7_Tustin-Diskretisierung.tex

\section{Tustin-Approximation / Trapez-Regel
         \label{sec:Tustin-Approximation}}

Die Tustin-Approximation kann mit der Integration nach der Trapez-Regel identifiziert werden. Betrachtet man die bisherigen Integrationsansätze, drängt sich ein verbesserter Ansatz für die Flächenberechnung zwischen zwei Zeitpunkten mit Hilfe der Trapez-Regel auf. Darüber wird aus dem Wert $I(k)$ rekursiv der nächste Wert wie folgt berechnet:
\begin{align*}
I(k+1)=T \frac{x(k+1)+x(k)}{2} + I(k)
\end{align*}
Gehen wir auf die E/A-Namensgebung zurück, also für den Integrator 
\begin{align*}
Y(k+1)=T \frac{U(k+1)+U(k)}{2} + Y(k)~~\text{und}
\end{align*}
\begin{align*}
zY(z)&=Y(z)+ \frac{T}{2} (zU(z)+U(z))\\
\frac{Y(z)}{U(z)}= \frac{T}{2}   \frac{z+1}{z-1} 
\end{align*}
als Übertragungsfunktion, woraus die Entsprechung 
\begin{align*}
s= \frac{2}{T}   \frac{z-1}{z+1}~~~\text{bzw.}~~~z= \frac{s+2/T}{2/T-s} 
\end{align*}



%\begin{eqnarray}
%  P_\text{Welle}         &=& 2  \pi  M  n \label{eq:drehmoment-1} \\
%  \Leftrightarrow\quad M &=& \frac{P_\text{Welle}}{ 2  \pi  n} \label{eq:drehmoment-2}
%\end{eqnarray}

%\subsection{Compilieren%
%            \label{sec:Compilieren}}
%
%\begin{figure}[H]
%  \begin{center}
%    \includegraphics[width=0.3\textwidth]{bilder/roll_pitch_yaw}
%      % Einbinden einer Pixelgrafik.
%      % Die Endung „.png“ darf weggelassen werden.
%    \caption{Ein Beispielbild mit Quellenangabe \citep{yawpitchroll2013}%
%             \label{fig:roll_pitch_yaw}}
%  \end{center}
%\end{figure}
%
%\begin{minipage}[b]{7cm}
%  \centering
%    \includegraphics[width=7cm]{bilder/quadrocopter}
%    \captionof{figure}{Quadrocopter \newline
%                         % kein \\ innerhalb von \caption oder \captionof
%                         % \newline
%                       \citep{bild_quad}%
%	               \label{fig:quadrocopter}}
%\end{minipage}\hfill
%\begin{minipage}[b]{7cm}
%  \centering
%  \includegraphics[width=7cm]{bilder/ka32S}
%  \captionof{figure}{Koaxialhelicopter \newline
%                     \citep[S. 101]{hubschrauber1997}%
%                     \label{fig:ka32S}}
%\end{minipage}
	

%\begin{table}[H]
%  \caption{Masse des anzuhebenden Trägers%
%           \label{table:massen}}
%  \medskip
%  \begin{center}
%    \begin{tabular}{l|r}
%      %
%      % Die Leerzeichen im Quelltext haben keinen Einfluß auf die
%      % Anordnung innerhalb der Tabelle. Diese wird durch die o.a.
%      % Angabe „{l|r}“ gesteuert: linksbündiges Feld, senkrechter
%      % Strich, rechtsbündiges Feld.
%      %
%      Bauteil                  & Masse[g] \\
%      \hline
%      Trägerrohr               &       35 \\
%      Linearlager              &        7 \\
%      Lagerblock Linearlager   &        5 \\
%      Kabel und Schrauben      &       20 \\
%      Motoren                  &       50 \\
%      Propeller                &       10 \\
%      Propeller Eingriffschutz &       80 \\
%      Holzplatte               &       14 \\
%      Drehzahlsensoren         &        5 \\
%      \hline
%      Gesamtmasse              &      226 \\
%      % @@@ PG: Stimmt nicht: Die Summe der Zahlen ist 194!
%    \end{tabular}
%  \end{center}
%\end{table}
%
   
%\glqq{}{Boris ermöglicht die blockorientierte Simulation
 %        dynamischer Systeme nahezu beliebiger Art}\grqq{}
 %        \citep[S. 25]{boris2009}.