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1_Einleitung.tex 18.45 KiB
\section{Einleitung%
\label{sec:Einleitung}}
\textbf{Diskretisierung.} Diskrete Systeme werden im Rahmen der digitalen Signalverarbeitung und der Regelungstechnik entworfen, in letzterer zumeist mit Bezug zu kontinuierlichen, physikalischen Modellen. Zwei wesentliche Motive können hier vorliegen, um kontinuierliche Systeme zu diskretisieren, also sie durch ein mit fester Abtastzeit arbeitendes, diskretes System zu approximieren.
\begin{enumerate}
\item Hat man mit klassischen Methoden einen kontinuierlichen Regler entworfen, z. B. anhand eines Streckenmodells, dann erfordert die Realisierung auf einem Rechner (einer echtzeitfähigen Hardware beliebiger Art) eine diskrete Approximation, also ein unter Beachtung der Abtastzeit \textbf{den kontinuierlichen Regler} \textit{möglichst gut} nachbildendes diskretes Modell. Dies ist immer erforderlich, wenn nicht Bibliotheken für die automatisierte Übersetzung kontinuierlicher Parameter, z. B. für PID-Regler, oder andere Software zur Verfügung steht, welche eine numerische Lösung bieten (wie z. B. MATLAB-Coder\texttrademark).
\item Eine etwas andere Vorgehensweise des Reglerentwurfs besteht darin, den diskreten Regler direkt anhand eines diskreten Streckenmodells zu entwerfen. Dafür ist jetzt also die \textbf{Strecke bzw. das kontinuierliche Streckenmodell} zu diskretisieren. Anschließend steht eine eigene Welt von Methoden für den diskreten Reglerentwurf zur Verfügung, welche oft Ähnlichkeiten mit klassischen kontinuierlichen Methoden aufweisen, aber letztlich eigenständige Methoden darstellen.
\end{enumerate}
Der Verdacht liegt nahe, dass man in beiden Fällen anstrebt, das kontinuierliche System \textit{möglichst gut} zu approximieren. Allerdings gilt für den zweiten Fall der Streckendiskretisierung, dass man aus Sicht des zu entwerfenden Reglers tatsächlich das Verhalten des kontinuierlichen Modells in Reihe geschaltet mit einem Halteglied erster Ordnung (ZOH, Zero-Order-Hold) nachbilden will. Das resultierende System heißt Abtastsystem, worauf in Kapitel \ref{sec:Regelung} eingegangen wird. Man erhält es durch ZOH-Diskretisierung (Kap. \ref{sec:ZOH-Diskretisierung}) der kontinuierlichen Strecke. Das so erzeugte diskrete System liefert Werte am Ausgang, welche exakt auf der kontinuierlichen Antwort des Streckenmodells liegen, wenn dieses durch ein Halteglied erster Ordnung (ZOH) erzeugte, mit der Periode der Abtastzeit stufenförmige Eingangssignale erhält. Diese Forderung der Exaktheit aus Perspektive des Regler unterscheidet sich fundamental von der Aufgabe, den Regler möglichst gut zu approximieren. Dazu werden in der Praxis die Tustin-Diskretisierung (Kap. \ref{sec:Tustin-Approximation}) oder Matched-Filter-Diskretisierung (Kap. \ref{sec:FOH-Diskretisierung}) verwendet,
%oder FOH-Diskretisierung (Kap. \ref{sec:FOH-Diskretisierung}) verwendet
welche auf "`schnellere"' diskrete Systeme führen, was auch für FOH-Diskretisierung (Kap. \ref{sec:FOH-Diskretisierung}) gelten müsste.
In der digitalen Signalverarbeitung approximiert man anlaloge Filter u. a. aus den selben Motiven wie in der Regelungstechnik. Die klassischen Entwurfsverfahren im Kontinuierlichen können so eingesetzt werden, bevor zum Schluss die Transformation erfolgt. Andererseits wurden in beiden Disziplinen Methoden für den direkten Systementwurf diskreter Systeme aus dafür formulierten Anforderungen entwickelt. Die Approximation kontinuierlicher Systeme zielt typischerweise je nach Anwendung auf unterschiedliche Eigenschaften, wie den Frequenzgang oder die Impulsantwort bei der Impuls-Diskretisierung ab (Kap. \ref{sec:Impulse-Diskretisierung}). Auch der Matched-Filter Ansatz, bei welchem Pole und Nullstellen des diskreten Systems gezielt gesetzt werden, spielt in der digitalen Signalverarbeitung eine größere Rolle.
Weitere Motive zur Ermittlung diskreter Systeme können in der Analyse, Simulation, oder modellbasierten Diagnose technischer Systeme liege. Die Ermittlung eines Modells aus Messungen an einem realen System wird als Identifikation bezeichnet. So kann z. B. näherungsweise eine Impulsantwort gemessen werden oder der Eingang als stückweise konstant (ZOH-Modell) oder als lineare interpolierende Rampe (FOH-Modell) interpretiert werden. Ein diskretes Modell aus den Messwerten zu ermitteln, ist oft der einfachere Weg, so dass bei Bedarf in einem zweiten Schritt in ein kontinuierliches Modell transformiert werden kann.
Besonders einfach sind die Ansätze der Euler-Diskretisierung \ref{sec:Euler-Diskretisierung} welche schnell auch auf nicht-lineare Modelle angewendet werden können. Nach Rekapitulation einiger wichtige Begriffe der Systemtheorie im Grundlagenkapitel \ref{sec:Grundlagen} sollen in Kapitel \ref{sec:Diskretisierungsmethoden} alle genannten Ansätze auch aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden, um einen systematischen Überblick zu ermöglichen.
\begin{landscape}
\begin{table}[H]
\caption{Diskretisierungsansätz und deren Eigenschaften%
\label{table:massen}}
%\medskip
\begin{center}
\begin{tabular}{l|c|c|c|c|c|c|r}
Verfahren & $s\mapsto z$ ? & $s$-Mapping &Integrator & Zeitfunktion & Pol-Mapping & Nullstellen &$K_s = G_d(1)$\\
\hline
Forward-Euler & Ja & $s\equiv (z-1)/T$ &$\displaystyle T\frac{1}{z-1}$ & - &$z_i =s_iT + 1$ &$z_{i0} =s_{i0}T + 1$& $=G_k(0)$\\
\hline
Backward-Euler & Ja & $s\equiv \frac{z-1}{zT}$ &$\displaystyle \frac{Tz}{z-1}$ & - &$z_i = \frac{1}{1-s_iT}$ & \begin{tabular}{@{}c@{}}$z_{i0}\ = \frac{1}{1-s_{i0}T} ~\&~ (m-n)$\\Nullstellen bei $z_{i0}=0$\end{tabular}
%$z_i = \frac{1}{1-s_iT} +(m-n)$ Nullstellen bei $z_{i0}=0$
& $=G_k(0)$ \\
\hline
Tustin & Ja & $s\equiv \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}$ & $\displaystyle\frac{T}{2} \frac{z+1}{z-1}$ & -& $z_{i} = \frac{2/T+s_{i}}{2/T-s_{i}}$ &
\begin{tabular}{@{}c@{}}$z_{i0} = \frac{2/T+s_{i0}}{2/T-s_{i0}} ~\&~ (n-q)$\\Nullstellen bei $z_{i0}=-1$\end{tabular}
& $=G_k(0)$\\
\hline
Impuls & Nein & - &$\displaystyle \frac{z}{z-1}$ &g(kT)=g(t)&$z_i=e^{s_i T}$ & &$\displaystyle \lim_{T->0}G_d(1)=G_k(0)$\\
\hline
ZOH & Nein &- & $\displaystyle \frac{Tz}{z-1}$ & h(kT)=h(t)&$z_i=e^{s_i T}$& &$=G_k(0)$\\
\hline
FOH & Nein &- & $\displaystyle \frac{T}{2} \frac{z+1}{z-1}$ &Rampe $r(kT)=r(t)$ &$z_i=e^{s_i T}$& &$=G_k(0)$\\
\hline
Mathched Filter & Nein & -&-&- &$z_i=e^{s_i T}$& $z_{i0}=e^{s_{i0} T}$ & setze $=G_k(0)$\\
%Holzplatte & 14 \\
%Drehzahlsensoren & 5 \\
\hline
%Gesamtmasse & 226 \\
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
%
%\begin{table}[H]
%\caption{Diskretisierungsansätz und deren Eigenschaften%
%\label{table:massen}}
%%%\medskip
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{2cm}{X|X|X|X|X|X|X|c}
%Verfahren & $s\mapsto z$ ? & $s$-Mapping &Integrator & Zeitfunktion & Pol-Mapping & Nullstellen &$K_s$\\
%\hline
%Forward-Euler & Ja & $s\equiv (z-1)/T$ &$T\frac{1}{z-1}$ & - &$z_i =s_iT + 1$ &$z_{i0} =s_{i0}T + 1$& $=G_k(0)$\\
%Backward-Euler & Ja & $s\equiv \frac{z-1}{zT}$ &$\frac{Tz}{z-1}$ & - &$z_i = \frac{1}{1-s_iT}$ &$z_i = \frac{1}{1-s_iT} +(m-n)$ %Gesamtmasse & 226 \\
%\end{tabularx}
%\end{center}
%\end{table}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{landscape}
%% Quertabelle Ende
Die Ansätze können, für die hier behandelten lineare Systeme, sowohl im Zeit- als auch im Frequenzbereich betrachtet werden. Generell ist von Interesse, wie letztlich jede Methode die Integration im diskreten numerisch umsetzt. Nur einige Methoden lassen sich durch Ersetzen aller Integratoren durch diskrete Akkumulatoren umsetzten. Damit ist gemeint, dass in der jeweiligen kontinuierlichen Darstellung der Differenzialgleichung jder Integrator durch den Akkumulator ersetzt wird. Ob ein stabiles kontinuierliches System in ein stabiles diskretes transformiert wird, hängt von der Abbildung der Polstellen ab. Das diskrete System hat immer die selbe Anzahl an Polstellen. Für dynamische Eigenschaften sind aber auch die Nullstellen relevant. Diese können abgebildet werden oder neu bei der Diskretisierung entstehen. Wichtige Eigenschaften werden in Tabelle \ref{table:massen} aufgeführt. Ihre Bedeutung soll in den einzelnen Kapitel näher erläutert werden. Neben der Übertragungsfunktion (als Transformationspaar mit der z-Übertragungsfunktion) sollen auch Zustandsraummodelle betrachtet werden.
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{bilder/Sprungantwort_Vergleich}
\caption{Sprungantworten eines Systems 2. Ordnung und daraus abgeleiteter diskreter Systeme %\citep{yawpitchroll2013}%
\label{fig:Sprungantwort}}
\end{center}
\end{figure}
Für lineare System sind entsprechende Algorithmen für beide Beschreibungsformen in MATLAB\texttrademark (R2021a) größtenteils implementiert.
Damit lassen sich Systeme erzeugen, Darstellungen ineinander überführen und diskrete Systeme ableiten, wie das folgende Skript zeigt:
\href{https://gitlab.cvh-server.de/jfalkenhain/diskretisierung-linearer-systeme/-/blob/master/Matlab/Diskretisierung_mit_MATLAB.m}{File on Git: Diskretisierung\_mit\_MATLAB.m}
Hier wird ein System zweiter Ordnung (ohne Durchgriff, mit komplexen Eigenwerten) diskretisiert nach den Methoden ZOH (Zero-Order Hold), FOH (First-Order Hold), Impulse und Tustin. Bild \ref{fig:Sprungantwort} vergleicht die Sprungantworten der diskreten Systeme mit der des Originalsystems.
Der Verlauf für das ZOH-approximierte System liegt zu den Zeitpunkten $kT$ exakt auf der kontinuierlichen Sprungantwort, da dieses Verfahren gerade so konzipert ist. Tustin- und FOH-approximiertes System liefern eine ähnliche Sprungantwort, ohne exakt die kontinuierliche Kurve zu treffen. Da sie die gleiche statische Verstärkung (hier $k_{DC}=1$) wie das Originalsystem haben, verschwinden die Abweichungen nach Abklingen des Übergang. Dass dies für die Impulse-approximierte Sprungantwort nicht gilt, kann zu dem Schluss führen, dass Impulse-Approximation wenig geeignet ist, das kontinuierliche System zu approximieren.
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{bilder/Impulsantwort_Vergleich}
\caption{Impulsantwort des Systems 2. Ordnung und daraus abgeleiteter diskreter Systeme %\citep{yawpitchroll2013}%
\label{fig:Impulseantwort}}
\end{center}
\end{figure}
Aus einer anderen Perspektive wird aber lediglich ein anderer Aspekt, nämlich die Impulsantwort exakt nachgebildet, bzw. bei einer Identifikation aus Messdaten "`möglichst gut"' approximiert. Ein Vergleich der diskreten mit der kontinuierliche Impulsantwort zeigt Bild \ref{fig:Impulseantwort}.
\textbf{Digitale Regelung.} Für die digitale Regelung ist zunächst ein Verständnis der Bedeutung der Abtastzeit fundamental. Klar ist, dass eine konstante Abtastzeit $T$ kleiner als die dominanten Zeitkonstanten des zu regelnden Prozesses sein muss. Der Regler muss schneller sein als der Prozess. Zur Realisierung benötigt man eine echtzeitfähige Hardware, welche sicherstellt, dass $T$ bis auf tolerierbare Schwankungen (Jitter) eingehalten wird. Eine zu langsame Hardware ist prinzipiell nicht einsetztbar, während die Echtzeitfähigkeit auch fordert, dass der Regel-Algorithmus nicht in zu kurzen Abständen aufgerufen wird.
Echtzeitfähiger Hardware kann z. B. durch einen priorisierten Interrupt realisiert werden, welcher mittels eines Timers (Uhr) mit der Periode $T$ durchgeführt wird, um den Regel-Algorithmus auszuführen. Der Algorithmus muss natürlich in der Zeit $T$ ausführbar sein, was bei den hier ermittelten diskreten Filtern mit konstanter Anzahl von Operationen leicht sichergestellt werden kann. Aufwendige Algorithmen wie numerische Optimierungen in der Modellprädiktiven Regelung erfordern eine genauere Betrachtung.
%\begin{landscape}
%
%
%\begin{table}[H]
%\caption{Diskretisierungsansätz und deren Eigenschaften%
%\label{table:massen}}
%\medskip
%\begin{center}
%\begin{tabular}{l|c|c|c|c|c}
%Verfahren & $s\mapsto z$ ? & Differenziator&Integrator& Zeitfunktion& Pol-Trafo\\
%\hline
%Forward-Euler & Ja & $(z-1)/T$&$T\frac{1}{z-1}$ & &$z_i =s_iT + 1$\\
%Backward-Euler & Ja & $\frac{z-1}{zT}$&$\frac{Tz}{z-1}$ & &$z_i = \frac{1}{1-s_iT}$\\
%ZOH & Nein & & & h(kT)=h(t)&$z_i=e^{s_i T}$ \\
%FOH & Nein &- & & &$z_i=e^{s_i T}$\\
%Impuls & Nein &&$\frac{z}{z-1}$ &g(kT)=g(t)&$z_i=e^{s_i T}$\\
%Tustin & Ja && $\frac{T}{2} \frac{z+1}{z-1}$ & -&\\
%Mathched Filter & Nein & -&-& &$z_i=e^{s_i T}$ \\
%%Holzplatte & 14 \\
%%Drehzahlsensoren & 5 \\
%\hline
%%Gesamtmasse & 226 \\
%\end{tabular}
%\end{center}
%\end{table}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\end{landscape}
%%% Quertabelle Ende
%\input{prefix}
%\begin{tikzpicture}[auto, node distance=2cm]
%
% \draw [dashed] (.5,-1.6) rectangle (3.5,0.5);
%
%\end{tikzpicture}
%
%\tikzstyle{int}=[draw, fill=white!20, minimum size=3em]
%%\tikzstyle{init} = [pin edge={to-,thin,black}]
%
%\begin{tikzpicture}[node distance=2.5cm,auto,>=latex', scale=3]
% \node [int] (a) {$\int$}; %\node [int, pin={[init]above:$v_0$}] (a) {$\int$};
% \node (b) [left of=a,node distance=2cm, coordinate] {a};
% \node (c) [right of=a] {$$}; %\node [int, pin={[init]above:$p_0$}] (c) [right of=a] {$\int$};
% \node (d) [right of=c] {};
% \node (e) [right of=d] {$y(t)=\int u(t)dt;~~G_I(s)=\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{1}{s}$};
%
%
% \node [coordinate] (end) [right of=c, node distance=2cm]{};
% \path[->] (b) edge node {$u(t)$} (a);
% \path[->] (a) edge node {$y(t)$} (c);
% %\draw[->] (c) edge node {$p$} (end) ;
%\end{tikzpicture}
%Wir labern
%\begin{figure}[H]
%\begin{tikzpicture}[node distance=2.5cm,auto,>=latex']
%\draw (0,0) -- (1.5, 0); \draw (0,0) -- ( 0,1.5);
%% \node [int] (a) {$\int$}; %\node [int, pin={[init]above:$v_0$}] (a) {$\int$};
%% \node (b) [left of=a,node distance=2cm, coordinate] {a};
%% \node (c) [right of=a] {$$}; %\node [int, pin={[init]above:$p_0$}] (c) [right of=a] {$\int$};
%% \node (d) [right of=c] {};
%% \node (e) [right of=d] {$y(t)=\int u(t)dt;~~G_I(s)=\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{1}{s}$};
%%
%%
%% \node [coordinate] (end) [right of=c, node distance=2cm]{};
%% \path[->] (b) edge node {$u(t)$} (a);
%% \path[->] (a) edge node {$y(t)$} (c);
%% %\draw[->] (c) edge node {$p$} (end) ;
%\end{tikzpicture}
%\end{figure}
%was
%\begin{filecontents}{data.dat}
% n xn
%-2 0
%-1 0
% 0 1.0
% 1 1.0
% 2 1.0
% 3 1.0
% 4 1.0
%\end{filecontents}
%\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
%\begin{axis}
%[%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% %axis x line=middle,
% %axis y line=middle,
% %every axis x label={at={(current axis.right of origin)},anchor=north west},
% %every axis y label={at={(current axis.above origin)},anchor= north west},
% %every axis plot post/.style={mark options={fill=black}},
% xlabel={$k$},
% ylabel={$\sigma(k)$},
% xtick={-7, -6,-5,-4,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4},
% ymin=0,
% ymax=1.5,% xmin=-2,
% xmax=4.5,
%]%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\addplot+[ycomb,black,thick] table [x={n}, y={xn}] {data.dat};
%\end{axis}
%\end{tikzpicture}
%
%
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Original Signal
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%\begin{filecontents}{data.dat}
% n xn
%-5 0.0
%-4 0.0
%-3 3.0
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%-1 1.0
% 0 0.0
% 1 1.0
% 2 2.0
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% 4 0.0
% 5 0.0
%\end{filecontents}
%\begin{tikzpicture}
%\begin{axis}
%[%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% axis x line=middle,
% axis y line=middle,
% every axis x label={at={(current axis.right of origin)},anchor=north west},
% every axis y label={at={(current axis.above origin)},anchor= north west},
% every axis plot post/.style={mark options={fill=black}},
% xlabel={$n$},
% ylabel={$\boldsymbol{x[n]}$},
% xtick={-7, -6,-5,-4,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},
% ymin=0,
% ymax=5.5,
%]%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\addplot+[ycomb,black,thick] table [x={n}, y={xn}] {data.dat};
%\end{axis}
%\end{tikzpicture}
%
%
%\clearpage
%\begin{tikzpicture}[domain=0:4]
%%\draw[very thin,color=gray] (-0.1,-1.1) grid (6,1.0);
%\draw[-] (-0.1, 1) node[left] {1} -- (0.1,1);
%%\draw[-] (-0.1, -1) node[left] {-1} -- (0.1,-1);
%
%\draw[-] (-2, -0.1) node[below] {-2} -- (-2,0.1);
%\draw[-] (-1, -0.1) node[below] {-1} -- (-1,0.1);
%\draw[-] (1, -0.1) node[below ] {1} -- (1,0.1);
%\draw[-] (2, -0.1) node[below] {2} -- (2,0.1);
%\draw[-] (3, -0.1) node[below] {3} -- (3,0.1);
%
%
%
%\draw[->] (-2,0) -- (3.5,0) node[below] {$t$}; \draw[->] (0,-1.2) -- (0,1.2) node[above] {%$f_1 :
%Sprungfunktion
%};
% \draw[color=blue, domain=0:3, samples=50] plot (\x,{1}) %node[right] {$f(x) = \sin (2\pi x)$} ;
%
%\end{tikzpicture}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{tikzpicture}
%%%\draw[very thin,color=gray] (-0.1,-1.1) grid (6,1.0);
%%\draw[-] (-0.1, 1) node[left] {1} -- (0.1,1);
%%%\draw[-] (-0.1, -1) node[left] {-1} -- (0.1,-1);
%%
%%\draw[-] (-2, -0.1) node[below] {-2} -- (-2,0.1);
%%\draw[-] (-1, -0.1) node[below] {-1} -- (-1,0.1);
%%\draw[-] (1, -0.1) node[below ] {1} -- (1,0.1);
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%%\draw[-] (3, -0.1) node[below] {3} -- (3,0.1);
%
%
%
%
%\draw[->] (0,0) -- (5,0) node[below] {$Re$}; \draw[->] (2.5,-2.5) -- (2.5,2.5) node[above] {s-Ebene}; \draw[->] (2.5,-2.5) -- (2.5,2.5) node[right] {$Im$};
%\draw[->] (6,0) -- (11,0) node[below] {$Re$}; \draw[->] (8.5,-2.5) -- (8.5,2.5) node[above] {z-Ebene}; \draw[->] (8.5,-2.5) -- (8.5,2.5) node[right] {$Im$};
%%\draw[fill=red!20] (-2.5,0)--(2.5,5);
%\fill [fill=red!20, fill opacity=0.2] (0,-2.5) rectangle (2.5,2.5);
%\fill [fill=red!20, fill opacity=0.2] (8.5,0) circle[radius=1];
%\draw (9.5,-0.1) -- (9.5,0.1) node[below]{1};
%[draw, fill=white!20, minimum size=3em]
%% \draw[color=blue, domain=0:3, samples=50] plot (\x,{1}) %node[right] {$f(x) = \sin (2\pi x)$} ;
%
%\end{tikzpicture}