Title: Originals

Ableitungsfunktion einer konstanten Funktion

\(f(x)=c \quad f'(x)=0; \quad c \in \mathbb{R}\), konstant.

Bilden Sie die Ableitungsfunktion von \(f(x)=[value]\)

\(f'(x)=\)
Feedback: Musterlösung Die Ableitungsfunktion einer konstanten Funktion ist immer 0.

Ableitungsfunktion einer Potenzfunktion

\(f(x)=x^n \quad f'(x)=nx^{n-1}; \quad n \in \mathbb{N}, x \in \mathbb{R}\) oder \(n \in -\mathbb{N},x \in \mathbb{R} \setminus {0}\).

Bilden Sie die Ableitungsfunktion von \(f(x)=[value]\).

\(f'(x)=\)
Feedback: Musterlösung \(f'(x)=[value]\)

Ableitungsfunktion einer Potenzfunktion mit gebrochenem Exponenten (Wurzelfunktion)

\( \displaystyle f(x)=x^r \quad f'(x)=rx^{r-1}; \quad r \in \mathbb{R}, x \in (0, \infty)\).

Hiermit lässt sich die Ableitungsfunktion einer  Wurzelfunktion (Potenzfunktion mit gebrochenem Exponenten) bilden.

Allgemein gilt:

\(\displaystyle f(x)=\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}\). (Bitte die Wurzelgesetzte wiederholen!)

Aus der umgeschriebene Funktion

\(\displaystyle f(x)=x^{\frac{m}{n}}\)

lässt sich jetzt die Ableitungsfunktion bilden:

\(\displaystyle f'(x)=\frac{m}{n}x^{\frac{m}{n}-1}\).

Schreiben Sie die Wurzelfunktion
\(\displaystyle f(x)=\sqrt[[value]]{x^[value]}\)
zunächst um als Potenzfunktion mit gebrochenem Exponenten.
Eingabehinweis: Achten Sie bei Ihrer Eingabe auf die Klammersetzung x^(m/n)

a) \(f(x)=\)

Bilden Sie jetzt die Ableitungsfunktion.

b) \(f'(x)=\)
Feedback: Musterlösung a) \(f(x)=[value]\) b) \(f'(x)=[value]\)

Die folgende Skizze zeigt den Graphen eines Polynoms \(p\) mit zwei einfachen und einer doppelten Nullstelle.

Bestimmen Sie die entsprechende Funktionsvorschrift \(p(x)\).

Hinweis: Bei den vier vorgegebenen Punkten sind \(x\) und \(y\) immer ganzzahlig.

[value]

Es gilt \(p(x) = \)
Feedback: Musterlösung: \(p(x)=[value]\)

Bestimmen Sie ein Polynom \(p(x)\) vom Grad 4, das

- an der Stelle [value] eine einfache Nullstelle besitzt,
- an der Stelle [value] eine einfache Nullstelle besitzt,
- an der Stelle [value] eine einfache Nullstelle besitzt,
- an der Stelle [value] eine einfache Nullstelle besitzt,
- an der Stelle \(0\) den Wert [value] hat.

a) Geben Sie zunächst das Polynom bis auf den Vorfaktor \(\alpha \) ein.

\(\displaystyle p(x)=\alpha \ \cdot \)

b) Bestimmen Sie abschließend den Vorfaktor

\( \ \ \alpha \ \ \ =\)
Feedback: Musterlösung a) \(\displaystyle p(x)=\alpha \ \cdot [value] \) b) \( \ \ \alpha \ \ \ = [value]\)

Eine Gerade ist durch zwei Punkte beschrieben:

\(P_1([value];[value])\) und

\(P_2([value];[value])\).

Berechnen Sie hier aus die die Steigung \(m\) und den Achsabschnitt \(b\) der zugehörigen Geradengleichung.

a) \(m=\)

b) \(b=\)
Feedback: Musterlösung a) \(m=[value]\), b) \(b=[value]\)

Gegeben ist eine gebrochenrationale Funktion und ihr Definitionsbereich:

\(f(x)=\frac{[value]}{[value]\cdot x +a} \)

\(\mathbb{D}_f=\mathbb{R} \setminus \{[value]\} \).

Berechnen Sie den Parameter \(a\).

Lösung: \(a=\)
Feedback: Musterlösung. \(a=[value]\)

Gegeben ist die Menge sämtlicher Nullstellen einer ganzrationalen Funktion dritten Grades.

\(M=[value]\).

Stellen Sie den Term dieses Polynoms in der Form

\(f(x)=a_3\cdot x^3+a_2\cdot x^2+a_1\cdot x+a_0\)

auf.

Lösung: \(f(x)=\)
Feedback: Musterlösung: \(f(x)=[value]\)

Gegeben ist die Funktion

\(f(x)=\sqrt{[value]}\).

\(M\) sei die Menge sämtlicher Nullstellen. Berechnen Sie die Nullstellen.

Eingabehinweis: Geben Sie die Nullstellen als Menge in geschweiften Klammern ein. Trennen Sie die einzelnen Nullstellen mit einem Komma. Bespiel: {2,3,4,5}.

Lösung: \(M=\)
Feedback: Musterlösung: \(M=[value]\)

[value]

Die folgende Parabel hat den Streckfaktor \(a=[value]\).

Lesen Sie aus der Graphik die Scheitelpunktform \(a(x+\text{e})^2+d\) ab

und geben Sie die Parameter \(\text{e}\) und \(d\) an.

[value]

a) \(\text{e}=\)

b) \(d=\)
Feedback: Musterlösung Die Scheitelpunktform ist \([value]\). Also ist \(\text{e}=[value]\) und \(d=[value]\).

Von einer Geraden sind die Steigung \(m=[value]\) und der Punkt \(P([value];[value])\) bekannt.

Stellen Sie hieraus die Geradengleichung auf.

Wie lautet der Achsabschnitt \(b\) der gesuchten Geradengleichung?

\(b=\)
Feedback: Musterlösung \(b=[value]\)