Title: Control Group Questions

Es sei \(p_N(x)=[value]\) und \(p_A(x)=[value]\).

Berechnen Sie die Gleichgewichtsmenge \(x_0\) sowie den Gleichgewichtspreis \(p_0\) zum Marktgleichgewicht.

a) \(x_0=\)

b) \(p_0=\)

Geben Sie Sättigungsmenge sowie den Prohibitivpreis an.

c) Sättigungsmenge =

d) Prohibitivpreis =

Eingabehinweis: Runden Sie auf die zweite Nachkommastelle. Dezimaltrennzeichen ist ein Punkt.
Feedback: Die richtigen Antworten sind: a) \(x_0=[value]\) b) \(p_0=[value]\) c) Sättigungsmenge = [value] d) Prohibitivpreis = [value]

Bringen Sie die Funktionsterme auf Scheitelpunktform.

Eingabehinweis: Bei Brüchen müssen Sie Klammern setzen.

Beispiel: \(\frac{a+b}{c+d}\) Eingabe: (a+b)/(c+d)

a) \(f(x)=[value]=\)

b) \(f(x)=[value]=\)

c) \(f(x)=[value]=\)
Feedback: Musterlösung: a) \(f(x)=[value]\) b) \(f(x)=[value]\) c) \(f(x)=[value]\)

Gegeben ist die Preis-Absatz-Funktion

\(p(x)=[value] x + [value]\).

Ermitteln Sie die zugehörige Erlösfunktion in Abhängigkeit vom Preis.

\(E(p)=\)
Feedback: Musterlösung \(E(p)=[value]\)

Gegeben ist die Produktionsfunktion

\(x(r)=\sqrt{[value] r [value]} [value]\).

Bestimmen Sie den mathematischen Definitionsbereich und den

ökonomischen Definitionsbereich dieser Produktionsfunktion (Hinweis: Output \(x\) muss nichtnegativ sein!).

Eingabehinweis: Geben Sie den Definitionsbereich jeweils als Intervall an.

1) Abgeschlossenes Intervall:

\([a,b]\) Eingabe: cc(a,b)

2) Halboffene Intervalle

\([a,b)\) Eingabe: co(a,b)

\((a,b]\) Eingabe: oc(a,b)

3) Offene Intervalle

\((a,b)\) Eingabe: oo(a,b)

4) Abgeschlossene Halbstraheln/-geraden

\([a,\infty)\) Eingabe: co(a,inf)

\((-\infty,a]\) Eingabe: oc(minf,a)

5) Offene Halbstrahlen/-geraden

\((a,\infty)\) Eingabe: oo(a,inf)

\((-\infty,a)\) Eingabe: oo(minf,a)

6) Die Zahlengerade \((\mathbb{R})\)

\((-\infty,\infty)\) Eingabe oo(minf,inf)

a) Intervall des mathematischen Definitionsbereichs \(D=\)

b) Intervall des Ökonomischen Definitionsbereichs \(D_{ök}=\)

c) Wie viele Mengeneinheiten des Faktor-Inputs \(r\) \((ME_r)\) müssen mindestens eingesetzt werden?

Antwort: Es müssen mindestens \(ME_r\) eingesetzt werden.
Feedback: Musterlösung: a) \([[value],\infty)\) b) \([[value],\infty)\) c) Es müssen mindestens \([value]\) \(ME_r\) eingesetzt werden.

Eine Gewinnfunktion lautet

\(\displaystyle G(x)=[value]\).

Bestimmen Sie die Gewinnschwelle und die Gewinngrenze.

a) Gewinnschwelle \(x_{GS}=\)

b) Gewinngrenze \(x_{GG}=\)
Feedback: Musterlösung: Gewinnschwelle: \(x_{GS}=[value]\) Gewinngrenze: \(x_{GG}=[value]\)

Ein Produzent ist Monopolist. Seine Preis-Absatz-Funktion ist

\[\displaystyle p(x)=[value]x+[value]\].

Geben Sie den ökonomischen Definitionsbereich \(D_{ök}\) der Preis-Absatz-Funktion in Intervall-Schreibweise an.

Hinweis: Da es sich bei \(x\) um Mengen handelt, gilt \(x\ge 0\). Das gleiche Argument gilt für den Preis.

Eingabehinweis: Geben Sie den Definitionsbereich als Intervall an.

1) Abgeschlossenes Intervall:

\([a,b]\) Eingabe: cc(a,b)

2) Halboffene Intervalle

\([a,b)\) Eingabe: co(a,b)

\((a,b]\) Eingabe: oc(a,b)

3) Offene Intervalle

\((a,b)\) Eingabe: oo(a,b)

4) Abgeschlossene Halbstraheln/-geraden

\([a,\infty)\) Eingabe: co(a,inf)

\((-\infty,a]\) Eingabe: oc(minf,a)

5) Offene Halbstrahlen/-geraden

\((a,\infty)\) Eingabe: oo(a,inf)

\((-\infty,a)\) Eingabe: oo(minf,a)

6) Die Zahlengerade \((\mathbb{R})\)

\((-\infty,\infty)\) Eingabe oo(minf,inf)

\(D_{ök}=\)
Feedback: Musterlösung \(D_{ök}=[value]\)

Die Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen sind die Nullstellen des Zählerpolynoms, sofern diese zum Definitionsbereich der Funktion gehören.

Wir betrachten die gebrochenrationale Funktion

\(f(x)=\frac{[value]}{[value]}\).

Die Nullstelle des Zählerpolynoms ist \(x_1=\) .

Der Definitionsbereich ist \(D_f=\mathbb{R} \setminus\)

Da \(x_1\)  des Definitionsbereichs ist, ist \(x_1\) der Funktion \(f(x)\).

Das Polynom 3-ten Grades

\(P_3(x)=[value]\)

hat eine Nullstelle an der Stelle \(x_1= [value]\).

Es gilt also

\(P_3([value])=0\).

Spalten Sie die genannte Nullstelle ab und geben Sie das Polynom als Produkt aus Linearfaktor und dem Ausdruck \(P_{n-1}(x)\) an. Hierbei sei \(P_2(x)=[value]\) bereits vorgegeben.

\(P_3(x)=\)

In der Graphik ist eine Funktion \(f(x)\) dargestellt.

[value]

Lesen Sie hieraus den folgenden Grenzwert ab.

\(\lim \limits_{x \rightarrow \infty } f(x)=\)
Feedback: Musterlösung \(\lim \limits_{x \rightarrow \infty } f(x)=[value]\)

\(\begin{align*}

f(x)&=\left\{\begin{array}{ll}

        [value] &; 0 \leq x \leq [value]\\

[value] &; [value] < x \leq [value]

\end{array}\right.\\

\end{align*}\)

Die Funktion \(f\) besteht aus einem linearen Abschnitt und aus einem ganzrationalen Abschnitt.

An welcher Stelle \(x_0\) würden Sie die Funktion \(f\) auf Stetigkeit prüfen?

\(x_0=\)
Feedback: Musterlösung: \(x_0=[value]\)

Betrachten Sie die Funktion

\(\displaystyle f(x)=[value]\).

[value]

Der Definitionsbereich lautet \(D_f=\mathbb{R} \setminus [value] \).

Diese Definitionslücke an \(x_0=[value]\) heißt Polstelle weil:

a) \(\lim \limits_{x \uparrow x_0 } f(x)=\)

und

b) \(\lim \limits_{x \downarrow x_0 } f(x)=\)

ist.

Eingabehinweis: Für \(- \infty\) schreiben Sie minf. Für \(\infty\) schreiben Sie inf.
Feedback: Musterlösung a) \(\lim \limits_{x \uparrow x_0 } f(x)=[value]\) b) \(\lim \limits_{x \downarrow x_0 } f(x)=[value]\)

[value]

Die Graphik zeigt die Funktion

\(\displaystyle f(x)=[value]\).

Die Funktion besitzt eine Definitionslücke \(x_0\). Diese Definitionslücke ist stetig hebbar.

Zeigen Sie dies, durch berechnen des folgenden Ausdrucks:

\( \displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow x_0} [value]=\)

[value]

Die Graphik zeigt die Funktion \(f\) (Blau) und ihre Asymptote \(f_1\) (Rot).

Für die Funktion gilt

\(\displaystyle f(x)=[value]\).

Nach Anwendung der Polynomdivision erhalten Sie für die Funktion \(f\) einen ganzrationalen Teil und einen gebrochenrationalen Teil:

\(f(x)=[value]\).

a) Geben Sie die Funktionsvorschrift der Asymptote \(f_1\) an.

\(f_1(x)=\)

b) Berechnen Sie nun den folgenden Ausdruck (Ihre Lösung darf keine Klammern enthalten):

\([value]= \)

c) Berechnen Sie nun den Ausdruck

\(\lim \limits_{x \rightarrow \infty } [value]=\)

und vergleichen Sie Ihr Vorgehen unter b) und c) mit der folgenden Definition.

[Image]

Bestimmen Sie die Grenzwerte folgender Ausdrücke.

Eingabehinweise: Geben Sie Ihre Lösung jeweils als ganze Zahl oder Bruch ein. Uneigentliche Grenzwerte (\(\infty\) und \(-\infty\)) können Sie mit inf und minf eingeben.

a) \( \displaystyle \lim\limits_{x\to \infty} \frac{[value]}{[value]}=\)

b) \(\displaystyle \lim\limits_{x\to -\infty} [value]=\)

c) \(\displaystyle \lim\limits_{x\to [value]} \frac{[value]}[value]=\)
Feedback: Musterlösung a) \( \lim\limits_{x\to \infty} \frac{[value]}{[value]}=[value]\) b) \( \lim\limits_{x\to -\infty} [value]=[value]\) c) \( \lim\limits_{x\to [value]} \frac{[value]}[value]=[value]\)

Berechnen Sie die Nullstellen und die Polstellen der Funktion \(f\).

\(f(x)=\sqrt{\dfrac[value][value]-1}\)

Eingabehinweis: Geben Sie Ihre Antworten jeweils als Menge mit geschweiften Klammern an: {x1,x2,...}.

a) Nullstellen:

b) Polstellen:
Feedback: Musterlösung Eine Wurzelfunktion nimmt den Wert Null genau dann an, wenn der Radikand Null ist. Zunächst muss hierzu die \(-1\) mit dem Bruch verrechnet werden: \({\dfrac[value][value]-\frac{[value]}{[value]}}\) [-1 mit dem Nenner erweitern und dann verrechnen] Die Nullstellen sind die Nullstellen des Zählers (sofern diese zum Definitionsbereich gehören): [value] Die Polstellen sind die Nullstellen des Nenners: [value]

Bestimmen Sie alle Nullstellen, Pole und die Asymptote der Funktion \(f\).

 \(\displaystyle f(x)=[value]\)

Eine Nullstelle sei \(x_1=[value]\).

Eingabehinweis: Geben Sie die Nullstellen und Polstellen als Mengen mit geschweiften Klammern an: {a,b,c}.

Geben Sie die Asymptote wie folgt ein z. B.: 2*x+5

a) Sämtliche Nullstellen:

b) Polstellen:

c) Asymptote \(f_1(x)=\)
Feedback: Musterlösung: \[(f(x)=[value]\] Nullstellen: [value] Polstellen: [value] Asymptoten: [value]

Bestimmen Sie alle Nullstellen und alle Polstellen der Funktion:

\(\displaystyle f(x)=\dfrac[value][value]\).

Hinweise:

- Geben Sie die Antwort als eine Menge mit geschweiften Klammern an: {a,b,c}.
- Geben Sie die vielfachen Nullstellen (siehe Skript Abschnitt 2.2.3.1) und Polstellen mit Potenzen an, z.B. eine 4-fache Nullstelle \(-5\) mit \((-5)^4\). Beachten Sie, dass bei einer gebrochenrationalen Funktion die Vielfachheit einer Nullstelle die Vielfachheit nach dem Kürzen ist.

Bsp. \(f(x)=\frac{(x+2)^5}{(x+2)^3}\) hat eine doppelte Nullstelle an \(x=-2\).
Die Eingabe ist entweder {(-2)^2} oder {4}.


Nullstellen:

Polstellen:

Betrachten Sie die Konsumfunktion \(C\). Der Konsum ist abhängig vom Einkommen \(Y\).

Untersuchen Sie die Funktion auf ihr asymptotisches verhalten und berechnen Sie den Sättigungswert (das ist hier der Grenzwert)  des Konsums bei unbeschränkt wachsendem Einkommen.

Eingabehinweis: Für \(-\infty\) schreiben Sie minf, für \(\infty\) schreiben Sie inf.

\(\displaystyle C(Y)=[value],\, D_C=\mathbb{R}_0^+\)

a) \(C_{1}(Y)=\)

b) \( \displaystyle \lim\limits_{Y\to \infty} [value]=\)
Feedback: Musterlösung a) \(C_{1}(Y)=[value]\) b) \( \displaystyle \lim\limits_{Y\to \infty} [value]=[value]\)

Gegeben ist die Funktion

\(\begin{align*}

f(x)&=\left\{\begin{array}{ll}

       [value]  &; x < [value]\\

[value]  &; x = [value]\\

        [value] &; x > [value]

\end{array}\right.\\

\end{align*}\)

Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke.

a) \( \displaystyle \lim\limits_{x \uparrow [value]} f(x) =\)

b) \( \displaystyle \lim\limits_{x \downarrow [value]} f(x) =\)

c) \(f([value])=\)

d) Geben Sie sie Sprungstelle an: \(x_0=\)
Feedback: Musterlösung a) \( \displaystyle \lim\limits_{x \uparrow [value]} f(x) = [value]\) b) \( \displaystyle \lim\limits_{x \downarrow [value]} f(x) = [value]\) c) \(f([value])=[value]\) d) Sprungstelle an: \(x_0=[value]\)

Berechnen Sie die erste, zweite und dritte Ableitung von

 \(f(x)=[value]\).

Eingabehinweis: für \(\ln(x)\) schreiben Sie log(x).
Beispiel: \(\ln(x+5)\) ist log(x+5)

a) \(f'(x)=\)

b) \(f''(x)=\)

c) \(f'''(x)=\)
Feedback: Musterlösung a) \(f'(x)=[value]\) b) \(f''(x)=[value]\) c) \(f'''(x)=[value]\)

Berechnen Sie die erste Ableitung von

\(f(x)=[value]\).

Eingabehinweis: für \(\ln(x)\) schreiben Sie log(x).
Beispiel: \(\ln(x+5)\) ist log(x+5)

\(f'(x)=\)
Feedback: Musterlösung: \(f'(x)=[value]\)

Berechnen Sie die erste Ableitung von \(f(x)=[value]\).

Eingabehinweis: für \(\ln(x)\) schreiben Sie log(x).
Beispiel: \(\ln(x)\) ist log(x)

\(f'(x)=\)
Feedback: Lösung: \(f'(x)=[value]\). Zusammengefasst ergibt das \(f'(x)=[value]\).

Berechnen Sie die erste Ableitung durch logarithmisches Ableiten von

\( \displaystyle f(x)=[value]\).

Hinweis: Für \(ln(x)\) müssen Sie log(x) schreiben!

\(f'(x)=\)
Feedback: Musterlösung \(f'(x)=[value]\)

Berechnen Sie die erste Ableitung von

\( \displaystyle f(x)=[value]\).

\(f'(x)=\)
Feedback: Musterlösung \(f'(x)=[value]\)

Newton-Verfahren (Vgl. Skript, Beispiel 3.11.)

Mittels Newton-Verfahren ermitteln wir (approximativ) die Nullstelle der Funktion \(f(x)=[value]\).

Sie hat die Ableitung \(f'(x)=[value]\).

Unsere Startstelle sei \(x_1=[value]\).

Berechnen Sie die "neue" Stelle \(x_2\) und deren Funktionswert \(f(x_2)\).

a) \(x_2=\)

b) \(f(x_2)=\)
Feedback: Musterlösung a) \(x_2=[value]-\frac{[value]}{[value]}=[value]\) b) \(f([value])=[value]\)

Eine Stelle \(x_0 \in D_f\) heißt stationäre oder kritische Stelle der Funktion \(f\) genau dann, wenn der Funktionsgraph im Punkt \(P(x_0;f(x_0))\) eine waagerechte Tangente hat.

Berechnen Sie die stationäre (kritische) Stelle der Funktion

\(f(x)=[value]\).

Antwort: \(x_0=\)
Feedback: Musterlösung Gesucht ist \(f'(x_0)=0\). \(f'(x)=[value]\). \([value]=0\Leftrightarrow x=[value]\) Die stationäre Stelle ist \(x_0=[value]\).

Wir betrachten die Funktion

\( \displaystyle f(x)=[value]\).

[value]

Die Funktion hat ein lokales Minimum, ein lokales Maximum und eine Wendestelle.

Wir untersuchen zunächst die Extrema.

Notwendige Bedingung: Die Nullstellenberechnung der ersten Ableitungsfunktion \(f'(x)=[value]\) liefert die Menge der stationären Stellen \([value]\).

Führen Sie jetzt die hinreichende Bedingung durch.

Wir entnehmen der Graphik, dass an der Stelle \(x_0=[value]\) ein lokales Maximum vorliegt. Folglich muss \(f''([value]) < 0\) sein.

a)  Berechnen Sie \(f''([value])=\)

An der Stelle \(x_0=[value]\) liegt ein lokales Minimum vor. Folglich muss hier gelten \(f''([value]) > 0\).

b) Berechnen Sie \(f''([value])=\)

Jetzt betrachten wir die Wendestelle.

Notwendige Bedingung einer Wendestelle: \(f''(x_0)=0\)

c) An welcher Stelle könnte die Wendestelle vorliegen? Antwort: \(x=\)

Wir prüfen die hinreichende Bedingung für die Wendestelle: \(f''(x_0)=0 \wedge f'''(x_0) \ne 0\).

d) Berechnen Sie \(f'''(x) =\)
Feedback: Musterlösung a) \(f''([value])=[value]\) b) \(f''([value])= [value]\) c) Wendestelle an \(x=[value]\) d) Hinreichende Bedingung der Wendestelle \(f'''(x) =[value]\)

Wie lautet die Grenzkostenfunktion zu folgender Kostenfunktion?

\[K(x)=[value]\]

Hierbei bezeichnet \(x\) die Produktionsmenge.

Grenzkostenfunktion\((x)\) =

Gegeben sei die Funktion

\(\displaystyle f(x)= \dfrac{x^2+[value]}{x-1} \)

(a) Bestimmen Sie die Definitionsmenge. Welche Zahlen sind nicht zugelassen?

\(D_f=\mathbb{R} \setminus \Big\{\) \(\Big\}\)

(b) Bestimmen Sie die Polstelle der Funktion

\(x=\)

(c) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten der Funktion.

Die Funktion ist

(d) Bestimmen Sie den Grenzwert für \( x \rightarrow \infty :\)

(e) Bestimmen Sie den Grenzwert für \( x \rightarrow -\infty :\)

(f) Bestimmen Sie die Extrema der Funktion:

Maximum bei \( x= \)

Minimum  bei \( x= \)
Feedback: Musterlösung (a) Damit der Nenner nicht Null wird, darf \(x=1\) nicht eingesetzt werden. \(D_f=\mathbb{R} \setminus\{1\}\) (b) \(f\) hat bei \(x=1\) eine Polstelle, da sich \((x-1)\) nicht mit dem Zähler kürzen lässt. In diesem Fall wäre \(x=1\) eine hebbare Lücke. (c) Symmetrieverhalten: \(f(-x)=\dfrac{(-x)^2+[value]}{(-x)-1}=-\dfrac{x^2+[value]}{x+1} \neq \pm f(x)\) \(f(-x)\) entspricht weder \(f(x)\) noch \(-f(x)\). Das heißt \(f(x)\) ist weder symmetrisch noch punktsymmetrisch. (d) Bestimmen Sie den Grenzwert für \( x \rightarrow \infty :\) Regel von de l'Hospital Typ "\(\frac{*}{\infty}\)" (\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} x-1=\infty\)) \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)=\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{x^2+[value]}{x-1}\) \(=\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{2x}{1}\) \(=\infty\) (d) Bestimmen Sie den Grenzwert für \( x \rightarrow -\infty :\) Regel von de l'Hospital Typ "\(\frac{*}{\infty}\)" (\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} x-1=-\infty\)) \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)=\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\dfrac{x^2+[value]}{x-1}\) \(=\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{2x}{1}\) \(=-\infty\) (e) Extrema: \(f^{\prime}(x)=\dfrac{2x(x-1)-(x^2-[value])}{(x-1)^2}\) (Produktregel) \(=\dfrac{x^2-2x-[value]}{(x-1)^2}\) \(=\dfrac{(x-[value])(x+[value])}{(x-1)^2}\) (Linearfaktorzerlegung des Zähler) Für Extremstellen gilt \(f^{\prime}=0\). Bei dieser Ableitung ist der Nenner immer positiv. Das heißt, es müssen nur die Nullstellen des Zählers berechnet werden. \(x_1=[value]\) \(x_2=[value]\) Überprüfung welche Art von Extremstelle vorliegt: \(f^{\prime \prime}(x)=\dfrac{[value]}{(x-1)^3}\) - \(f^{\prime \prime}([value])=[value]>0\) \(x_1=[value]\) ist ein Minimum. - \(f^{\prime \prime}([value])=[value]<0\) \(x_2=[value]\) ist ein Maximum.

Ein Start-Up beginnt eine Geschäftstätigkeit mit einem neuen Produkt. Die Gewinnfunktion ist gegeben durch:

\( G(x)= \)[value]

Wie hoch ist der maximale Gewinn des Unternehmens in Euro?

Bitte runden Sie ihr Ergebnis auf 2 Dezimalstellen und verwenden Sie als Dezimaltrennzeichen einen Punkt.

Antwort: Der maximale Gewinn beträgt Euro
Feedback: Musterlösung Der maximale Gewinn beträgt [value] Euro.

Ein Unternehmen hat folgende Umsatzfunktion \[E(x)=[value]\cdot x-\frac{x^2}{[value]}\]

und folgende Kostenfunktion \[K(x)=[value]\cdot x+[value]\]

Dabei bezeichnet \(x\) die Absatzmenge.

Bei welcher Absatzmenge wird der Gewinn maximal?

Runden Sie Ihr Ergebnis kaufmännisch auf zwei Nachkommastellen und verwenden Sie als Dezimaltrennzeichen einen Punkt.

Der Gewinn wird maximal bei \(x=\)

Die Umsatzfunktion eines Unternehmens sei gegeben durch: \[U(x)=[value]\cdot x\cdot e^{\left(-[value]\cdot x\right)}\]

Dabei bezeichnet \(x\) die Absatzmenge.

Bei welcher Absatzmenge wird der Umsatz maximal?

Der Umsatz wird maximal bei \(x=\)

Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen 1. Ordnung und 2. Ordnung.

\(\displaystyle f(x,y)=[value]x^[value]y+x+y\)

a) \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}f(x,y)=\)

b) \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}f(x,y)=\)

c) \(\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial x \partial x}f(x,y)=\)

d) \(\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial y \partial y}f(x,y)=\)

e) \(\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial y \partial x}f(x,y)=\)

f)  \(\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial x \partial y}f(x,y)=\)
Feedback: Die Lösung ist: a) [value] b) [value] c) [value] d) [value] e) [value] f) [value]

Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen 1. Ordnung und 2. Ordnung.

\(\displaystyle f(x,y)=[value]\)

a) \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}f(x,y)=\)

b) \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}f(x,y)=\)

c) \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x \partial x}f(x,y)=\)

d) \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial y \partial y}f(x,y)=\)

e) \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial y \partial x}f(x,y)=\)

f)  \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x \partial y}f(x,y)=\)
Feedback: Die Lösung ist: a) [value] b) [value] c) [value] d) [value] e) [value] f) [value]

Betrachten Sie die Funktion

\(f(x,y,z)=[value]\)

a) Bestimmen Sie den Gradienten der Funktion \(f(x,y,z)\).

\(\mathrm{grad}f(x,y,z)=\) |  |

b) Bestimmen Sie die Hessematrix der Funktion \(f(x,y,z)\).

ACHTUNG, Eingabehinweis: Sortieren Sie die Einträge der Matrix gemäß Skript - sonst werden keine Punkte Vergeben.

Alle Einträge müssen korrekt sein. Es gibt hier keine Teilpunkte.

[Image]

Wobei hier \(x_1 =x\), \(x_2=y\) und \(x_3=z\) ist.

\(H_f(x,y,z)=\) |  |
Feedback: Die Lösung ist: a) [value] b) [value]

Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen 1. Ordnung und 2. Ordnung.

\(\displaystyle f(x,y)=[value]\)

 Eingabehinweis: Sie dürfen hier Dezimalzahlen eingeben.

a) \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}f(x,y)=\)

b) \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}f(x,y)=\)

c) \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x \partial x}f(x,y)=\)

d) \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial y \partial y}f(x,y)=\)

e) \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial y \partial x}f(x,y)=\)

f)  \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x \partial y}f(x,y)=\)
Feedback: Die Lösung ist: a) [value] b) [value] c) [value] d) [value] e) [value] f) [value]

Berechnen Sie die Determinante der Matrix

\[A=[value]\]

mit der Regel von Sarrus.

Und so geht die Sarrus-Regel: Determinante nach Sarrus

\(\mathrm{det}\, A =\,\)
Feedback: Die Lösung ist \(\mathrm{det}\, A =[value]\).

Nach wie vielen Jahren [value] sich ein Kapital bei \([value]\%\) Jahreszins? (Exponentielle Verzinsung)

Eingabehinweis: \(t\) Angabe in ganzen Jahren. Runden Sie das Ergebnis ökonomisch sinnvoll.

\(t=\)
Feedback: Lösung: Mit \(K_n=K_0\cdot (1+i)^t\) ergibt sich \(t=[value]\). Hier immer auf ganze Zahlen aufrunden.

Jemand hat [value] Euro bei einem unveränderlichen Zinssatz angelegt; das Kapital ist nach [value] Jahren auf [value] Euro angewachsen. Wie hoch ist der Zinssatz \(i\)? (Exponentielle Verzinsung)

\(i=\)

Eingabehinweis: Geben Sie Ihre Antwort als Dezimalzahl mit vier Nachkommastellen ein. Als Dezimaltrennzeichen müssen Sie einen Punkt eingeben. Runden Sie kaufmännisch.
Feedback: Lösung: \(i=[value]\)

Es liegt der Zahlungsstrom \(z_0=[value]\), \(z_1=[value]\), \(z_2=[value]\), \(z_3=[value]\) vor. Der exponentielle Jahreszinssatz ist [value].

Eingabehinweis: Geben Sie Ihre Lösungen jeweils als Dezimalzahl mit zwei Nachkommastellen ein. Runden Sie kaufmännisch.

a) Berechnen Sie zunächst einzeln die Barwerte sämtlicher Zahlungen und daraus dann den Barwert des gesamten Zahlungsstroms.

  \(BW_{z_0}=\)

  \(BW_{z_1}=\)

  \(BW_{z_2}=\)

  \(BW_{z_3}=\)

Der Barwert des gesamten Zahlungsstroms beträgt:

  \(BW=\)

b) Berechnen Sie möglichst einfach den Endwert des Zahlungsstroms.

  \(EW=\)

c) Berechnen Sie die Endwerte sämtlicher Zahlungen einzeln und daraus dann den Endwert des Zahlungsstroms.

  \(EW_{z_0}=\)

  \(EW_{z_1}=\)

  \(EW_{z_2}=\)

  \(EW_{z_3}=\)

  \(EW=\)
Feedback: Musterlösung: a) Berechnen Sie zunächst einzeln die Barwerte sämtlicher Zahlungen und daraus dann den Barwert des gesamten Zahlungsstroms. \(BW_{z_0}=\) [value] \(BW_{z_1}=\) [value] \(BW_{z_2}=\) [value] \(BW_{z_3}=\) [value] Der Barwert des gesamten Zahlungsstroms beträgt: \(BW=\) [value] b) Berechnen Sie möglichst einfach den Endwert des Zahlungsstroms. \(EW=\) [value] c) Berechnen Sie die Endwerte sämtlicher Zahlungen einzeln und daraus dann den Endwert des Zahlungsstroms. \(EW_{z_0}=\) [value] \(EW_{z_1}=\) [value] \(EW_{z_2}=\) [value] \(EW_{z_3}=\) [value] \(EW=\) [value]

Der Kapitalwert einer Anlage beträgt zur Periode \(t=[value]\)

[value] Euro.  Der exponentielle Zinsfuß beträgt \(p=[value]\%\). Der Zinsfuß ist über die gesamte Laufzeit konstant. Berechnen Sie den Barwert dieser Anlage.

Eingabehinweis: Runden Sie Ihr Ergebnis kaufmännisch auf die zweite Nachkommastelle.

Barwert:
Feedback: Musterlösung Barwert: [value]

Ein Zahlungsstrom besteht aus einer Zahlungsverpflichtung von [value] Euro in einem Jahr und [value] Euro in drei Jahren. Berechnen Sie den Endwert bei jährlicher exponentiellen Verzinsung und einem Zinssatz von \(i=[value]\).

Eingabehinweis: Geben Sie Ihr Ergebnis als Dezimalzahl mit zwei Nachkommastellen an und runden Sie kaufmännisch.

Endwert:
Feedback: Musterlösung Endwert: [value]

Ein Anfangskapital beträgt [value] Euro, das Endkapital beträgt [value] Euro bei einer Laufzeit von [value] Jahren. Der Zins beträgt [value] Euro, das sind [value] % p.a. bei exponentieller Verzinsung.

Benennen Sie die folgenden Begriffe:

Eingabehinweis: Runden Sie Dezimalzahlen stets kaufmännisch auf die vorgegebene Anzahl an Stellen.

a) \(K_0\):

b) \(K_n\) (zwei Nachkommastellen):

c) Zinsfuß \(p\) in %:

d) Zinssatz \(i\) (drei Nachkommastellen):

e) Aufzinsungsfaktor für die Laufzeit n (vier Nachkommastellen):

f) Diskontierungsfaktor für die Laufzeit n (vier Nachkommastellen):
Feedback: Musterlösung a) \(K_0\): [value] b) \(K_n\) (zwei Nachkommastellen): [value] c) Zinsfuß \(p\) in %: [value] d) Zinssatz \(i\) (drei Nachkommastellen): [value] e) Aufzinsungsfaktor für die Laufzeit n (vier Nachkommastellen): [value] f) Diskontierungsfaktor für die Laufzeit n (vier Nachkommastellen): [value]

Der Zahlungsstrom \(z\) besteht aus den Leistungen \(z_0=[value]\), \(z_1=[value]\), \(z_2=[value]\) und \(z_3=[value]\).

Ein weiterer Zahlungsstrom (\(z'\)) verfügt über lediglich eine Leistung in \(z'_[value]\).

Welchen Wert muss diese Leistung in \(z'_[value]\) aufweisen, dass die zwei Zahlungsströme, \(z\) und \(z'\), äquivalent sind?

Der exponentielle Zinsfuß beträgt für beide Zahlungsströme \(p=[value]\%\).

Eingabehinweis: Geben Sie Ihre Lösung als Dezimalzahl mit zwei Nachkommastellen ein, als Dezimalzeichen geben Sie einen Punkt ein. Runden Sie kaufmännisch.

\(z'_[value]=\)
Feedback: Lösung: p= [value] ; \(z'_[value]=[value]\).

Eine Bank unterbreitet folgendes Angebot:

Für die Anlage von [value] € wird nach einem Jahr ein Betrag von [value] € und nach zwei Jahren ein Betrag von [value] € zurückgezahlt.

Berechnen Sie die Rendite \((i_{eff})\) dieses Angebots.

Eingabehinweis: Geben Sie Ihre Lösung als Dezimalzahl mit vier Nachkommastellen ein. Als Dezimaltrennzeichen verwenden Sie einen Punkt.

Rechen Sie so genau wie möglich! Rechnen Sie so weit wie möglich mit Brüchen! Ihre Rundungsdifferenzen werden bis max. \(\pm 0.0005\) als richtig gewertet.

\(i_{eff}=\)
Feedback: Die Lösung lautet \(i_{eff}=\) [value]

Gegeben Sind die folgenden (Kassa-) Zinssätze p.a. in Abhängigkeit von der Zeit.

\(t\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\)
\(i_{0,t}\) | [value] | [value] | [value] | [value]

Berechnen Sie die impliziten Terminzinssätze \(r_{t_1,t_2}\) bei exponentieller Verzinsung für

\(r_{1,4}=\)

\(r_{2,3}=\)

Eingabehinweis: Geben Sie Ihre Lösung als Dezimalzahl mit vier Nachkommastellen ein. Als Dezimalzeichen geben Sie einen Punkt ein. Runden Sie kaufmännisch.
Feedback: Lösung: \(r_{1,4}=[value]\) \(r_{2,3}=[value]\).

Bestimmen Sie sowohl den Barwert als auch den Endwert (nach fünf Jahren) für folgenden Schuldschein:

Der Inhaber erhält [value] Euro nach einem Jahr, [value] Euro nach zwei Jahren und [value] Euro nach fünf Jahren.

Unterstellen Sie einen Bewertungszins von [value] %.

Runden Sie Ihr Ergebnis auf eine ganze Zahl (keine Nachkommastellen).

Barwert:

Endwert nach fünf Jahren:

Fritz und Ferdi verfügen jeweils über [value] Euro Bargeld. Fritz geht zu seiner Hausbank und legt das Geld zu [value] % an. Ferdi engagiert einen Finanzberater, der [value] % des Anlagebetrages als Provision erhält, jedoch eine Bank ausfindig macht, die [value] % Jahreszins bietet.

Hinweis: Die Provision bei Ferdi bezieht sich auf den ursprünglichen Anlagebetrag von [value] Euro und wird direkt abgezogen. Ferdi hat dadurch einem geringeren Anlagebetrag als Fritz.

Bitte beantworten Sie die drei Fragen.

1. Wie hoch ist das Guthaben von Fritz nach [value] Jahren?
Antwort: €
2. Wie hoch ist das Guthaben von Ferdi nach [value] Jahren?
Antwort: €
3. Nach wie vielen Jahren sind die Guthaben von Ferdi und Fritz gleich groß?
Antwort: Jahre

Eingabehinweise: Tragen Sie Ihre Ergebnisse in die jeweiligen Felder ein. Sie müssen jeweils eine Dezimalzahl mit zwei Nachkommastellen eingeben. Benutzen Sie als Trennzeichen einen Punkt und runden Sie kaufmännisch.

Frieda Fröhlich betreibt eine kleine Druckerei und kann zum 1.1.2021 einen großen Auftrag annehmen. Allerdings muss sie für den Auftrag in einen neuen Drucker (Preis: [value] Euro) investieren. Der Druckauftrag würde ihr in den nächsten Jahren zusätzliche Einnahmen bringen (nach Abzug der Materialkosten und sonstiger laufender Kosten, jeweils am Jahresende):

 | Jahr 2021.... | Jahr 2022.... | Jahr 2023.... | Jahr 2024.... | Jahr 2025..
Einnahmen (in Euro).. | [value] | [value] | [value] | [value] | [value]

Wie hoch ist der Barwert bei einem jährlichen Zins von [value] %?

Bitte runden Sie Ihr Ergebnis auf zwei Nachkommastellen und verwenden Sie als Dezimaltrennzeichen einen Punkt.

Antwort: €

Berechnen Sie den Rentenbarwertfaktor (RBF) für \(n=[value]\) und \(p=[value]\%\).

Geben Sie Ihr Ergebnis als Dezimalzahl mit vier Nachkommastellen ein. Runden Sie kaufmännisch. Dezimaltrennzeichen ist ein Punkt.

Ergebnis:
Feedback: Musterlösung: RBF: \([value]\)

Berechnen Sie den Rentenendwertfaktor (REF) für \(n=[value]\) und \(p=[value]\%\).

Geben Sie Ihr Ergebnis als Dezimalzahl mit vier Nachkommastellen ein. Runden Sie kaufmännisch. Dezimaltrennzeichen ist ein Punkt.

Ergebnis:
Feedback: Musterlösung: REF: \([value]\)

Gegeben sind: \(r=[value]\), \(R_n=[value]\), \(i=[value]\) (exponentielle Verzinsung). Berechnen Sie \(n\).

Eingabehinweis: Geben Sie Ihre Lösung als Dezimalzahl mit zwei Nachkommastellen ein. Runden Sie kaufmännisch.

\(n=\)
Feedback: Musterlösung: Die Rentenendwertformel \(R_n=r \cdot \frac{(1+i)^n-1}{i}\) nach \(n\) umstellen. \(n=[value]\)

Sie zahlen insgesamt [value] Jahre jeweils am Ende eines Jahres einen Betrag von [value] € auf ein Konto bei vereinbarten [value]% Verzinsung (mit Zinseszins) ein.

Eingabehinweis: Geben Sie Ihre Lösungen jeweils als Dezimalzahl mit zwei Nachkommastellen ein. Runden Sie kaufmännisch.

a) Über wie viel Geld können Sie nach [value] Jahren auf dem Konto verfügen?

Antwort: €.

b) Was ist Ihr berechneter Wert aus a) heute wert?

Antwort: €.
Feedback: Die Lösungen lauten: a) Gesucht ist der Rentenendwert. Mit \(R_n=r \cdot \frac{(1+i)^n-1}{i}\) ist \(R_[value]=[value]\) €. b) Gesucht ist der Rentenbarwert. Mit \(R_0=r \cdot \frac{(1+i)^n-1}{i} \cdot \frac{1}{(1+i)^n}\) ist \(R_0=[value]\) €.

Einem Bauherrn wird eine Hypothek von [value] € bei 100% Auszahlung und [value]% Jahreszins angeboten, die in [value] Jahren durch exakte Annuitätentilgung zurückgezahlt werden soll. Wie hoch ist die Annuität?

Tragen Sie Ihr Ergebnis in das Feld ein. Sie müssen eine Dezimalzahl mit zwei Nachkommastellen eingeben. Als Trennzeichen benutzen Sie einen Punkt und runden Sie kaufmännisch.

\(A=\)
Feedback: Gesucht ist der Betrag der Annuität \(A\). \(A=[value]\cdot [value]^[value]\cdot \frac{[value]-1}{[value]^[value]-1}=[value]\)

Ein Energieunternehmen erhält einen Kredit in Höhe von [value] € zu [value] % Zinsen. Dieser Kredit soll durch jährliche Annuitätentilgung in [value] Jahren zurückgezahlt werden.

a) Wie hoch ist die jährliche Annuität im obigen Beispiel?

Geben Sie Ihre Lösung als als ganze Zahl ein. Schneiden Sie die Nachkommastellen ab und runden Sie nicht.

\(A=\)

b) Ergänzen Sie die fehlenden Felder des Tilgungsplans.

Hinweis: Berechnen Sie die einzelnen Felder nicht über die Formeln sondern erarbeiten Sie sich die Lösung Zeile für Zeile. Geben Sie auch hier nur ganze Zahlen ein und runden Sie nicht.

\(k\) | \(s_k\) | \(Z_k\) | \(T_k\) | \(A_k\)
\(0\) | [value] | - | - | -
\(1\) |  |  |  |
\(2\) |  |  |  |
\(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\)
Feedback: Die Lösung lautet \(A=[value]\) \(k\) | \(s_k\) | \(Z_k\) | \(T_k\) | \(A_k\) \(0\) | [value] | - | - | - \(1\) | [value] | [value] | [value] | [value] \(2\) | [value] | [value] | [value] | [value] \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\)

Ein Baudarlehen mit Darlehenssumme [value] Euro wird zu folgenden Konditionen angeboten:

- Zins: [value] % pro Jahr
- Rückzahlung: [value] Euro jährlich nachschüssig

Nach wie vielen Jahren ist die Darlehenssumme vollständig getilgt?

Runden Sie Ihr Ergebnis am Ende der Rechnung auf das nächste volle Jahr auf.

Ein Baudarlehen mit Darlehenssumme [value] Euro wird zu folgenden Konditionen angeboten:

- Zins: [value] % pro Jahr
- Zinsbindung: [value] Jahre
- Rückzahlung: [value] Euro jährlich nachschüssig

Berechnen Sie die Restschuld nach [value] Jahren.

Runden Sie Ihr Ergebnis am Ende der Rechnung kaufmännisch auf zwei Nachkommastellen und verwenden Sie einen Punkt als Dezimaltrennzeichen.

Berechnen Sie die folgenden Matrixprodukte mit den Matrizen

\(A=[value]\), \(E=[value]\), \(Z=[value]\) und \(B=[value]\).

a) \(A \cdot E =\)

b) \(A \cdot Z =\)

c) \(A \cdot B =\)
Feedback: Musterlösung a) \(A \cdot E =[value]\) b) \(A \cdot Z =[value]\) c) \(A \cdot B =[value]\)

Transponieren Sie die Matrix \(A=[value]\).

\(A^T=\)

Überführen Sie das lineare Gleichungssystem

\(\begin{eqnarray} [value] &=& [value] \\ [value]&=& [value] \\ [value]&=& [value] \end{eqnarray} \)

in die Matrixschreibweise und geben Sie die Koeffizientenmatrix \(A\) und den Ergebnisspaltenvektor \(b\) an.

Eingabehinweis: Achtung! Sofern ein Eintrag in der Matrix \(A\) falsch ist, ist die gesamte Matrix \(A\) falsch, es gibt keine Teilpunkte. Das gleiche gilt für den Vektor \(b\).

\(A=\) |  |
\(b=\) |  |
Feedback: Musterlösung \(A=\) | [value] | \(b=\) | [value] |

Gegeben sind

\(A=[value]\), \(B=[value]\), \(x=[value]\) und \(Y =[value]\).

Berechnen Sie \(C = A^\top \cdot (x \cdot Y - [value] B)\).

\(C = \) |
Feedback: Lösung: \(C= A^\top \cdot ( x \cdot Y - [value] B )\) \(=[value]\cdot\left([value]\cdot[value]-[value]\cdot[value]\right)\) \(=[value]\cdot\left([value]-[value]\right)\) \(=[value]\cdot[value]=[value]\).

Gegeben sei die Matrix \(A\)

\(A=[value]\)

und der Vektor

\(x=[value]\).

Berechnen Sie das Matrix-Vektor-Produkt \(A\cdot x\).

\(A\cdot x=\)
Feedback: Die Lösung ist \([value]\cdot [value]=[value]\).

Berechnen Sie für die Matrizen

\(A=[value]\) und \(B=[value]\)

den Ausdruck \([value]A[value]B\).

\([value]A[value]B=\)
Feedback: Die Lösung ist \([value][value][value][value]=[value]\)

Berechnen Sie für die Matrizen

\(A=[value]\) und \(B=[value]\)

das Matrixprodukt \([value]\).

\([value]=\)
Feedback: Die Lösung ist \([value]=[value]\).

Berechnen Sie für die Matrizen

\(A=[value]\), \(B=[value]\) und \( \ C=[value]\)

den Ausdruck \([value]A^{T}B[value]C\).

\([value]A^{T}B[value]C = \) |
Feedback: Die Lösung ist \([value][value][value][value]=[value]\)

Lösen Sie das lineare Gleichungssystem der Form \(A\cdot x=b\)

\([value]\cdot x=[value]\).

\(x=\) |
Feedback: Die Lösung ist: [value]

Bestimmen Sie die Inverse der Matrix \(A=[value]\).

\(A^{-1} = \) |  |
Feedback: Die Lösung ist: \(A^{-1}=[value]\)

Streichungsmatrix

\(A=[value]\)

\(A_{[value][value]}=\) |  |
Feedback: Musterlösung: \(A_{[value][value]}=[value]\)

Berechnen Sie die Determinante der Matrix

\[A=[value]\].

\(\mathrm{det}\, A =\,\)
Feedback: \(det(A)=([value])\cdot ([value])-([value])\cdot ([value])=[value]\)

Bestimmen Sie alle \(a \in \mathbb{R}\), für die die Matrix

\[A=[value]\]

nicht invertierbar (singulär) ist.

Eingabehinweis: Geben Sie die exakte Lösung ein, als Bruch oder ganze Zahl!

\(a=\)
Feedback: Die Lösung ist: \(detA=[value] \overset{!}{=}0\), \(a=[value]\).

Berechnen Sie die Determinante der Matrix

\(A=[value]\)

mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes indem Sie nach der \([value]\)-ten Zeile entwickeln.

Die Streichungsmatrix \(A_{[value][value]}\) lautet

Insgesamt erhält man somit

\(\mathrm{det}(A)=\)\(\cdot \mathrm{det}(A_{[value][value]})=\)
Feedback: Lösung: Nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz gilt: \(\mathrm{det}(A)=\sum\limits_{j=1}^4 (-1)^{[value]+j}\cdot a_{[value]j}\cdot\mathrm{det}(A_{[value]j})\) \(=(-1)^{[value]}\cdot [value][value][value]\cdot\mathrm{det}(\begin{pmatrix} [value] & [value] & [value] \\ [value] & [value] & [value]\\ [value] & [value] & [value] \end{pmatrix})\) \(=[value]\cdot [value][value][value]=[value]\).

Betrachten Sie folgendes Simplextableau.

Basis | \(x_1\) | \(x_2\) | \(s_1\) | \(s_2\) | \(b\)
\(s_1\)
\(s_2\)
\([value]\) | \([value]\) | \(1\) | \(0\)
\([value]\) | \([value]\) | \(0\) | \(1\)
\([value]\)
\([value]\)
\(z\) | \([value]\) | \([value]\) | \(0\) | \(0\) | \(0\)

Geben Sie das Pivotelement an (primaler - bzw. dualer Simplex gemäß Lehrbuch).

Pivotelement:
Feedback: Musterlösung Pivotelement: [value] [Image]

Betrachten Sie folgendes Simplextableau.

Basis | \(x_1\) | \(x_2\) | \(s_1\) | \(s_2\) | \(b\)
\(s_1\)
\(s_2\)
\([value]\) | \([value]\) | \(1\) | \(0\)
\([value]\) | \([value]\) | \(0\) | \(1\)
\([value]\)
\([value]\)
\(z\) | \([value]\) | \([value]\) | \(0\) | \(0\) | \(0\)

a) Geben Sie das Pivotelement an.

Pivotelement:

b) Welche Variablen stehen im nächsten Tableau in der Basis?
Geben Sie die Basisvariablen als Vektor ein.
Eingabehinweis: Geben Sie die Variablen wie folgt ein, z. B. x1 für \(x_1\)

Basisvektor:
Feedback: Musterlösung a) Pivotelement: [value] b) Basisvektor: [value]

Gegeben ist folgendes lineare Programm.

Entscheidungsvariablen: \(x_1, x_2\)

Zielfunktion: \(z=[value]x_1+x_2 \rightarrow \text{max}\)

Nebenbedingungen:

[value]

[value]

[value]

Nichtnegativitätsbedingung:

\(x_1,x_2\ge 0\)

Wenden Sie den Simplexalgorithmus an und nennen Sie die Lösung dieses Problems.

a) \(x_1=\)

b) \(x_2=\)

c) \(z=\)
Feedback: Musterlösung a) \(x_1=[value]\) b) \(x_2=[value]\) c) \(z=[value]\)

Gegeben ist folgendes Standardmaximierungsproblem.

\([value]x_1+[value]x_2\to max!\)

\([value]x_1+[value]x_2\le[value]\)

\([value]x_1+[value]x_2\le[value]\)

\(x_1,x_2\ge 0\)

Stellen Sie das erste Simplex-Tableau auf.

Basis | \(x_1\) | \(x_2\) | \(s_1\) | \(s_2\) | \(b\)
\(s_1\)
\(s_2\)
\(z\) |  |
Feedback: Musterlösung Basis \(x_1\) | \(x_2\) | \(s_1\) | \(s_2\) \(b\) \(s_1\) \(s_2\) [value] [value] \(z\) | [value] | [value]