Title: Bruchrechenregeln

Um Brüche zu vereinfachen, kannst du Zähler (oben) und Nenner (unten) durch die gleiche Zahl dividieren.

[Image]

Kürzen Sie folgenden Bruch so weit wie möglich.

[value]\(\,=\,\)

Um Brüche zu addieren, musst du sie zunächst auf den gleichen Nenner bringen, indem du sie erweiterst. Erweitern heißt: Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multiplizieren.

[Image]

Berechnen Sie und kürzen Sie die Antwort soweit wie möglich:

\(\displaystyle\frac{[value]}{[value]}+\displaystyle\frac{[value]}{[value]}\,=\,\)
Feedback: Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen diese zunächst auf einen gemeinsamen Hauptnenner gebracht werden. Zuerst muss man das kleinste gemeinsame Vielfache von den Nennern suchen, dann erweitert man die Brüche auf den gemeinsamen Nenner. Danach kann man die Zähler der beiden Brüche addieren.

Um Brüche zu dividieren kannst du Zähler und Nenner des Divisors (rechter Teil der Divsion) tauschen und stattdessen multiplizieren.

[Image]

Berechnen Sie und kürzen Sie die Antwort soweit wie möglich:

\(\large[value]\div[value]\,=\,\)
Feedback: Um zwei Brüche zu dividieren muss man den ersten Bruch mit dem Kehrbruch des zweiten multiplizieren. In dieser Aufgabe: \[[value]\div[value],\] \[=[value]\cdot[value],\] \[=[value].\]

Bei der Multiplikation von Brüchengilt: Nenner Mal Nenner und Zähler Mal Zähler. Dabei kannst du schon vor der Multiplikation Zahlen, die sowohl im Zähler als auch im Nenner erscheinen (und umgekehrt) gegeneinander wegkürzen.

[Image]

Berechnen und vereinfachen Sie den folgenden Bruch so weit wie möglich.

[value]\(\,=\,\)

Der Bruchstrich markiert letztendlich eine Division. Deshalb gilt für Doppelbrüche das Gleiche wie für die Divison von Brüchen: Zähler und Nenner des Divisors tauschen und multiplizieren.

[Image]

Berechnen Sie und kürzen Sie die Antwort soweit wie möglich:

\(\large{\frac{[value]}{[value]}}\,=\,\)
Feedback: Um zwei Brüche zu dividieren muss man den ersten Bruch mit dem Kehrbruch des zweiten multiplizieren. In dieser Aufgabe: \[[value]\div[value],\] \[=[value]\cdot[value],\] \[=[value].\]

Kombiniere die Bruchrechenregeln, um die folgende Aufgabe zu lösen.

[Image]

Vereinfachen Sie folgenden Bruch so weit wie möglich.

[value]\(\,=\,\)

Hier zur Erinnerung die wichtigsten Bruchrechenregeln:
- Erweitern: \(\frac a c \cdot 1 = \frac a c \cdot \frac d d = \frac{a\,d}{c\,d}\)
Beispiel: \(\frac 3 4 = \frac 6 8\)
- Addition: \(\frac a c + \frac b d = \frac{a\,d + b\,c}{c\,d}\)
Beispiel: \(\frac 1 2 + \frac 1 4 = \frac 2 4 + \frac 1 4 = \frac 3 4\)
- Kürzen: \(\frac{a\,d}{b\,d} = \frac a b \cdot \frac d d = \frac a b \cdot 1\)
Beispiel: \(\frac{10}{15} = \frac{2\cdot5}{3\cdot5} = \frac 2 3\)
- Aber keine Summanden kürzen: \(\frac{a}{b + c}\)
Beispiel: \(\frac{10}{10 + 5} = \frac 2 3\)

Dies ist der Endgegner zur Mathe-Welt Bruchrechenregeln und binomische Formeln. Wenn du diese Aufgabe schaffst, hast du diese Welt schon gemeistert. Wende zuerst die binomischen Formeln an, um die Nenner zu vereinfachen. Um die Brüche dann zu addieren, musst du mit einem Term erweitern.

[Image]

Vereinfachen und faktorisieren Sie folgenden Term mithilfe der binomischen Formeln.

[value]\(\,=\,\)

Fassen Sie die Terme so zusammen, dass sie als einen Bruch dargestellt werden, und kürzen Sie die Antwort soweit wie möglich:

\(\displaystyle\frac{[value]}{[value]}+\displaystyle\frac{[value]}{[value]}\,=\, \)
Feedback: Brüche mit Variablen werden genau so addiert, wie Brüche mit Zahlen. Stellen Sie zuerst beide Brüche so um, dass sie einen gemeinsamen Nenner haben. Dann können Sie die Brüche addieren und am Ende noch Terme zusammenfassen oder kürzen. Musterlösung: \[\frac{[value]}{[value]}+\frac{[value]}{[value]} = \frac{[value]}{[value]}+\frac{[value]}{[value]} = \frac{[value]}{[value]} = [value]. \]

Fassen Sie die Terme so zusammen, dass sie als einen Bruch dargestellt wird, und kürzen Sie die Antwort soweit wie möglich:

\(\displaystyle\frac{[value]}{[value]}+\displaystyle\frac{[value]}{[value]}\,=\,\)
Feedback: Brüche mit Variablen werden genau so addiert, wie Brüche mit Zahlen. Stellen Sie zuerst beide Brüche so um, dass sie einen gemeinsamen Nenner haben. Dann können Sie die Brüche addieren und am Ende noch Terme zusammenfassen oder kürzen. Musterlösung: \[\frac{[value]}{[value]}+\frac{[value]}{[value]} = \frac{[value]}{[value]}+\frac{[value]}{[value]} = \frac{[value]}{[value]} = [value]. \]

Berechnen Sie und kürzen Sie die Antwort soweit wie möglich:

\(\displaystyle\frac{[value]}{[value]}+\displaystyle\frac{[value]}{[value]}\,=\,\)
Feedback: Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen diese zunächst auf einen gemeinsamen Hauptnenner gebracht werden. Zuerst muss man das kleinste gemeinsame Vielfache von den Nennern suchen, dann erweitert man die Brüche auf den gemeinsamen Nenner. Danach kann man die Zähler der beiden Brüche addieren.

Fassen Sie die Terme so zusammen, dass sie als einen Bruch dargestellt werden, und kürzen Sie die Antwort soweit wie möglich:

 \(\displaystyle\frac{[value]}{[value]}+\displaystyle\frac{[value]}{[value]}-\displaystyle\frac{[value]}{[value]}\,=\,\)
Feedback: Wenn Sie mehrere Brüche addieren, können Sie entweder zuerst auf zwei Brüche konzentrieren, oder sie suchen einen gemeinsamen Nenner für alle Brüche. Sie müssen die Brüche so erweitern, dass Sie einen gemeinsamen Nenner haben, dann können Sie die Brüche addieren und am Ende noch Terme zusammenfassen oder kürzen. In dieser Aufgabe: \[\frac{[value]}{[value]}+\frac{[value]}{[value]}-\frac{[value]}{[value]} = \frac{[value]}{[value]}+\frac{[value]}{[value]}-\frac{[value]}{[value]} = [value]. \]

Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck soweit wie möglich:

\(\displaystyle\frac{[value]}{[value]}+\displaystyle\frac{[value]}{[value]}\,=\, \)
Feedback: Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen diese zunächst auf einen gemeinsamen Hauptnenner gebracht werden. Daraufhin werden lediglich die Zähler addiert oder subtrahiert. Der gemeinsame Nenner wird beibehalten. Musterlösung : \[\frac{[value]}{[value]}+\frac{[value]}{[value]} = \frac{[value]}{[value]}+\frac{[value]}{[value]} = [value]. \]

Lösen Sie die Gleichung nach [value] auf:

\(\displaystyle\frac{[value]}{[value]}+3 = \displaystyle\frac{[value]}{[value]}\)

\([value]\) =
Feedback: Stellen Sie die Gleichung so um, dass auf einer Seite nur die gesuchte Variable [value] und auf der anderen Seite nur noch eine Zahl steht. Wenn in der Gleichung Brüche vorkommen, multipliziert man am besten beide Seiten der Gleichung mit einer passenden Zahl, so dass die Brüche gekürzt werden können. Musterlösung: Multiplizieren Sie die Gleichung zuerst mit [value]: \[ [value] = [value] \quad | \cdot [value] \] \[ [value] = [value]. \] Nun können Sie die Klammern ausmultiplizieren und Terme zusammenfassen: \[ [value] = [value]. \] Bringen Sie nun die Konstante auf eine Seite und die Variable auch eine Seite: \[ [value] = [value] \] Teilen Sie dann die Gleichung mit dem Koeffizient von \([value]\): \[ [value] = [value]. \]

Berechnen Sie und kürzen Sie die Antwort soweit wie möglich:

\(\large[value]\div[value]\,=\,\)
Feedback: Um zwei Brüche zu dividieren muss man den ersten Bruch mit dem Kehrbruch des zweiten multiplizieren. In dieser Aufgabe: \[[value]\div[value],\] \[=[value]\cdot[value],\] \[=[value].\]

Lösen Sie die Gleichung : \[\frac{x}{a} + \frac{x}{b} = 2. \] nach \(x\) auf:

\(x\) =
Feedback: Um die Gleichung umzustellen, führen Sie die Operationen auf beiden Seiten durch \[ \frac{x}{a} + \frac{x}{b} = 2. \] Multiplizieren Sie auf beiden Seiten mit \(@a*b@\): \[ @x*b+x*a@ = @2*a*b@. \] Faktorisieren Sie: \[ @(a+b)*x@ = @2*a*b@. \] Dividieren Sie auf beiden Seiten mit \(@a+b@\): \[ @x@ = @(2*a*b)/(a+b)@. \] Nun haben Sie nach \(x\) umgestellt.

Um die folgende Aufgabe zu lösen musst du die binomischen Formeln anwenden und mit Brüchen rechnen können. Kommst du so schon auf die Lösung? Sonst biete ich dir Hilfsschritte zu dieser Aufgabe an. Klicke dann einfach auf "Nächste Frage".

Vereinfachen Sie folgenden Bruch so weit wie möglich.

[value]\(\,=\,\)

To simplify fractions, you can divide the numerator (above) and the denominator (below) by the same number.

[Image]

Simplify the following fraction as much as possible.

[value]\(\,=\,\)

When multiplying fractions, you apply "numerator times numerator" and "denominator times denominator". When doing this, you can cross out numbers that appear both in the numerator and the denominator.

[Image]

Write the following as one fraction and simplify it as much as possible.

[value]\(\,=\,\)

Combine the fraction calculation rules to solve the following exercise.

[Image]

Write the following as one fraction and simplify it as much as possible.

[value]\(\,=\,\)

Here are the most important fraction calculation rules, as reminder.
- Add factors: \(\frac a c \cdot 1 = \frac a c \cdot \frac d d = \frac{a\,d}{c\,d}\)
Example: \(\frac 3 4 = \frac 6 8\)
- Addition: \(\frac a c + \frac b d = \frac{a\,d + b\,c}{c\,d}\)
Example: \(\frac 1 2 + \frac 1 4 = \frac 2 4 + \frac 1 4 = \frac 3 4\)
- Remove factors: \(\frac{a\,d}{b\,d} = \frac a b \cdot \frac d d = \frac a b \cdot 1\)
Beispiel: \(\frac{10}{15} = \frac{2\cdot5}{3\cdot5} = \frac 2 3\)
- But do not remove factors from sums: \(\frac{a}{b + c}\)
Example: \(\frac{10}{10 + 5} = \frac 2 3\)

This is the final boss of the math world Fractions and the binomial theorem. If you solve this task, you will have mastered this world. First apply the binomial theorems to simplify the denominators. Then, to sum the fractions, you need to ensure both fractions have the same denominator.

[Image]

Factorize and simplify the following term using the binomial theorems.

[value]\(\,=\,\)

To add two fractions, you must first ensure they have the same denominator. To do so, multiply the numerator and denominator of each fraction by the same number.

[Image]

Write the following as one fraction and simplify it as much as possible.

\(\displaystyle\frac{[value]}{[value]}+\displaystyle\frac{[value]}{[value]}\,=\,\)
Feedback: To add or subtract fractions, you must ensure that they have the same denominator. First you must find the smallest common multiple of the denominators. Then you multiply the numerator and denominator by the same factor to turn the denominator into the desired quantity. Afterwards you can add the numerators of the two fractions together.

When dividing by a fraction, you can switch the numerator and the denominator of this fraction and instead use multiplication.

[Image]

Write the following as one fraction and simplify it as much as possible.

\(\large[value]\div[value]\,=\,\)
Feedback: To divide two fractions, you can multiply the first fraction by the inverse of the second fraction. In this exercise: \[[value]\div[value],\] \[=[value]\cdot[value],\] \[=[value].\]

The divider bar also marks a division. So for double fractions, the same holds as for dividing a fraction by a fraction: switch the numerator and denominator of the bottom fraction and then multiply the two resulting fractions.

[Image]

Write as one fraction and simplify the result as much as possible.

\(\large{\frac{[value]}{[value]}}\,=\,\)
Feedback: To divide two fractions, you must multiply the first fraction with the inverse of the second fraction. In this exercise: \[[value]\div[value],\] \[=[value]\cdot[value],\] \[=[value].\]