Title: Potenzrechenregeln

Dies ist die Endgegner-Aufgabe dieser Mathe-Welt Potenzrechenrelgen. Wenn du diese Aufgabe schaffst, hast du diese Mathe-Welt gemeistert. Viel Erfolg!

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Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck; hierbei sind \(x,y \in \mathbb{R_{> 0}}\).

[value]\(\,=\,\)

Fangen wir damit an, Potenzen zu addieren, wenn die Basis gleich ist und multipliziert wird.

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Vereinfachen Sie soweit wie möglich:

[value]\(\,=\,\)
Feedback: Beispiel: \(2^5 = 2^{2+3} = 2^2 \cdot 2^3 = 4 \cdot 8 = 32\)

Das funktioniert auch in die andere Richtung.

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Vereinfachen Sie soweit wie möglich:

[value]\(\,=\,\)
Feedback: Beispiel: \(\frac{2^5}{2^3} = 2^{5-3} = 2^2 = 4\)

Mithilfe von Potenzen der Form \(c^{\frac{1}{n}}\) lässt sich die n-te Wurzel von \(c\), also \(\;\sqrt[n]{c}\;\), darstellen.

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Stellen Sie den Ausdruck in der Form \(c^{\frac{1}{n}}\) dar.

[value]\(\,=\,\)
Feedback: Zur Erklärung dieser Rechenregel: Es gilt \( \sqrt[3]{x} \cdot x^3 = x^{\frac{1}{3}} \cdot x^3 = x^{\frac{1}{3}+3} = x^1 = x\)

Um diese Aufgabe zu lösen, kannst du mehrere der gerade erläuterten Regeln kombinieren.

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Nutzen Sie die Potenzrechenregeln, um folgenden Ausdruck zu vereinfachen.

[value]\(\,=\,\)

Hier zur Erinnerung die wichtigsten Potenzrechenregeln. Für \(x, y \neq 0\) und \(n, m \in \mathbb{Z}\) gilt:
- \(x^{n+m} = x^n\,x^m\;\)
Beispiel: \(2^5 = 2^{2+3} = 2^2 \cdot 2^3 = 4 \cdot 8 = 32\)

- \(\left( x^n \right)^m = x^{n\,m}\;\)
Beispiel: \(\left( 2^2 \right)^3 = 2^6 = 64\)
- \((x\,y)^n = x^n\,y^n\;\)
Beispiel: \(6^2 = (2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36\)
- \(\frac{1}{x^n} = x^{-n}\)
Beispiel: \( \frac{1}{x^2} \cdot x^2 = x^{-2} \cdot x^2 = x^{-2+2} = x^0 = 1\)
- \(\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}\)
Beispiel: \( \sqrt[3]{x} \cdot x^3 = x^{\frac{1}{3}} \cdot x^3 = x^{\frac{1}{3}+3} = x^1 = x\)

Wird ein Ausdruck, der eine Potenz enthält, potenziert, lassen sich die Potenzen miteinander multiplizieren.

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Vereinfachen Sie soweit wie möglich:

[value]\(\,=\,\)
Feedback: Beispiel: \(\left( 2^2 \right)^3 = 2^6 = 64\)

Vereinfachen Sie soweit wie möglich:

\(c^{\,a}\cdot c^{\,b}\,=\,\)
Feedback: Sie können die Regeln für das Potenzrechnen anwenden: \(c^a+c^b=c^{a+b}\).

Using powers of the form \(c^{\frac{1}{n}}\), the nth root of \(c\), i.e. \(\;\sqrt[n]{c}\;\), can be represented.

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Represent the expression in the form \(c^{\frac{1}{n}}\;\).

[value]\(\,=\,\)
Feedback: To explain this calculation rule: \( \sqrt[3]{x} \cdot x^3 = x^{\frac{1}{3}} \cdot x^3 = x^{\frac{1}{3}+3} = x^1 = x\)

This is the boss task of this math world power laws. If you complete this task, you will have mastered this math world. Good luck!

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Simplify the following expression; where \(x,y \in \mathbb{R_{> 0}}\).

[value]\(\,=\,\)

Let's start by adding powers when expessions with equal bases are multiplied.

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Simplify as much as possible:

[value]\(\,=\,\)
Feedback: Example: \(2^5 = 2^{2+3} = 2^2 \cdot 2^3 = 4 \cdot 8 = 32\)

This also works in the other direction.

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Simplify as much as possible:

[value]\(\,=\,\)
Feedback: Example: \(\frac{2^5}{2^3} = 2^{5-3} = 2^2 = 4\)

To solve this task, you can combine several of the rules just explained.

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Use power laws to simplify the following expression.

[value]\(\,=\,\)

Here are the most important power laws as a reminder. Where \(x, y \neq 0\) and \(n, m \in \mathbb{Z}\):
- \(x^{n+m} = x^n\,x^m\;\)
Example: \(2^5 = 2^{2+3} = 2^2 \cdot 2^3 = 4 \cdot 8 = 32\)

- \(\left( x^n \right)^m = x^{n\,m}\;\)
Example: \(\left( 2^2 \right)^3 = 2^6 = 64\)
- \((x\,y)^n = x^n\,y^n\;\)
Example: \(6^2 = (2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36\)
- \(\frac{1}{x^n} = x^{-n}\)
Example: \( \frac{1}{x^2} \cdot x^2 = x^{-2} \cdot x^2 = x^{-2+2} = x^0 = 1\)
- \(\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}\)
Example: \( \sqrt[3]{x} \cdot x^3 = x^{\frac{1}{3}} \cdot x^3 = x^{\frac{1}{3}+3} = x^1 = x\)

If an expression containing a power is exponentiated, the powers can be multiplied together.

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Simplify as much as possible:

[value]\(\,=\,\)
Feedback: Example: \(\left( 2^2 \right)^3 = 2^6 = 64\)