Title: 2 Kurvendiskussion: gebrochenrationale Funktion

Gegeben sei die Funktion

\(\displaystyle f(x)= \dfrac{x^2+[value]}{x-1} \)

(a) Bestimmen Sie die Definitionsmenge. Welche Zahlen sind nicht zugelassen?

\(D_f=\mathbb{R} \setminus \Big\{\) \(\Big\}\)

(b) Bestimmen Sie die Polstelle der Funktion

\(x=\)

(c) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten der Funktion.

Die Funktion ist

(d) Bestimmen Sie den Grenzwert für \( x \rightarrow \infty :\)

(e) Bestimmen Sie den Grenzwert für \( x \rightarrow -\infty :\)

(f) Bestimmen Sie die Extrema der Funktion:

Maximum bei \( x= \)

Minimum  bei \( x= \)
Feedback: Musterlösung (a) Damit der Nenner nicht Null wird, darf \(x=1\) nicht eingesetzt werden. \(D_f=\mathbb{R} \setminus\{1\}\) (b) \(f\) hat bei \(x=1\) eine Polstelle, da sich \((x-1)\) nicht mit dem Zähler kürzen lässt. In diesem Fall wäre \(x=1\) eine hebbare Lücke. (c) Symmetrieverhalten: \(f(-x)=\dfrac{(-x)^2+[value]}{(-x)-1}=-\dfrac{x^2+[value]}{x+1} \neq \pm f(x)\) \(f(-x)\) entspricht weder \(f(x)\) noch \(-f(x)\). Das heißt \(f(x)\) ist weder symmetrisch noch punktsymmetrisch. (d) Bestimmen Sie den Grenzwert für \( x \rightarrow \infty :\) Regel von de l'Hospital Typ "\(\frac{*}{\infty}\)" (\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} x-1=\infty\)) \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)=\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{x^2+[value]}{x-1}\) \(=\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{2x}{1}\) \(=\infty\) (d) Bestimmen Sie den Grenzwert für \( x \rightarrow -\infty :\) Regel von de l'Hospital Typ "\(\frac{*}{\infty}\)" (\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} x-1=-\infty\)) \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)=\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\dfrac{x^2+[value]}{x-1}\) \(=\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{2x}{1}\) \(=-\infty\) (e) Extrema: \(f^{\prime}(x)=\dfrac{2x(x-1)-(x^2-[value])}{(x-1)^2}\) (Produktregel) \(=\dfrac{x^2-2x-[value]}{(x-1)^2}\) \(=\dfrac{(x-[value])(x+[value])}{(x-1)^2}\) (Linearfaktorzerlegung des Zähler) Für Extremstellen gilt \(f^{\prime}=0\). Bei dieser Ableitung ist der Nenner immer positiv. Das heißt, es müssen nur die Nullstellen des Zählers berechnet werden. \(x_1=[value]\) \(x_2=[value]\) Überprüfung welche Art von Extremstelle vorliegt: \(f^{\prime \prime}(x)=\dfrac{[value]}{(x-1)^3}\) - \(f^{\prime \prime}([value])=[value]>0\) \(x_1=[value]\) ist ein Minimum. - \(f^{\prime \prime}([value])=[value]<0\) \(x_2=[value]\) ist ein Maximum.