Überlege genau, was ein Minus vor einem Bruch bedeutet.

Addiere bzw. subtrahiere und fasse soweit wie möglich zusammen.

\([value] =\)

Tipp: Jeder Teilnenner (hier: [value], [value], [value]) muss als Faktor im gemeinsamen Nenner vorkommen.

Addiere bzw. subtrahiere und fasse soweit wie möglich zusammen.

\([value] =\)

Addiere bzw. subtrahiere und fasse soweit wie möglich zusammen.

\([value] =\)

Tipp: Zahlen und Variablen zunächst getrennt behandeln, um den gemeinsamen Nenner zu finden.

Addiere bzw. subtrahiere und fasse soweit wie möglich zusammen.

\([value] =\)

Tipp: 1) Überlege genau, was ein Minus vor einem Bruch bedeutet. 2) Jeder Teilnenner (hier: [value], [value], [value]) muss als Faktor im gemeinsamen Nenner vorkommen. 3) Zahlen und Variablen zunächst getrennt behandeln, um den gemeinsamen Nenner zu finden.

Multipliziere bzw. dividiere und fasse soweit wie möglich zusammen.

\([value]\cdot[value] =\)

Tipp: Beim Multiplizieren immer: Zähler Mal Zähler und Nenner Mal Nenner rechnen.

Multipliziere bzw. dividiere und fasse soweit wie möglich zusammen.

\([value] \cdot \frac{[value]^2}{[value]\cdot[value]} =\)

Tipp: Beim Multiplizieren immer: Zähler Mal Zähler und Nenner Mal Nenner rechnen.

Multipliziere bzw. dividiere und fasse soweit wie möglich zusammen.

\([value]\cdot[value]\cdot[value] =\)

Tipp: Wie kann man eine ganze Zahl als Bruch schreiben?

Multipliziere bzw. dividiere und fasse soweit wie möglich zusammen.

\([value] \cdot \frac{-[value]\cdot[value]}{[value]+[value]}=\)

Tipp: Achtung: Summanden & Faktoren => Klammer!

Multipliziere bzw. dividiere und fasse soweit wie möglich zusammen.

\(\large\frac{\frac{[value]}{[value]}}{\frac{[value]}{[value]}} =\)

Tipp: Achtung: Doppelbruch

Multipliziere bzw. dividiere und fasse soweit wie möglich zusammen.

\([value]:[value] =\)

Achtung: Auch ein Doppelbruch ;)

Multipliziere bzw. dividiere und fasse soweit wie möglich zusammen.

\(\large\frac{[value]}{[value]} =\)

Tipp: Achtung: Doppelbruch

Multipliziere bzw. dividiere und fasse soweit wie möglich zusammen.

\(\large\frac{[value] \cdot \frac{1-[value]}{[value]}}{\frac[value]{[value]} \cdot \frac{[value]^2}{[value]}} =\)

Tipp: Achtung: Doppelbruch

Berechne und fasse soweit wie möglich zusammen.

\(\large\frac{\frac{[value]}{[value]}}{\frac{[value]}{[value]}}+[value] \cdot \frac{[value]}{[value]}-\frac{\frac{[value]}{[value]}}{\frac{[value]}{[value]}} =\)

Tipp: Achtung: Doppelbrüche und Summanden => Punkt-vor-Strich-Rechnung

Berechne und fasse soweit wie möglich zusammen.

\([value]\cdot(\frac{[value]}{[value]}+\frac{[value]}{[value]})\cdot (1-\frac{[value]}{[value]})=\)

Tipp: Sorgfältig ausmultiplizieren

Berechne und fasse soweit wie möglich zusammen.

\([value]\frac{[value]}{[value]}\cdot\frac{[value]}{[value]}+1-\frac{[value]-[value]}{\frac{[value]}{[value]}} =\)

Tipp: Achtung: Doppelbruch und gemischter Bruch vs. unechter Bruch

Vereinfachen und faktorisieren Sie folgenden Term mithilfe der binomischen Formeln.

\(\frac{[value]}{[value]} \cdot [value]\)\(\,=\,\)

Um diese Aufgabe zu lösen, musst du mehrere binomische Formeln anwenden.

Faktorisieren Sie folgenden Term mithilfe der binomischen Formeln.

[value]\(\,=\,\)

Um den Bruch aus der Endgegner-Aufgabe zu vereinfachen, musst du binomische Formeln anwenden. Deshalb kommen wir nun zu den binomischen Formeln. Die erste binomische Formel besagt: \((a + b)^2 = a^2 + 2\,a\,b + b^2\;\).

Faktorisieren Sie folgenden Term mithilfe der binomischen Formeln.

[value]\(\,=\,\)

Die zweite binomische Formel besagt:\((a - b)^2 = a^2 - 2\,a\,b + b^2\;\).

Faktorisieren Sie folgenden Term mithilfe der binomischen Formeln.

[value]\(\,=\,\)

Die dritte binomische Formel besagt: \((a + b)\,(a - b) = a^2 - b^2\;\).

Vereinfachen und faktorisieren Sie folgenden Term mithilfe der binomischen Formeln.

[value]\(\,=\,\)

Dies ist der Endgegner zur Mathe-Welt Bruchrechenregeln und binomische Formeln. Wenn du diese Aufgabe schaffst, hast du diese Welt schon gemeistert. Wende zuerst die binomischen Formeln an, um die Nenner zu vereinfachen. Um die Brüche dann zu addieren, musst du mit einem Term erweitern.

Formen Sie den Term so um, dass er in der Form \(x^2+px+q = 0\) erscheint. Sie können dies Zeile für Zeile tun.

[value]

Um die p-q-Formel anzuwenden, müssen wir zunächst den Term in die richtige Form bringen. Um den folgenden Term wie gewünscht umzuformen, subtrahiere und dividiere auf beiden Seiten der Gleichung.

Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der quadratischen Gleichung in der Form [value]\( = ? \mbox{ or }\) [value]\(= ?\;\). Sie können Ihren Rechenweg angeben.

[value]

Forme den Term um und wende dann die p-q-Formel an, um diese Endgegner-Aufgabe zu lösen. Dann bist du mit dieser Mathe-Welt fertig.

Bestimmen Sie den Wert der Variable in der Form [value]\( = ? \mbox{ or }\) [value]\( = ?\;\).

[value]

Erinnerst du dich noch an die pq-Formel? Für \(\;x^2 + p\,x + q = 0\;\) gilt \(\;x= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\;\).

Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck; hierbei sind \(x,y \in \mathbb{R_{> 0}}\).

[value]\(\,=\,\)

Dies ist die Endgegner-Aufgabe dieser Mathe-Welt Potenzrechenrelgen. Wenn du diese Aufgabe schaffst, hast du diese Mathe-Welt gemeistert. Viel Erfolg!

Vereinfachen Sie soweit wie möglich:

[value]\(\,=\,\)

Fangen wir damit an, die Exponenten zu addieren, wenn die Basis gleich ist und multipliziert wird.

Vereinfachen Sie soweit wie möglich:

[value]\(\,=\,\)

Das funktioniert auch in die andere Richtung.

Stellen Sie den Ausdruck in der Form \(c^{\frac{1}{n}}\) dar.

[value]\(\,=\,\)

Mithilfe von Potenzen der Form \(c^{\frac{1}{n}}\) lässt sich die n-te Wurzel von \(c\), also \(\;\sqrt[n]{c}\;\), darstellen.

Vereinfachen Sie soweit wie möglich:

[value]\(\,=\,\)

Wird ein Ausdruck, der eine Potenz enthält, potenziert, lassen sich die Exponenten miteinander multiplizieren.

Nutzen Sie die Potenzrechenregeln, um folgenden Ausdruck zu vereinfachen.

[value]\(\,=\,\)

Hier zur Erinnerung die wichtigsten Potenzrechenregeln. Für \(x, y \neq 0\) und \(n, m \in \mathbb{Z}\) gilt:
- \(x^{n+m} = x^n\,x^m\;\)
Beispiel: \(2^5 = 2^{2+3} = 2^2 \cdot 2^3 = 4 \cdot 8 = 32\)

- \(\left( x^n \right)^m = x^{n\,m}\;\)
Beispiel: \(\left( 2^2 \right)^3 = 2^6 = 64\)
- \((x\,y)^n = x^n\,y^n\;\)
Beispiel: \(6^2 = (2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36\)
- \(\frac{1}{x^n} = x^{-n}\)
Beispiel: \( \frac{1}{x^2} \cdot x^2 = x^{-2} \cdot x^2 = x^{-2+2} = x^0 = 1\)
- \(\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}\)
Beispiel: \( \sqrt[3]{x} \cdot x^3 = x^{\frac{1}{3}} \cdot x^3 = x^{\frac{1}{3}+3} = x^1 = x\)

Um diese Aufgabe zu lösen, kannst du mehrere der gerade erläuterten Regeln kombinieren.

Bestimme die Ableitung von \(f(x)=[value]\;\).

\(f’(x)=\)

Tipp: Leite jeden Summanden einzeln ab.

Bestimme die Ableitung von \(f(x)=[value] \cdot [value]^[value]+[value] \cdot [value]^[value]+[value] \cdot [value]+[value]\;\).

\(f’(x)=\)

Tipp: Leite jeden Summanden einzeln ab.

Bestimme die Ableitung von \(f(x)=[value]\;\).

\(f’(x)=\)

Tipp: Finde das Produkt und die Faktoren.

Die Produktregel lautet:

\(f(x) = u \cdot v \)

\(f'(x) = u' \cdot v + u \cdot v'\)

Bestimme die Ableitung von \(f(x)=[value]\;\).

\(f’(x)=\)

Tipp: Finde die Division.

Die Quotientenregel lautet:

\(f(x) = \frac{u}{v}\)

\(f'(x) = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}\)

Bestimme die Ableitung von \(f(x)=\sqrt[[value]]{[value]^2-[value]}\;\).

\(f’(x)=\)

Tipp: Wann braucht man die Kettenregel?

Die Kettenregel lautet:

\(f(x) = u(v(x))\)

\(f'(x) = u'(v) \cdot v'\)

Beispiel

\(f(x) = \sqrt{x^3+1} = (x^3+1)^{\frac{1}{2}}\)

\(f'(x) = \frac{1}{2} \cdot (x^3+1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 3\,x^2\)

\(= \frac{3\,x^2}{2 \cdot (x^3+1)^{\frac{1}{2}}} = \frac{3\,x^2}{2\,\sqrt{x^3+1}}\)

Bestimme die Ableitung von \(f(x)=[value]\;\).

\(f’(x)=\)

Tipp: Wann braucht man die Kettenregel?

Die Kettenregel lautet:

\(f(x) = u(v(x))\)

\(f'(x) = u'(v) \cdot v'\)

Beispiel

\(f(x) = \sqrt{x^3+1} = (x^3+1)^{\frac{1}{2}}\)

\(f'(x) = \frac{1}{2} \cdot (x^3+1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 3\,x^2\)

\(= \frac{3\,x^2}{2 \cdot (x^3+1)^{\frac{1}{2}}} = \frac{3\,x^2}{2\,\sqrt{x^3+1}}\)

Bestimme die Ableitung von \(f(x)=[value]\;\).

\(f’(x)=\)

Bestimme die Ableitung von \(f(x)=\sqrt[[value]]{([value]\,[value]-[value])^[value]}\;\).

\(f’(x)=\)