Title: Adaptive Learning Test

This category contains test questions for the Javascript-based adaptive learning implementation.

Faktorisierung und Satz von Vieta

Schritt-für-Schritt-Aufgabe: Lösen Sie gegebenfalls zunächst die untenstehenden Zwischenschritte, um sich die Lösung für diese Aufgabe zu erarbeiten.

Faktorisieren Sie folgenden Ausdruck, wenn Sie wissen, dass dabei \(p\) und \(q\) in \((x + p)(x + q)\) ganze Zahlen sind.

[value] \(=\)

Machen Sie anschließend eine Probe.

Wählen Sie für x eine beliebige Zahl:

Setzen Sie diese Zahl nun in die linke Seite der Gleichung ein und rechnen Sie aus.

[value] \(=\)

Setzen Sie diese Zahl nun in die rechte Seite der Gleichung ein und rechnen Sie aus.

Ergebnis Ihrer Gleichung mit der von Ihnen gewählten Zahl für \(x\):

Hilfestellung

Für diese Aufgabe brauchen Sie folgende Kompetenzen

Vorheriger Zwischenschritt

Lösen Sie

\(a\,(a+b)\).

Lösen Sie

\((a \cdot b)^2\) = \((a \cdot b)\,(a \cdot b)\) = \(a\,(a \cdot b) + b\,(a \cdot b)\) =

Hilfestellung Level 1: Klammern lösen und Ausklammern

Lösen Sie die Klammern auf

\(x\,(x+p) = \)

Klammern Sie \(x\) aus.

\(x^2+x\,q = \)

Nächster Zwischenschritt
Feedback: Sie haben jetzt gezeigt, dass Sie folgendes können: Zur Lösung der Hauptaufgabe (ganz oben) brauchen Sie noch:

Zwischenschritt b: Herleitung Satz von Vieta

Rechnen Sie aus.

\((x + p)\,(x + q)\) =

Hinweis
\((x + p)\,(x + q)\) = \(x\,(x + q) + p\,(x + q)\)

Hilfestellung Level 2: Primfaktorzerlegung

Stellen Sie die Zahl [value] als Produkt ihrer Primzahlen dar.

Stellen Sie dies mit Potenzen dar. Beispiel: \(24 = 2^3 \cdot 3\).

[value] =

Vorheriger Zwischenschritt Nächster Zwischenschritt
Feedback: Sie haben jetzt gezeigt, dass Sie folgendes können: Zur Lösung der Hauptaufgabe (ganz oben) brauchen Sie noch:

Hilfestellung Level 3: Arbeiten mit dem Satz von Vieta

Der Satz von Vieta besagt:

\( x^2 + a\,x + b = (x + p)\,(x + q)\)

ist genau dann für alle \(x\) erfüllt, wenn \(a = p + q\) und \(b = p\,q\).

Stellen Sie folgenden Term mithilfe des Satzes von Vieta vereinfacht dar.

\( x^2 + 5\,x + 6\)

Hinweis

Gegeben: \(a = 5, b = 6\)

Gesucht: \(p, q\)

Hilfestellung

Für diese Aufgabe brauchen Sie folgende Kompetenzen

Vorheriger Zwischenschritt Nächster Zwischenschrittr
Feedback: Sie haben jetzt gezeigt, dass Sie folgendes können: Zur Lösung der Hauptaufgabe (ganz oben) brauchen Sie noch:

Hilfestellung Level 4: Primfaktorzerlegung nutzen, um mit Satz von Vieta quadratische Gleichungen zu lösen.

Der Satz von Vieta besagt:

\( x^2 + a\,x + b = (x + p)\,(x + q)\)

ist genau dann für alle \(x\) erfüllt, wenn \(a = p + q\) und \(b = p\,q\ \;\).

Für \( x^2 + 14\,x + 48\) stellen wir fest \(a = p + q = 14\) und \(b = p \cdot q = 48\). Für die Bestimmung von \(p\) und \(q\) gibt es verschiedene Lösungsmöglichkeiten, etwa die Primfaktorzerlegung:

Zerlegen Sie dazu zunächst die Zahl \(48\) in Ihre Primfaktoren.
Stellen Sie dies mit Potenzen dar. Beispiel: \(24 = 2^3 \cdot 3\).

\(48\) =

Stellen Sie nun die einzelnen Primfaktoren so zusammen, dass sie im Produkt \(48\) und in Summe \(14\) ergeben, um die Werte \(p\) und \(q\) zu bestimmen.
\(p = \)
\(q = \)

Sie haben nun die beiden Werte für \(p\) und \(q\) bestimmt, für die gilt \(p + q = 14\) und \(p\,q = 48\).
Damit können Sie jetzt den Term \( x^2 + 14\,x + 48\) vereinfacht in der Form \((x + p)\,(x + q)\) darstellen:

Hilfestellung

Für diese Aufgabe brauchen Sie folgende Kompetenzen

Vorheriger Zwischenschritt Zur Hauptaufgabe
Feedback: Sie haben jetzt gezeigt, dass Sie Folgendes können: Zur Lösung der Hauptaufgabe (ganz oben) brauchen Sie noch:

Berechnen oder vereinfachen Sie folgenden Bruch.

[value]

Berechnen oder vereinfachen Sie folgenden Bruch. Schreiben Sie Ihre Antwort als einfachen Bruch.

[value]

Willkommen zum Übungsraum!

Dieser Raum soll Ihnen helfen
o Mathe zu lernen,
o einen Überblick über ihren Lernstand zu erhalten,
o dabei Spaß zu haben.

Eine künstliche Intelligenz leitet Sie durch die folgenden 10 Aufgaben.

Viel Spaß!