Title: Trigonometrie

Klären wir zunächst die Begriffe im rechtwinkligen Dreieck.

[Image]

Füllen Sie die Lücken aus.

[Image: Rechwinkliges Dreieck mit a,b,c]

[value][value]

[value] [value]

[value] [value]
Feedback: [Image: Rechtwinkliges Dreieck mit Begriffen] \(\gamma = 90^\circ\) Bildnachweis: MartinThoma , CC BY 3.0 , via Wikimedia Commons

Erinnerst du dich noch an den Satz des Pythagoras?

[Image]

1. Welche Seite ist in diesem Dreieck die Hypothenuse?

2. Formulieren Sie die Formel gemäß des Satzes von Pythagoras für das gegebene Beispiel in der Form \(a^2+b^2 = c^2\;\).

Jetzt kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um folgende Aufgabe zu lösen.

[Image]

Finden Sie die gesuchte Größe mit Hilfe des Satzes von Pythagoras.

[Image: [value]]

1. Formulieren Sie den Satz des Pythagoras für das gegebene Beispiel in der Form \(a^2+b^2 = c^2\;\).

2. Berechnen Sie die unbekannte Variable.

[value]\(\,=\,\)

Jetzt kannst du die trigonometrischen Funktionen anwenden, um die folgende Aufgabe zu lösen.

[Image]

Finden Sie die gesuchte Größe mit dem Sinus, Cosinus und Tangens für rechtwinklige Dreiecke. Nutzen Sie die untenstehende Tabelle, um ohne Taschenrechner zu rechnen.

[Image: [value]]

[value]\(\,=\,\)

\({\displaystyle \alpha }\) | \({\displaystyle \sin \alpha }\) | \({\displaystyle \cos \alpha }\) | \({\displaystyle \tan \alpha }\)
\({\displaystyle 0^{\circ }}\) | \({\displaystyle \,0}\) | \({\displaystyle \,1}\) | \({\displaystyle \,0}\)
\({\displaystyle 30^{\circ }}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}}\)
\({\displaystyle 45^{\circ }}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}\) | \({\displaystyle 1\,}\)
\({\displaystyle 60^{\circ }}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}\) | \({\displaystyle {\sqrt {3}}}\)
\({\displaystyle 90^{\circ }}\) | \({\displaystyle \,1}\) | \({\displaystyle \,0}\) | \({\displaystyle \pm \infty }\)

Jetzt kannst du die trigonometrischen Umkehrfunktionen anwenden, um folgende Aufgabe zu lösen.

[Image]

Finden Sie die gesuchte Größe mit Hilfe des Arcussinus, des Arcuscosinus oder des Arcustangens und geben Sie sie im Gradmaß an. Nutzen Sie die untenstehende Tabelle, um ohne Taschenrechner zu rechnen.

[Image: [value]]

[value]\(\,=\,\) \(^\circ\)

\({\displaystyle \alpha }\) | \({\displaystyle \sin \alpha }\) | \({\displaystyle \cos \alpha }\) | \({\displaystyle \tan \alpha }\)
\({\displaystyle 0^{\circ }}\) | \({\displaystyle \,0}\) | \({\displaystyle \,1}\) | \({\displaystyle \,0}\)
\({\displaystyle 30^{\circ }}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}}\)
\({\displaystyle 45^{\circ }}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}\) | \({\displaystyle 1\,}\)
\({\displaystyle 60^{\circ }}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}\) | \({\displaystyle {\sqrt {3}}}\)
\({\displaystyle 90^{\circ }}\) | \({\displaystyle \,1}\) | \({\displaystyle \,0}\) | \({\displaystyle \pm \infty }\)

Teile dieses nicht-rechtwinklige Dreieck in zwei rechtwinklige Dreieck auf, um dir mithilfe des Satzes von Pythagoras und den trigonometrischen (Umkehr-)Funktionen die Lösung zu erarbeiten. Dies ist die Endgegner-Aufgabe zur Trigonometrie-Welt. Wenn du sie meisterst, bist du hier fertig.

[Image]

Finden Sie die gesuchten Größe mit Hilfe des Satzes von Pythagoras und ggf. mit dem Sinus,
Cosinus und Tangens für rechtwinklige Dreiecke.

[Image: [value]]

[value]\(\,=\,\)

\({\displaystyle \alpha }\) | \({\displaystyle \sin \alpha }\) | \({\displaystyle \cos \alpha }\) | \({\displaystyle \tan \alpha }\)
\({\displaystyle 0^{\circ }}\) | \({\displaystyle \,0}\) | \({\displaystyle \,1}\) | \({\displaystyle \,0}\)
\({\displaystyle 30^{\circ }}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}}\)
\({\displaystyle 45^{\circ }}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}\) | \({\displaystyle 1\,}\)
\({\displaystyle 60^{\circ }}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}\) | \({\displaystyle {\sqrt {3}}}\)
\({\displaystyle 90^{\circ }}\) | \({\displaystyle \,1}\) | \({\displaystyle \,0}\) | \({\displaystyle \pm \infty }\)
Feedback: So lässt sich das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke teilen. [Image: Ein nicht-rechtwinkliges Dreieck, bei dem ein Lot vom stumpfen Winkel auf die längste Seite des Dreiecks gefällt wird, u]

Klären wir nun die Begriffe zu den trigonometrischen Funktionen.

[Image]

Füllen Sie die Lücken aus und geben Sie für die Ausdrücke eine Gleichung in der Form von \(\;\frac{a}{b}\;\) an.

[Image: Rechtwinkliges Dreieck mit Seitenvariablen und Begriffen]

[value] \( / \) \( = \)

[value] \( / \) \( = \)

[value] \( / \) \( = \)

Mit den Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen (Arkussinus, Arkuskosinus und Arkustangens), kann man mithilfe der Seitenlängen einen gesuchten Winkel berechnen.

[Image]

Gegeben sei ein Dreieck mit \(\gamma = 90^\circ\;\). Mit welcher Funktion lässt sich der Winkel [value] berechnen, wenn [value] und [value] gegeben sind. Geben Sie Ihre Rechnung in folgender Form ein: asin(a/b) . (Dies wird interpretiert als \(\sin^{-1}\frac{a}{b}\;\), was gleichbedeutend ist mit \(\arcsin{\frac{a}{b}}\;\)).

[Image: Rechtwinkliges Dreieck mit Variablen und Winkeln]

[value] \( = \)

Negieren Sie die folgenden Aussagen:

a) Aussage \(A\) = "Alle Hunde haben vier Beine"

\(\lnot A=\)

b) Aussage \(B\) = "Es gibt mindestens ein Gebäude auf der Welt, das höher ist als 500 Meter"

\(\lnot B=\)

c) Aussage \(C\) = "Es gibt keinen Mathematiker, der sich noch nie verrechnet hat"

\(\lnot C=\)

d) Aussage \(D\) = "Für alle Pferdebesitzer gilt, dass alle ihre Pferde wiehern"

\(\lnot D=\)
Feedback: Hinweis zur Negation von Aussagen: Aussagen mit Quantoren (\(\forall\) und \(\exists\)) werden negiert, indem man jeden der \(\forall\) in ein \(\exists\) umgewandelt und umgekehrt. Die inneren Aussagen werden ganz normal negiert, die Aussagen des Quantors bleiben unberührt. Beispiel: \(\lnot (\forall x\in M : x>5 )\Leftrightarrow \exists x\in M: x\le 5\)

In einem rechtwinkligen Dreieck beträgt einer der spitzen Winkel \([value]\,^\circ\).

Wieviel Grad beträgt der andere spitze Winkel?

Der andere spitze Winkel beträgt \(\,^\circ\).

Geben Sie Ihre Antwort exakt und ohne zu runden an.
Feedback: Erläuterung: In einem Dreieck summieren sich die Winkel immer zu \(180\,^\circ\). In einem rechtwinkligen Dreieck ist ein Winkel schon \(90\,^\circ\), sodass die anderen zwei spitzen Winkel sich dann zu \(90\,^\circ\) summieren müssen. Falls ein spitzer Winkel gleich \([value]\,^\circ\) ist, dann muss der andere gleich \(\qquad 90\,^\circ - [value]\,^\circ = [value]\,^\circ\) sein.

Die Summe aller Winkel im Dreieck ist immer gleich. Das hilft uns, die Größe von Winkeln zu bestimmen.

In einem rechtwinkligen Dreieck beträgt einer der spitzen Winkel \([value]\,^\circ\).

Wieviel Grad beträgt der andere spitze Winkel?

Der andere spitze Winkel beträgt \(\,^\circ\).

Geben Sie Ihre Antwort exakt und ohne zu runden an.
Feedback: Erläuterung: In einem Dreieck summieren sich die Winkel immer zu \(180\,^\circ\). In einem rechtwinkligen Dreieck ist ein Winkel schon \(90\,^\circ\), sodass die anderen zwei spitzen Winkel sich dann zu \(90\,^\circ\) summieren müssen. Falls ein spitzer Winkel gleich \([value]\,^\circ\) ist, dann muss der andere gleich \(\qquad 90\,^\circ - [value]\,^\circ = [value]\,^\circ\) sein.

Teile dieses nicht-rechtwinklige Dreieck in zwei rechtwinklige Dreieck auf, um dir mithilfe des Satzes von Pythagoras und den trigonometrischen (Umkehr-)Funktionen die Lösung zu erarbeiten. Dies ist die Endgegner-Aufgabe zur Trigonometrie-Welt. Wenn du sie meisterst, bist du hier fertig.

[Image]

Finden Sie die gesuchten Größe mit Hilfe des Satzes von Pythagoras und ggf. mit dem Sinus,
Cosinus und Tangens für rechtwinklige Dreiecke.

[Image: [value]]

[value]\(\,=\,\)

\({\displaystyle \alpha }\) | \({\displaystyle \sin \alpha }\) | \({\displaystyle \cos \alpha }\) | \({\displaystyle \tan \alpha }\)
\({\displaystyle 0^{\circ }}\) | \({\displaystyle \,0}\) | \({\displaystyle \,1}\) | \({\displaystyle \,0}\)
\({\displaystyle 30^{\circ }}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}}\)
\({\displaystyle 45^{\circ }}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}\) | \({\displaystyle 1\,}\)
\({\displaystyle 60^{\circ }}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}\) | \({\displaystyle {\sqrt {3}}}\)
\({\displaystyle 90^{\circ }}\) | \({\displaystyle \,1}\) | \({\displaystyle \,0}\) | \({\displaystyle \pm \infty }\)
Feedback: So lässt sich das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke teilen. [Image: Ein nicht-rechtwinkliges Dreieck, bei dem ein Lot vom stumpfen Winkel auf die längste Seite des Dreiecks gefällt wird, u] Wir schauen zuerst auf das rechte Teildreieck und rechnen \(x\) mit Hilfe des Sinus aus: \(\sin 30^\circ = \frac{x}{[value]}\\ \Leftrightarrow x = [value] \cdot \sin 30^\circ = [value] \cdot \frac 1 2 = [value]\;\) Nun kann man mit dem Satz des Pythagoras \(y\) bestimmen: \([value]^2 = x^2 + y^2\\ \Leftrightarrow y = \sqrt{[value]^2 - x^2} = \sqrt{[value] - [value]} = \sqrt{[value]} = [value] \;\) Also ist \(z = [value] \cdot \sqrt 3 - y = [value] \cdot \sqrt 3 - [value] = [value]\;\). Wieder mit dem Satz des Pythagoras kann nun \(a\) berechnet werden: \(a^2 = x^2 + z^2\) \(\Leftrightarrow a = \sqrt{[value]^2 + ([value])^2} = \sqrt{[value] + [value]} = \sqrt{[value]} = [value]\)

Let's start by clarifying the terms of right triangles.

[Image]

Fill the gaps.

[Image: Rechwinkliges Dreieck mit a,b,c]

[value][value]

[value] [value]

[value] [value]
Feedback: [Image: Rechtwinkliges Dreieck mit Begriffen] \(\gamma = 90^\circ\) Bildnachweis: MartinThoma , CC BY 3.0 , via Wikimedia Commons

Do you remember pythagoras theorem?

[Image]

1. Which side is the hypotenuse in this triangle?

2. Formulate the formula according to the Pythagorean theorem for the given example in the form \(a^2+b^2 = c^2\;\).

Now you can use the Pythagorean theorem to solve the following problem.

[Image]

Find the quantity you are looking for with the help of Pythagoras' theorem.

[Image: [value]]

1. Formulate the Pythagorean theorem for the given example in the form \(a^2+b^2 = c^2\;\).

2. Calculate the unknown variable.

[value]\(\,=\,\)

Let's clarify the terms of the trigonometric functions.

[Image]

Fill the terms and give a term for the expression in the form \(\;\frac{a}{b}\;\).

[Image: Rechtwinkliges Dreieck mit Seitenvariablen und Begriffen]

[value] \( / \) \( = \)

[value] \( / \) \( = \)

[value] \( / \) \( = \)

With the inverse functions of the trigonometric functions (arcsine, arccosine and arctangent), one can calculate a sought-after angle with the help of the side lengths.

[Image]

Given a triangle with \(\gamma = 90^\circ\;\). Which function can be used to calculate the angle [value], when [value] und [value] are given. Enter your invoice in the following form: asin(a/b) . (This will be interpreted as \(\sin^{-1}\frac{a}{b}\;\), which is a synonym for \(\arcsin{\frac{a}{b}}\;\)).

[Image: Rechtwinkliges Dreieck mit Variablen und Winkeln]

[value] \( = \)

Now you can apply the trigonometric functions to solve the following task.

[Image]

Find the quantity you are looking for with the sine, cosine and tangent for right triangles. Use the table below to calculate without a calculator.

[Image: [value]]

[value]\(\,=\,\)

\({\displaystyle \alpha }\) | \({\displaystyle \sin \alpha }\) | \({\displaystyle \cos \alpha }\) | \({\displaystyle \tan \alpha }\)
\({\displaystyle 0^{\circ }}\) | \({\displaystyle \,0}\) | \({\displaystyle \,1}\) | \({\displaystyle \,0}\)
\({\displaystyle 30^{\circ }}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}}\)
\({\displaystyle 45^{\circ }}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}\) | \({\displaystyle 1\,}\)
\({\displaystyle 60^{\circ }}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}\) | \({\displaystyle {\sqrt {3}}}\)
\({\displaystyle 90^{\circ }}\) | \({\displaystyle \,1}\) | \({\displaystyle \,0}\) | \({\displaystyle \pm \infty }\)

Now you can apply the trigonometric inverse functions to solve the following task.

[Image]

Find the quantity you are looking for with the help of the arc sine, the arc cosine or the arc tang and enter it in degrees. Use the table below to calculate without a calculator.

[Image: [value]]

[value]\(\,=\,\) \(^\circ\)

\({\displaystyle \alpha }\) | \({\displaystyle \sin \alpha }\) | \({\displaystyle \cos \alpha }\) | \({\displaystyle \tan \alpha }\)
\({\displaystyle 0^{\circ }}\) | \({\displaystyle \,0}\) | \({\displaystyle \,1}\) | \({\displaystyle \,0}\)
\({\displaystyle 30^{\circ }}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}}\)
\({\displaystyle 45^{\circ }}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}\) | \({\displaystyle 1\,}\)
\({\displaystyle 60^{\circ }}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}\) | \({\displaystyle {\sqrt {3}}}\)
\({\displaystyle 90^{\circ }}\) | \({\displaystyle \,1}\) | \({\displaystyle \,0}\) | \({\displaystyle \pm \infty }\)

Divide this non-right triangle into two right triangles to work out the solution using Pythagoras' theorem and trigonometric (inverse) functions. This is the boss task for the trigonometry world. If you master it, you're done here.

[Image]

Find the quantity you are looking for with the help of Pythagoras' theorem and, if necessary, with the sine, cosine and tangent for right triangles.

[Image: [value]]

[value]\(\,=\,\)

\({\displaystyle \alpha }\) | \({\displaystyle \sin \alpha }\) | \({\displaystyle \cos \alpha }\) | \({\displaystyle \tan \alpha }\)
\({\displaystyle 0^{\circ }}\) | \({\displaystyle \,0}\) | \({\displaystyle \,1}\) | \({\displaystyle \,0}\)
\({\displaystyle 30^{\circ }}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}}\)
\({\displaystyle 45^{\circ }}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}\) | \({\displaystyle 1\,}\)
\({\displaystyle 60^{\circ }}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}\) | \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}\) | \({\displaystyle {\sqrt {3}}}\)
\({\displaystyle 90^{\circ }}\) | \({\displaystyle \,1}\) | \({\displaystyle \,0}\) | \({\displaystyle \pm \infty }\)
Feedback: Like this, the triangle can be divided into two right-angled triangles. [Image: Ein nicht-rechtwinkliges Dreieck, bei dem ein Lot vom stumpfen Winkel auf die längste Seite des Dreiecks gefällt wird, u] We first look at the right subtriangle and calculate \(x\) with the help of the sine: \(\sin 30^\circ = \frac{x}{[value]}\\ \Leftrightarrow x = [value] \cdot \sin 30^\circ = [value] \cdot \frac 1 2 = [value]\;\) Now one can determine with the Pythagorean theorem \(y\): \([value]^2 = x^2 + y^2\\ \Leftrightarrow y = \sqrt{[value]^2 - x^2} = \sqrt{[value] - [value]} = \sqrt{[value]} = [value] \;\) Also ist \(z = [value] \cdot \sqrt 3 - y = [value] \cdot \sqrt 3 - [value] = [value]\;\). Again with the Pythagorean theorem, \(a\) can now be calculated: \(a^2 = x^2 + z^2\) \(\Leftrightarrow a = \sqrt{[value]^2 + ([value])^2} = \sqrt{[value] + [value]} = \sqrt{[value]} = [value]\)