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@@ -0,0 +1 @@
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\ No newline at end of file
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Binary files /dev/null and b/20240411/ad-20240411.pdf differ
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+% ad-20240411.pdf - Lecture Slides on Algorithms and Data Structures in C/C++
+% Copyright (C) 2018, 2019, 2020, 2021, 2022, 2023, 2024 Peter Gerwinski
+%
+% This document is free software: you can redistribute it and/or
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+% any later version.
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+% but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
+% MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. See the
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+% along with this document. If not, see <http://www.gnu.org/licenses/>.
+%
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+% Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License along with this
+% document. If not, see <http://creativecommons.org/licenses/>.
+
+% README: Mathematische Grundlagen der Kryptographie
+
+\documentclass[10pt,t]{beamer}
+
+\usepackage{pgslides}
+\usepackage{tikz}
+%\usepackage{rotating}
+
+\newcommand{\underconstruction}{%
+ \begin{picture}(0,0)
+ \color{black}
+ \put(6,-2.2){\makebox(0,0)[b]{\includegraphics[width=1.5cm]{Zeichen_123.pdf}}}
+ \put(6,-2.5){\makebox(0,0)[t]{\shortstack{Änderungen\\vorbehalten}}}
+ \end{picture}}
+
+\title{Algorithmen und Datenstrukturen in C/C++}
+\author{Prof.\ Dr.\ rer.\ nat.\ Peter Gerwinski}
+\date{11.\ April 2024}
+
+\begin{document}
+
+\maketitleframe
+
+% \sectionnonumber{Vorab: Online-Werkzeuge}
+%
+% \begin{frame}
+%
+% \showsectionnonumber
+% \begin{itemize}
+% \item
+% \textbf{Mumble}: Seminarraum 2\\
+% Fragen: Mikrophon einschalten oder über den Chat\\
+% Umfragen: über den Chat
+% \smallskip
+% \item
+% \textbf{VNC}: Kanal 6, Passwort: \lstinline[style=cmd]{testcvh}\\
+% Eigenen Bildschirm freigeben: per VNC-Server oder Web-Interface\\
+% Kamerabild übertragen: Link zu Web-Interface auf Anfrage
+% \smallskip
+% \item
+% Allgemeine Informationen:
+% \url{https://www.cvh-server.de/online-werkzeuge/}
+% \smallskip
+% \item
+% Notfall-Schnellzugang: \url{https://www.cvh-server.de/virtuelle-raeume/}\\
+% Seminarraum 2, VNC-Passwort: \lstinline[style=cmd]{testcvh}
+% \smallskip
+% \item
+% Bei Problemen: bitte notieren:\\
+% Art des Problems, genaue Uhrzeit, JavaScript-Fehlermeldungen (F12)
+% \bigskip
+% \item
+% GitLab: \url{https://gitlab.cvh-server.de/pgerwinski/ad}\\
+% Links auf die Datei klicken, nicht mittig auf den Kommentar.
+% \end{itemize}
+%
+% \end{frame}
+
+\nosectionnonumber{Hardwarenahe Programmierung}
+
+\iffalse
+
+\begin{frame}
+
+ \shownosectionnonumber
+
+ \begin{itemize}
+ \item[\textbf{1}] \textbf{Einführung}
+ \hfill\makebox(0,0)[br]{\raisebox{2.25ex}{\url{https://gitlab.cvh-server.de/pgerwinski/hp}}}
+ \item[\textbf{2}] \textbf{Einführung in C}
+ \item[\textbf{3}] \textbf{Bibliotheken}
+ \item[\textbf{4}] \textbf{Hardwarenahe Programmierung}
+ \item[\textbf{5}] \textbf{\color{black}Algorithmen}
+ \begin{itemize}
+ \color{medgreen}
+ \item[5.1] Differentialgleichungen
+ \item[5.2] Rekursion
+ \item[5.3] Aufwandsabschätzungen
+ \end{itemize}
+ \item[\textbf{6}] \textbf{Objektorientierte Programmierung}
+ \item[\textbf{7}] \textbf{\color{black}Datenstrukturen}
+ \begin{itemize}
+ \color{medgreen}
+ \item[7.1] Stack und FIFO
+ \item[7.2] Verkettete Listen
+ \item[7.3] Bäume
+ \end{itemize}
+ \end{itemize}
+ \vspace*{-1cm}
+
+\end{frame}
+
+\fi
+
+\begin{frame}
+
+ \shownosectionnonumber
+
+ \begin{itemize}
+ \color{gray}
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+ \item[5.1] Differentialgleichungen
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+ \vspace*{-1cm}
+
+\end{frame}
+
+\nosectionnonumber{Algorithmen}
+
+\begin{frame}
+
+ \shownosectionnonumber
+
+ {\color{medgreen}\textbf{Differentialgleichungen}}
+ \begin{itemize}
+ \item Pendel
+ \item Planetenbahnen
+ \end{itemize}
+
+ {\color{medgreen}\textbf{Rekursion}}
+ \begin{itemize}
+ \item Türme von Hanoi
+ \end{itemize}
+
+ \smallskip
+
+ \textarrow\ \emph{Wie rechnet man das überhaupt aus?}
+
+ \bigskip
+
+ {\color{medgreen}\textbf{Aufwandsabschätzungen}}
+ \begin{itemize}
+ \item Selectionsort
+ \item Bubblesort
+ \item Quicksort
+ \end{itemize}
+
+ \smallskip
+
+ \textarrow\ \emph{Wie rechnet man das möglichst effizient aus?}
+ \begin{itemize}
+ \item[\textbf{?}] möglichst schnell
+ \item[\textbf{?}] mit möglichst wenig Speicherplatzverbrauch
+ \item[\textbf{?}] unter Berücksichtigung gegebener Randbedingungen
+ \end{itemize}
+
+\end{frame}
+
+\nosectionnonumber{Datenstrukturen}
+
+\begin{frame}
+
+ \shownosectionnonumber
+
+ \addvspace{-3pt}
+
+ \begin{visibleenv}<1->
+ \textbf{Structs und Objekte}
+ \begin{itemize}
+ \item zusammengehörige Daten gemeinsam speichern
+ \end{itemize}
+ \end{visibleenv}
+
+ {\color{medgreen}\textbf{Stack und FIFO}}\only<1->{\textbf{ -- Arrays}}
+ \begin{itemize}
+ \item effizientes Anfügen und Entfernen vorne und hinten
+ \item effizienter direkter Zugriff auf Elemente in der Mitte
+ \item ineffizientes Einfügen und Entfernen in der Mitte
+ \end{itemize}
+
+ {\color{medgreen}\textbf{Verkettete Listen}}\only<1->{\textbf{ -- Structs mit Pointern}}
+ \begin{itemize}
+ \item effizientes Einfügen und Entfernen in der Mitte
+ \item ineffizienter direkter Zugriff auf Elemente in der Mitte
+ \end{itemize}
+
+ {\color{medgreen}\textbf{Bäume}}\only<1->{\textbf{ -- Structs mit Pointern}}
+ \begin{itemize}
+ \item Kompromiß
+ \end{itemize}
+
+ \smallskip
+
+ \textarrow\ \emph{Wie speichert man das möglichst effizient?}
+ \begin{itemize}
+ \item[\textbf{?}] möglichst schnell
+ \item[\textbf{?}] mit möglichst wenig Speicherplatzverbrauch
+ \item[\textbf{?}] unter Berücksichtigung gegebener Randbedingungen
+ \end{itemize}
+
+\end{frame}
+
+\nosectionnonumber{Aufwandsabschätzungen \protect\color{gray}-- Komplexitätsanalyse}
+
+\begin{frame}[fragile]
+
+% \newcommand{\w}{\hspace*{0.75pt}}
+
+ \shownosectionnonumber
+
+ \begin{picture}(0,0)
+ \put(7.6,-0.5){%
+ \begin{minipage}[t]{5.3cm}
+% \vspace*{-1.0cm}\includegraphics{landau-symbols.pdf}
+ \alt<3->{\vspace*{-0.93cm}\includegraphics{landau-symbols-3.pdf}}%
+ {\vspace*{-1.00cm}\includegraphics{landau-symbols.pdf}}
+ \small%\vspace*{-1.0cm}
+ \begin{description}\itemsep0pt\leftskip-0.5cm
+ \item[$n$:] Eingabedaten
+ \item[$g(n)$:] Rechenzeit
+ \end{description}
+ \end{minipage}}
+ \end{picture}
+
+ \vspace*{-\bigskipamount}
+
+ Wann ist ein Programm "`schnell"'?
+
+ \medskip
+
+ \begin{onlyenv}<1>
+ Türme von Hanoi: $\mathcal{O}(2^n)$
+ \par\medskip
+ Für jede zusätzliche Scheibe\\verdoppelt sich die Rechenzeit!
+ \begin{itemize}
+ \arrowitem
+ $\frac{30,672\,\text{s}\,\cdot\,2^{32}}{3600\,\cdot\,24\,\cdot\,365,25} \approx 4174$
+ Jahre\\[\smallskipamount]
+ für 64 Scheiben
+ \end{itemize}
+
+ \bigskip
+ \end{onlyenv}
+
+ \begin{onlyenv}<1->
+ Faustregel:\\Schachtelung der Schleifen zählen\\
+ $k$ Schleifen ineinander \textarrow\ $\mathcal{O}(n^k)$
+
+ \bigskip
+ \end{onlyenv}
+
+ \begin{onlyenv}<2>
+ \textbf{Beispiel: Sortieralgorithmen}
+
+ \smallskip
+
+ Anzahl der Vergleiche bei $n$ Strings
+ \begin{itemize}
+ \item
+ Maximum suchen mit Schummeln: $\mathcal{O}(1)$
+% \pause
+ \item
+ Maximum suchen: $\mathcal{O}(n)$
+% \pause
+ \item
+ Selection-Sort: $\mathcal{O}(n^2)$
+% \pause
+ \item
+ Bubble-Sort: $\mathcal{O}(n)$ bis $\mathcal{O}(n^2)$
+% \pause
+ \item
+ Quicksort: $\mathcal{O}(n\log n)$ bis $\mathcal{O}(n^2)$
+ \end{itemize}
+
+ \end{onlyenv}
+
+% \begin{onlyenv}<3>
+% \textbf{Wie schnell ist RSA-Verschlüsselung?}
+%
+% \smallskip
+%
+% \begin{math}
+% c = m^e\,\%\,N
+% \end{math}
+% \quad
+% ("`$\%$"' = "`modulo"')
+%
+% \medskip
+%
+% \begin{lstlisting}[gobble=6,xleftmargin=2em]
+% int c = 1;
+% for (int i = 0; i < e; i++)
+% c = (c * m) % N;
+% \end{lstlisting}
+%
+% \smallskip
+%
+% \begin{itemize}
+% \item
+% $\mathcal{O}(e)$ Iterationen
+% % \item
+% % wenn $n$ die Anzahl der Binärziffern (Bits) von $e$ ist:
+% % $\mathcal{O}(2^n)$ Iterationen
+% \item
+% mit Trick:
+% $\mathcal{O}(\log e)$ Iterationen ($\log e$ = Anzahl der Ziffern von $e$)
+% \end{itemize}
+%
+% \smallskip
+%
+% Jede Iteration enthält eine Multiplikation und eine Division.\\
+% Aufwand dafür: $\mathcal{O}(\log e)$\\
+% \textarrow\ Gesamtaufwand: $\mathcal{O}\bigl((\log e)^2\bigr)$
+%
+% \end{onlyenv}
+
+ \begin{onlyenv}<3->
+
+ \textbf{Wie schnell ist RSA?}\\
+
+ \smallskip
+
+ ($n$ = typische beteiligte Zahl, z.\,B. $e,p,q$)
+
+ \begin{itemize}
+ \item
+ Ver- und Entschlüsselung (Exponentiation):\\
+ \strut\hbox to 3.5cm{\color{red}$\mathcal{O}\!\left((\log n)^2\right)$\hss}
+ \only<3->{{\color{magenta}$\mathcal{O}(n^2)$}}
+ \item
+ Schlüsselerzeugung (Berechnung von $d$):\\
+ \strut\hbox to 3.5cm{\color{red}$\mathcal{O}\!\left((\log n)^2\right)$\hss}
+ \only<3->{{\color{magenta}$\mathcal{O}(n^2)$}}
+ \item
+ Verschlüsselung brechen (Primfaktorzerlegung):\\
+ \strut\hbox to 3.5cm{\color{red}$\mathcal{O}\bigl(2^{\sqrt{\log n\,\cdot\,\log\log n}}\bigr)$\hss}
+ \only<3->{{\color{magenta}$\mathcal{O}\bigl(2^{\sqrt{n\log n}}\bigr)$}}
+ \end{itemize}
+
+ \smallskip
+% \vspace{0cm plus 1filll}
+
+ \textbf{Die Sicherheit von RSA beruht darauf,
+ daß das Brechen der Verschlüsselung aufwendiger ist als
+ \boldmath$\mathcal{O}\bigl((\log n)^k\bigr)$ (für beliebiges $k$).}
+
+% \vspace*{0.65cm}
+
+ \pause[4]
+ \smallskip
+ \hspace*{2.29cm}\textcolor{red}{\textbf{Mit Quantencomputer: \boldmath$\mathcal{O}\bigl((\log n)^3\bigr)$}}
+
+ \end{onlyenv}
+
+\end{frame}
+
+\nosectionnonumber{\inserttitle}
+
+\iffalse
+
+\begin{frame}
+
+ \shownosectionnonumber
+
+ \begin{itemize}
+ \item[\textbf{1}] \textbf{Einführung}
+ \hfill\makebox(0,0)[br]{\raisebox{2.25ex}{\url{https://gitlab.cvh-server.de/pgerwinski/ad}}}
+ \item[\textbf{2}] \textbf{\dots}
+ \end{itemize}
+
+ \begin{picture}(0,0)(-2,-0.5)
+ \put(0.5,-1.0){\mbox{\Large$\mathcal{O}(n\log n)$}}
+ \put(0.6,-2.7){\mbox{\large\bf B-Baum}}
+ \put(-1.3,-3.4){\mbox{\small\it verkettete Liste}}
+ \put(1.5,-4.0){\mbox{\large Datenbanken}}
+ \put(-1.0,-1.9){\mbox{\large\tt struct}}
+ \put(3.0,-2.0){\mbox{\large Wegfindung}}
+ \put(4.0,-3.0){\mbox{Verschlüsseln}}
+ \put(5.7,-4.2){\mbox{\it Datenkompression}}
+ \put(6.0,-1.5){\mbox{CORDIC}}
+ \put(8.5,-2.0){\mbox{\small\bf FFT}}
+ \put(7.5,-2.9){\mbox{\small\tt pointer}}
+ \put(3.5,-0.5){\mbox{\it Rasterung}}
+ \put(7.7,-0.7){\mbox{\tt array}}
+ \put(-0.5,-5.0){\mbox{digitale Signatur}}
+ \put(3.5,-5.2){\mbox{\large Hash-Tabelle}}
+ \put(0.0,-6.3){\mbox{\small\bf kryptographische Hash-Funktion}}
+ \put(6.5,-6.0){\mbox{\it Prüfsumme}}
+% \pause
+% \put(4.0,-2.7){\begin{rotate}{18}
+% \makebox(0,0){\LARGE\color{red}\shortstack{%
+% Online-Werkzeuge für Home Office, Lehre\\
+% und Kommunikation mit Unterdrückten}}
+% \end{rotate}}
+ \end{picture}
+
+\end{frame}
+
+\fi
+
+\begin{frame}
+
+ \shownosectionnonumber
+
+ \begin{itemize}
+ \item[\textbf{1}] \textbf{Einführung}
+ \underconstruction
+ \hfill\makebox(0,0)[br]{\raisebox{2.25ex}{\url{https://gitlab.cvh-server.de/pgerwinski/ad}}}
+% \item[\textbf{\color{red}i}] {\color{red}Online-Werkzeuge für Home Office, Lehre\\
+% und Kommunikation mit Unterdrückten}
+ \item[\textbf{2}] \textbf{Arrays und Zeiger für Fortgeschrittene}
+ \item[\textbf{3}] \textbf{Langzahl-Arithmetik}
+ \item[\textbf{4}] \textbf{Kryptographie}
+ \item[\textbf{5}] \textbf{C++}
+ \item[\textbf{6}] \textbf{Datenorganisation}
+ \vspace{-\smallskipamount}
+ \item[\textbf{\dots}]
+ \end{itemize}
+
+\end{frame}
+
+\setcounter{section}{1}
+\section{Arrays und Zeiger für Fortgeschrittene}
+
+\begin{frame}[fragile]
+ \showsection
+
+ \begin{minipage}[t]{6cm}
+ Array:
+ \smallskip
+ \begin{lstlisting}[gobble=6]
+ char a[] = "Test";
+ \end{lstlisting}
+ \end{minipage}\hfill
+ \begin{minipage}[t]{6cm}
+ Zeiger:
+ \smallskip
+ \begin{lstlisting}[gobble=6]
+ char *p = "Test";
+ \end{lstlisting}
+ \end{minipage}
+
+ \bigskip
+
+ \begin{itemize}
+ \item
+ In beiden Fällen wird ein Array von ganzen Zahlen\\
+ (5 \lstinline{char}-Variable mit den Werten 84, 101, 115, 116 und 0)\\
+ im Speicher angelegt.
+ \medskip
+ \item
+ Links heißt das Array \lstinline{a};
+ rechts ist es "`anonym"'.
+ \item
+ Rechts wird zusätzlich ein Zeiger \lstinline{p} im Speicher angelegt,\\
+ der auf das (anonyme) Array zeigt.
+ \medskip
+ \item
+ \lstinline{&a} ist dasselbe wie \lstinline{a},
+ nämlich die Adresse des Arrays.
+ \item
+ \lstinline{&p} ist die Adresse des Zeigers.
+ \item
+ \lstinline{p} ist der Wert des Zeigers,\\
+ momentan also die Adresse des (anonymen) Arrays.
+ \end{itemize}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[fragile]
+ \showsection
+
+ \begin{minipage}[t]{6cm}
+ Array:
+ \smallskip
+ \begin{lstlisting}[gobble=6]
+ char a[] = "Test";
+ \end{lstlisting}
+ \end{minipage}\hfill
+ \begin{minipage}[t]{6cm}
+ Zeiger:
+ \smallskip
+ \begin{lstlisting}[gobble=6]
+ char *p = "Test";
+ \end{lstlisting}
+ \end{minipage}
+
+ \bigskip
+
+ \begin{itemize}
+ \item
+ In beiden Fällen wird ein Array von ganzen Zahlen\\
+ (5 \lstinline{char}-Variable mit den Werten 84, 101, 115, 116 und 0)\\
+ im Speicher angelegt.
+ \medskip
+ \item
+ Links heißt das Array \lstinline{a};
+ rechts ist es "`anonym"'.
+ \item
+ Rechts wird zusätzlich ein Zeiger \lstinline{p} im Speicher angelegt,\\
+ der auf das (anonyme) Array zeigt.
+ \medskip
+ \item
+ \lstinline{&a} ist {\color{red}fast} dasselbe wie \lstinline{a},\\
+ nämlich die Adresse des Arrays {\color{red}bzw.\ das Array selbst,\\
+ das zuweisungskompatibel zu einem Zeiger auf Elemente des Arrays ist.\\
+ \lstinline{&} bewirkt hier eine (nicht explizite!) Typumwandlung.}
+ \item
+ \lstinline{&p} ist die Adresse des Zeigers.
+ \item
+ \lstinline{p} ist der Wert des Zeigers,\\
+ momentan also die Adresse des (anonymen) Arrays.
+ \end{itemize}
+
+ \vspace*{-1cm}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[fragile]
+ \showsection
+
+ \begin{minipage}[t]{7cm}
+ Array:
+ \smallskip
+ \begin{lstlisting}[gobble=6]
+ char *a[] = { "Dies", "ist", "ein", "Test" };
+ \end{lstlisting}
+ \end{minipage}\hfill
+ \begin{minipage}[t]{5cm}
+ Zeiger:
+ \smallskip
+ \begin{lstlisting}[gobble=6]
+ char **p = a;
+ \end{lstlisting}
+ \end{minipage}
+
+ \bigskip
+
+ \begin{itemize}
+ \item
+ Array von Zeigern auf \lstinline{char}-Variable
+ \item
+ Zeiger auf das Array = Zeiger auf Zeiger auf \lstinline{char}-Variable
+ \item
+ Schleife durch äußeres Array mit \lstinline{p++} möglich
+ \end{itemize}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[fragile]
+ \showsection
+
+ \begin{minipage}[t]{7cm}
+ Array:
+ \smallskip
+ \begin{lstlisting}[gobble=6]
+ char a[][5] = { "Dies", "ist", "ein", "Test" };
+ \end{lstlisting}
+ \end{minipage}\hfill
+ \begin{minipage}[t]{5cm}
+ Zeiger:
+ \smallskip
+ \begin{lstlisting}[gobble=6]
+ char *p = a[0];
+ \end{lstlisting}
+ \end{minipage}
+
+ \bigskip
+
+ \begin{itemize}
+ \item
+ zweidimensionales Array von \lstinline{char}-Variablen
+ \item
+ Zeiger auf Array-Komponente\\
+ = Zeiger auf eindimensionales Array\\
+ = Zeiger auf \lstinline{char}-Variable
+ \item
+ Schleife durch äußeres Array mit Zeiger-Arithmetik nicht möglich
+ \end{itemize}
+
+ \begin{picture}(0,0)
+ \color{red}
+ \thicklines
+ \put(8.6,0.63){\line(1,0){0.85}}
+ \put(9.05,0.4){\makebox(0,0)[t]{$\overbrace{\mbox{nur mit Trick:
+ \lstinline{p += 5}}}$}}
+ \end{picture}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[fragile]
+ \showsection
+
+ \begin{lstlisting}
+ typedef char string5[5];
+ string5 a[] = { "Dies", "ist", "ein", "Test" };
+ string5 *p = a;
+ \end{lstlisting}
+
+ \bigskip
+
+ \begin{itemize}
+ \item
+ Array von Array von \lstinline{char}-Variablen\\
+ = zweidimensionales Array von \lstinline{char}-Variablen
+ \item
+ Zeiger auf zweidimensionales Array
+ \item
+ Schleife durch äußeres Array mit \lstinline{p++} möglich
+ \bigskip
+ \arrowitem
+ Fazit:\\
+ Ein Hoch auf \lstinline{typedef}!
+ \arrowitem
+ Trotzdem: {\color{red}Vorsicht!}\\
+ Ein \lstinline{p++} auf einen Zeiger vom Typ \lstinline{string5 *p}\\
+ ergibt anscheinend undefiniertes Verhalten!
+ \end{itemize}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[fragile]
+ \showsection
+
+ \begin{lstlisting}
+ typedef char string5[5];
+ string5 *p = { "Dies", "ist", "ein", "Test" };
+ \end{lstlisting}
+
+ \bigskip
+
+ \begin{itemize}
+ \item
+ anonymes Array von Array von \lstinline{char}-Variablen\\
+ = anonymes zweidimensionales Array von \lstinline{char}-Variablen
+ \item
+ Zeiger auf zweidimensionales Array
+ \item
+ Schleife durch äußeres Array mit \lstinline{p++} möglich
+ \end{itemize}
+
+% \pause
+
+ \begin{picture}(0,0)(-2,-0.4)
+ \color{red}
+ \thicklines
+ \put(0,0){\line(2,1){4}}
+ \put(0,2){\line(2,-1){4}}
+ \end{picture}
+
+ Das Konstrukt \lstinline|{ "Dies", "ist", "ein", "Test" }|\\
+ steht für ein Array von 4 Zeigern auf \lstinline{char}-Variable.
+
+ \smallskip
+
+ \lstinline{string5 *p} hingegen erwartet einen Zeiger auf ein Array
+ von 5 \lstinline{char}-Variablen.
+
+ \smallskip
+
+ Es bekommt die Adresse von \lstinline{"Dies"} zugewiesen.
+
+ \smallskip
+
+ Durch das Erhöhen von \lstinline{p} (um 5) zeigt es danach
+ \emph{zufällig\/} auf das \lstinline{"ist"}.
+
+ Bei nochmaligem Erhöhen zeigt es auf das \lstinline{"in"} von \lstinline{"ein"}.
+
+ \smallskip
+
+ (Auch ohne Optimierung werden die Strings \lstinline{"ist"}, \lstinline{"ein"}
+ und \lstinline{"Test"}\\
+ u.\,U.\ wegoptimiert.)
+
+\end{frame}
+
+\iffalse
+
+\nosectionnonumber{\large\bf Übungsaufgabe: Verkettete Listen}
+
+\begin{frame}
+
+ \shownosectionnonumber
+
+ \begin{enumerate}[\quad(a)]
+ \item
+ Schreiben Sie eine Funktion, die eine verkettete Liste\\
+ in die umgekehrte Reihenfolge bringt.
+ \item
+ Schreiben Sie eine Funktion, die eine verkettete Liste\\
+ in eine doppelt verkettete Liste umwandelt.
+ \item
+ Wieviel Rechenzeit (Landau-Symbol) benötigen Ihre Funktionen?
+ \item
+ Wieviel Speicherplatz (Landau-Symbol) benötigen Ihre Funktionen?
+ \end{enumerate}
+
+\end{frame}
+
+\fi
+
+\section{Langzahl-Arithmetik}
+
+\begin{frame}
+
+ \showsection
+
+ Problem: Rechnen mit ganzen Zahlen, die größer sind als das,\\
+ was der Rechner normalerweise verarbeiten kann
+
+ \bigskip
+
+ {\large\textbf{Aufgabe: Addition langer Zahlen}\par}
+ \smallskip
+ \begin{itemize}
+ \item[(a)]
+ Überlegen Sie sich eine Datenstruktur, um eine lange Zahl zu speichern.
+ \item[(b)]
+ Schreiben Sie eine Funktion, die zwei lange Zahlen addiert.
+ \end{itemize}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+ \showsection
+
+ Problem: Rechnen mit ganzen Zahlen, die größer sind als das,\\
+ was der Rechner normalerweise verarbeiten kann
+
+ \medskip
+
+ \begin{itemize}
+ \item
+ Grundrechenarten (einschließlich "`modulo"'):\\
+ "`schriftlich"' rechnen
+ \item
+ \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Binäre_Exponentiation}%
+ {binäre Exponentiation}:\\
+ Basis fortlaufend quadrieren, ggf.\ damit multiplizieren\\
+ Beispiel: $x^9 = ((x^2)^2)^2 \cdot x$
+ \item
+ Suche nach $d$ mit $d\cdot e~\text{mod}~N = 1$:\\
+ \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Erweiterter_euklidischer_Algorithmus}%
+ {erweiterter euklidischer Algorithmus}
+ \smallskip
+ \arrowitem
+ RSA
+ \end{itemize}
+
+\end{frame}
+
+\section{Kryptographie}
+\subsectionnonumber{\boldmath 4.$(x^2 - 1)$\quad Der Herr der Ringe: Manchmal ist $1 + 1 = 0$.}
+\subsubsectionnonumber{\boldmath 4.$(x^2 - 1).x$\quad Motivation}
+
+\begin{frame}
+
+ \showsection
+ \pause
+ \showsubsectionnonumber
+ \pause
+ \showsubsubsectionnonumber
+
+ Man kann auch mit sehr merkwürdigen Objekten\\
+ wie mit "`ganz normalen"' Zahlen rechnen.
+
+ \pause
+ \bigskip
+
+ Anwendungen:
+ \begin{itemize}
+ \item Funktionsweise von Computern (\textarrow\ Rechnertechnik)
+ \item Fehlererkennung
+ \item Fehlerkorrektur
+ \item Verschlüsselung
+ \item Digitale Signaturen
+ \end{itemize}
+
+\end{frame}
+
+\subsubsectionnonumber{\boldmath 4.$(x^2 - 1).(x + 1)$\quad Gruppen}
+
+\begin{frame}
+
+ \showsection
+ \showsubsectionnonumber
+ \showsubsubsectionnonumber
+
+ \textbf{Definition:}
+ Sei $G$ eine Menge, $*$ eine Verknüpfung auf $G$.
+ Wenn
+ \begin{itemize}
+ \item
+ $\forall a, b, c \in G$: $(a * b) * c = a * (b * c)$ \quad (Assoziativgesetz),
+ \item
+ $\exists e \in G$: $\forall a \in G$: $a * e = e * a = a$ \quad (neutrales Element),
+ \item
+ $\forall a \in G$: $\exists a^{-1} \in G$: $a * a^{-1} = a^{-1} * a = e$ \quad (inverses Element),
+ \end{itemize}
+ dann heißt $(G,*)$ eine \newterm{Gruppe}.
+
+ \pause
+ \bigskip
+
+ \textbf{Definition:}
+ Sei $(G,*)$ eine Gruppe.
+ Wenn zusätzlich
+ \begin{itemize}
+ \item
+ $\forall a, b \in G$: $a * b = b * a$ \quad (Kommutativgesetz),
+ \end{itemize}
+ dann heißt $(G,*)$ eine \newterm{kommutative Gruppe}.
+
+\end{frame}
+
+\subsubsectionnonumber{\boldmath 4.$(x^2 - 1).(x + 2)$\quad Ringe}
+
+\begin{frame}
+
+% \showsection
+ \showsubsectionnonumber
+ \showsubsubsectionnonumber
+
+ \textbf{Definition:}
+ Sei $R$ eine Menge; seien $+$ und $\cdot$ Verknüpfungen auf $R$.
+ Wenn
+ \begin{itemize}
+ \item
+ $(R,+)$ eine kommutative Gruppe ist,
+ \item
+ $\forall a, b, c \in R$: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ \quad (Assoziativgesetz),
+ \item
+ $\forall a, b, c \in R$: $(a + b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c$
+ und $a\cdot(b + c) = a\cdot b + a\cdot c$ \quad (Distributivgesetze),
+ \end{itemize}
+ dann heißt $(R,+,\cdot)$ ein \newterm{Ring}.
+
+ \pause
+ \bigskip
+
+ \textbf{Definition:}
+ Sei $(R,+,\cdot)$ ein Ring.
+ Wenn zusätzlich
+ \begin{itemize}
+ \item
+ $\forall a, b \in R$: $a \cdot b = b \cdot a$ \quad (Kommutativgesetz),
+ \end{itemize}
+ dann heißt $(R,+,\cdot)$ ein \newterm{kommutativer Ring}.
+
+ \pause
+ \bigskip
+
+ \textbf{Definition:}
+ Sei $(R,+,\cdot)$ ein (kommutativer) Ring.
+ Wenn zusätzlich
+ \begin{itemize}
+ \item
+ ein $e \in R$ existiert, so daß für alle $a \in R$ gilt: $a \cdot e = e \cdot a = a$\\
+ (neutrales Element),
+ \end{itemize}
+ dann heißt $(R,+,\cdot)$ ein \newterm{(kommutativer) Ring mit 1}.
+
+ \vspace*{-1cm}
+
+\end{frame}
+
+\subsubsectionnonumber{\boldmath 4.$(x^2 - 1).(x + 3)$\quad Körper}
+
+\begin{frame}
+
+% \showsection
+ \showsubsectionnonumber
+ \showsubsubsectionnonumber
+
+ \textbf{Definition:}
+ Sei $K$ eine Menge; seien $+$ und $\cdot$ Verknüpfungen auf $K$.
+ Wenn
+ \begin{itemize}
+ \item
+ $(K,+,\cdot)$ ein Ring mit 1 ist und
+ \item
+ $(K \backslash \{0\},\cdot)$ eine kommutative Gruppe ist,
+ \end{itemize}
+ dann heißt $(K,+,\cdot)$ ein \newterm{Körper}.
+
+\end{frame}
+
+\end{document}
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