Title: Adaptive Learning Test Archiv

Faktorisierung und Satz von Vieta

Schritt-für-Schritt-Aufgabe: Lösen Sie gegebenfalls zunächst die untenstehenden Zwischenschritte, um sich die Lösung für diese Aufgabe zu erarbeiten.

Faktorisieren Sie die folgenden Ausdrücke, wenn Sie wissen, dass dabei \(p\) und \(q\) in \((x + p)(x + q)\) ganze Zahlen sind.

[value]

Machen Sie anschließend eine Probe.

Wählen Sie für x eine beliebige Zahl:

[value] \(=\)

Ergebnis Ihrer Gleichung mit der von Ihnen gewählten Zahl für x:

Eine Stufe leichter

Zwischenschritt a: Klammern lösen und Ausklammern

Lösen Sie

\(x\,(x+p)\).

Klammern Sie \(x\) aus.

\(x^2+x\,q\)

Eine Stufe schwerer
Feedback: Sie haben jetzt gezeigt, dass Sie folgendes können: Zur Lösung der Hauptaufgabe (ganz oben) brauchen Sie noch:

Zwischenschritt b: Primfaktorzerlegung

Stellen Sie die Zahl [value] als Produkt ihrer Primzahlen dar.

Stellen Sie dies mit Potenzen dar. Beispiel: \(24 = 2^3 \cdot 3\).

[value] =

Eine Stufe leichter Eine Stufe schwerer
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Zwischenschritt c: Arbeiten mit dem Satz von Vieta

Der Satz von Vieta besagt:

\( x^2 + a\,x + b = (x + p)\,(x + q)\)

ist genau dann für alle \(x\) erfüllt, wenn \(a = p + q\) und \(b = p\,q\).

Stellen Sie folgenden Term mithilfe des Satzes von Vieta vereinfacht dar.

\( x^2 + 5\,x + 6\)

Hinweis

Gegeben: \(a = 5, b = 6\)

Gesucht: \(p, q\)

Eine Stufe leichter Eine Stufe schwerer
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Zwischenschritt d: Primfaktorzerlegung nutzen, um mit Satz von Vieta quadratische Gleichungen zu lösen.

Der Satz von Vieta besagt:

\( x^2 + a\,x + b = (x + p)\,(x + q)\)

ist genau dann für alle \(x\) erfüllt, wenn \(a = p + q\) und \(b = p\,q\).

Für den Term
\( x^2 - 8\,x - 48\)
stellen wir fest
\(a = -8\) und \(b = -48\).

Zerlegen Sie zunächst die Zahl \(-48\) in Ihre Primfaktoren.
Stellen Sie dies mit Potenzen dar. Beispiel: \(24 = 2^3 \cdot 3\).

-48 =

Da wir wissen, dass \(-48 = p\,q\) und \(-8 = p + q\) ist, lassen sich die Primfaktoren von -48 nun so zusammenstellen, das sie als zwei Summanden \(-8\) ergeben würden.
Folgende beiden Zahlen bilden im Produkt \(-48\) und in Summe \(-8\):
Zahl 1:
Zahl 2:

Sie haben nun die beiden Werte für \(p\) und \(q\) bestimmt, für die gilt \(p + q = -8\) und \(p\,q = -48\).
Damit können Sie jetzt den Term \( x^2 - 8\,x - 48\) vereinfacht in der Form \((x + p)\,(x + q)\) darstellen:

Eine Stufe leichter Eine Stufe schwerer
Feedback: Sie haben jetzt gezeigt, dass Sie Folgendes können: Zur Lösung der Hauptaufgabe (ganz oben) brauchen Sie noch:

Ein Kapital \(K\) wird mit Zinseszins mit einem jährlichen Zinssatz von [value] verzinst. Nach wie viel Jahren hat sich das Kapital verdoppelt?

Auf ein Kapital von [value] € bekommt jemand [value] Zinsen. Um wie viel Euro hat sich das Kapitel nach einem Jahr vergrößert?

Zinseszins berechnen

Jemand bekommt auf ein Kapital von [value] € Zinsen in Höhe von [value]\(%\).

Wie groß ist das Kapitel inklusive Zins und Zinseszins nach [value] Jahren?

Der Logarithmus zur Basis \(b\) kann wie folgt definiert werden:
\(\log_b c = x
\quad\Longleftrightarrow\quad
b^x = c\)
für \(b, c > 0\) und \(b \neq 1\) und alle \(x \in \mathbb{R}\).

Bestimmen Sie die Lösung

[value]\( = \)

Logarithmus benutzen, um gesuchte Potenz zu berechnen

Es gilt \(\ln(x^r) = r \cdot \ln x\)

Bestimmen Sie \(n\). Sie können ihren Rechenweg angeben.

[value]

Ein Kapital \(K\) wird mit Zinseszins mit einem jährlichen Zinssatz von [value] verzinst. Nach wie vielen Jahren hat sich das Kapital verdoppelt?

Zinseszins berechnen

Jemand bekommt auf ein Kapital von [value] € Zinsen in Höhe von [value]\( \%\).

Wie groß ist das Kapitel inklusive Zins und Zinseszins nach [value] Jahren?

Logarithmus benutzen, um gesuchte Potenz zu berechnen

Es gilt \(\ln(x^r) = r \cdot \ln x\)

Bestimmen Sie \(n\). Sie können Ihren Rechenweg angeben.

[value]

Jetzt kannst du die trigonometrischen Funktionen anwenden, um die folgende Aufgabe zu lösen.

Finden Sie die gesuchte Größe mit dem Sinus, Cosinus und Tangens für rechtwinklige Dreiecke.

[Image: [value]]

[value]\(\,=\,\)