Vorbereitung 18.4.2024

20240418/Zeichen_123.pdf

+../common/Zeichen_123.pdf
\ No newline at end of file

20240418/ad-20240418.tex

+% ad-20240418.pdf - Lecture Slides on Algorithms and Data Structures in C/C++
+% Copyright (C) 2018, 2019, 2020, 2021, 2022, 2023, 2024  Peter Gerwinski
+%
+% This document is free software: you can redistribute it and/or
+% modify it either under the terms of the Creative Commons
+% Attribution-ShareAlike 3.0 License, or under the terms of the
+% GNU General Public License as published by the Free Software
+% Foundation, either version 3 of the License, or (at your option)
+% any later version.
+%
+% This document is distributed in the hope that it will be useful,
+% but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
+% MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
+% GNU General Public License for more details.
+%
+% You should have received a copy of the GNU General Public License
+% along with this document.  If not, see <http://www.gnu.org/licenses/>.
+%
+% You should have received a copy of the Creative Commons
+% Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License along with this
+% document.  If not, see <http://creativecommons.org/licenses/>.
+
+% README: Mathematische Grundlagen der Kryptographie
+
+\documentclass[10pt,t]{beamer}
+
+\usepackage{pgslides}
+\usepackage{tikz}
+%\usepackage{rotating}
+
+\newcommand{\underconstruction}{%
+  \begin{picture}(0,0)
+    \color{black}
+    \put(6,-2.2){\makebox(0,0)[b]{\includegraphics[width=1.5cm]{Zeichen_123.pdf}}}
+    \put(6,-2.5){\makebox(0,0)[t]{\shortstack{Änderungen\\vorbehalten}}}
+  \end{picture}}
+
+\title{Algorithmen und Datenstrukturen in C/C++}
+\author{Prof.\ Dr.\ rer.\ nat.\ Peter Gerwinski}
+\date{18.\ April 2024}
+
+\begin{document}
+
+\maketitleframe
+
+\nosectionnonumber{\inserttitle}
+
+\begin{frame}
+
+  \shownosectionnonumber
+
+  \begin{itemize}
+    \item[\textbf{1}] \textbf{Einführung}
+      \underconstruction
+      \hfill\makebox(0,0)[br]{\raisebox{2.25ex}{\url{https://gitlab.cvh-server.de/pgerwinski/ad}}}
+%    \item[\textbf{\color{red}i}] {\color{red}Online-Werkzeuge für Home Office, Lehre\\
+%                                             und Kommunikation mit Unterdrückten}
+    \item[\textbf{2}] \textbf{Arrays und Zeiger für Fortgeschrittene}
+    \item[\textbf{3}] \textbf{Langzahl-Arithmetik}
+    \item[\textbf{4}] \textbf{Kryptographie}
+    \item[\textbf{5}] \textbf{C++}
+    \item[\textbf{6}] \textbf{Datenorganisation}
+    \vspace{-\smallskipamount}
+    \item[\textbf{\dots}]
+  \end{itemize}
+
+\end{frame}
+
+\setcounter{section}{2}
+\section{Langzahl-Arithmetik}
+
+\begin{frame}
+
+  \showsection
+
+  Problem: Rechnen mit ganzen Zahlen, die größer sind als das,\\
+  was der Rechner normalerweise verarbeiten kann
+
+  \bigskip
+
+  {\large\textbf{Aufgabe: Addition langer Zahlen}\par}
+  \smallskip
+  \begin{itemize}
+    \item[(a)]
+      Überlegen Sie sich eine Datenstruktur, um eine lange Zahl zu speichern.
+    \item[(b)]
+      Schreiben Sie eine Funktion, die zwei lange Zahlen addiert.
+  \end{itemize}
+
+  \bigskip
+
+  {\large\textbf{Lösungsansätze}\par}
+  \smallskip
+  \begin{itemize}
+    \item
+      ziffernweise (z.\,B.\ Zahlen als Strings abspeichern)
+    \item
+      zu einer Zehnerpotenz-Basis (z.\,B.\ 1\,000\,000\,000)
+    \item
+      zu einer Zweierpotenz-Basis (z.\,B.\ $2^{32}$)\\
+    \item
+      speziell: Registerbreite \textarrow\ Hardware-Unterstützung (in Assembler)
+  \end{itemize}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+  \showsection
+
+  Problem: Rechnen mit ganzen Zahlen, die größer sind als das,\\
+  was der Rechner normalerweise verarbeiten kann
+
+  \medskip
+
+  \begin{itemize}
+    \item
+      Grundrechenarten (einschließlich "`modulo"'):\\
+      "`schriftlich"' rechnen
+    \item
+      \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Binäre_Exponentiation}%
+           {binäre Exponentiation}:\\
+      Basis fortlaufend quadrieren, ggf.\ damit multiplizieren\\
+      Beispiel: $x^9 = ((x^2)^2)^2 \cdot x$
+    \item
+      Suche nach $d$ mit $d\cdot e~\text{mod}~N = 1$:\\
+      \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Erweiterter_euklidischer_Algorithmus}%
+           {erweiterter euklidischer Algorithmus}
+    \smallskip
+    \arrowitem
+      RSA
+  \end{itemize}
+
+  \bigskip
+
+  {\large\textbf{Aufgabe: RSA effizient implementieren}\par}
+  \smallskip
+  \begin{itemize}
+    \item
+      Verwenden Sie den Datentyp \lstinline{uint64_t}
+      (oder Langzahl-Arithmetik)
+    \item
+      Für Details siehe: \file{hp-20240411.txt}
+  \end{itemize}
+
+\end{frame}
+
+\section{Kryptographie}
+\subsectionnonumber{\boldmath 4.$(x^2 - 1)$\quad Der Herr der Ringe: Manchmal ist $1 + 1 = 0$.}
+\subsubsectionnonumber{\boldmath 4.$(x^2 - 1).x$\quad Motivation}
+
+\begin{frame}
+
+  \showsection
+%  \pause
+  \showsubsectionnonumber
+%  \pause
+  \showsubsubsectionnonumber
+
+  Man kann auch mit sehr merkwürdigen Objekten\\
+  wie mit "`ganz normalen"' Zahlen rechnen.
+
+%  \pause
+  \bigskip
+  
+  Anwendungen:
+  \begin{itemize}
+    \item Funktionsweise von Computern (\textarrow\ Rechnertechnik)
+    \item Fehlererkennung
+    \item Fehlerkorrektur
+    \item Verschlüsselung
+    \item Digitale Signaturen
+  \end{itemize}
+
+\end{frame}
+
+\subsubsectionnonumber{\boldmath 4.$(x^2 - 1).(x + 1)$\quad Gruppen}
+
+\begin{frame}
+
+  \showsection
+  \showsubsectionnonumber
+  \showsubsubsectionnonumber
+
+  \textbf{Definition:}
+  Sei $G$ eine Menge, $*$ eine Verknüpfung auf $G$.
+  Wenn
+  \begin{itemize}
+    \item
+      $\forall a, b, c \in G$: $(a * b) * c = a * (b * c)$ \quad (Assoziativgesetz),
+    \item
+      $\exists e \in G$: $\forall a \in G$: $a * e = e * a = a$ \quad (neutrales Element),
+    \item
+      $\forall a \in G$: $\exists a^{-1} \in G$: $a * a^{-1} = a^{-1} * a = e$ \quad (inverses Element),
+  \end{itemize}
+  dann heißt $(G,*)$ eine \newterm{Gruppe}.
+
+%  \pause
+  \bigskip
+
+  \textbf{Definition:}
+  Sei $(G,*)$ eine Gruppe.
+  Wenn zusätzlich
+  \begin{itemize}
+    \item
+      $\forall a, b \in G$: $a * b = b * a$ \quad (Kommutativgesetz),
+  \end{itemize}
+  dann heißt $(G,*)$ eine \newterm{kommutative Gruppe}.
+
+\end{frame}
+
+\subsubsectionnonumber{\boldmath 4.$(x^2 - 1).(x + 2)$\quad Ringe}
+
+\begin{frame}
+
+%  \showsection
+  \showsubsectionnonumber
+  \showsubsubsectionnonumber
+
+  \textbf{Definition:}
+  Sei $R$ eine Menge; seien $+$ und $\cdot$ Verknüpfungen auf $R$.
+  Wenn
+  \begin{itemize}
+    \item
+      $(R,+)$ eine kommutative Gruppe ist,
+    \item
+      $\forall a, b, c \in R$: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ \quad (Assoziativgesetz),
+    \item
+      $\forall a, b, c \in R$: $(a + b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c$
+      und $a\cdot(b + c) = a\cdot b + a\cdot c$ \quad (Distributivgesetze),
+  \end{itemize}
+  dann heißt $(R,+,\cdot)$ ein \newterm{Ring}.
+
+%  \pause
+  \bigskip
+
+  \textbf{Definition:}
+  Sei $(R,+,\cdot)$ ein Ring.
+  Wenn zusätzlich
+  \begin{itemize}
+    \item
+      $\forall a, b \in R$: $a \cdot b = b \cdot a$ \quad (Kommutativgesetz),
+  \end{itemize}
+  dann heißt $(R,+,\cdot)$ ein \newterm{kommutativer Ring}.
+
+%  \pause
+  \bigskip
+
+  \textbf{Definition:}
+  Sei $(R,+,\cdot)$ ein (kommutativer) Ring.
+  Wenn zusätzlich
+  \begin{itemize}
+    \item
+      ein $e \in R$ existiert, so daß für alle $a \in R$ gilt: $a \cdot e = e \cdot a = a$\\
+      (neutrales Element),
+  \end{itemize}
+  dann heißt $(R,+,\cdot)$ ein \newterm{(kommutativer) Ring mit 1}.
+
+  \vspace*{-1cm}
+
+\end{frame}
+
+\subsubsectionnonumber{\boldmath 4.$(x^2 - 1).(x + 3)$\quad Körper}
+
+\begin{frame}
+
+%  \showsection
+  \showsubsectionnonumber
+  \showsubsubsectionnonumber
+
+  \textbf{Definition:}
+  Sei $K$ eine Menge; seien $+$ und $\cdot$ Verknüpfungen auf $K$.
+  Wenn
+  \begin{itemize}
+    \item
+      $(K,+,\cdot)$ ein Ring mit 1 ist und
+    \item
+      $(K \backslash \{0\},\cdot)$ eine kommutative Gruppe ist,
+  \end{itemize}
+  dann heißt $(K,+,\cdot)$ ein \newterm{Körper}.
+
+\end{frame}
+
+\subsubsectionnonumber{\boldmath 4.$(x^2 - 1).(x + 4)$\quad Anwendungen}
+
+\begin{frame}
+
+%  \showsection
+  \showsubsectionnonumber
+  \showsubsubsectionnonumber
+
+  Man kann auch mit sehr merkwürdigen Objekten\\
+  wie mit "`ganz normalen"' Zahlen rechnen.
+
+  \bigskip
+  
+  \begin{itemize}
+    \item
+      innermathematisch: Man kann beweisen,\\
+      daß es ab $x^5$ keine "`$p$-$q$-Formel"' mehr gibt\\
+      und daß bestimmte Operationen mit Zirkel und Lineal unmöglich sind.
+    \item
+      asymmetrische Verschlüsselung, Signaturen:\\
+      RSA, ElGamal, elliptische Kurven
+    \item
+      symmetrische Verschlüsselung: AES
+    \item
+      Fehlererkennung: Parität, CRC\\
+      Anwendungen: Datenübertragung, RAID
+    \item
+      Fehlerkorrektur: Reed-Solomon\\
+      Anwendungen: Raumsonden, optische Datenträger, ECC-RAM
+  \end{itemize}
+
+\end{frame}
+
+\end{document}

20240418/landau-symbols-2.pdf

+../common/landau-symbols-2.pdf
\ No newline at end of file

20240418/landau-symbols-3.pdf

+../common/landau-symbols-3.pdf
\ No newline at end of file

20240418/landau-symbols.pdf

+../common/landau-symbols.pdf
\ No newline at end of file

20240418/logo-hochschule-bochum-cvh-text.pdf

+../common/logo-hochschule-bochum-cvh-text.pdf
\ No newline at end of file

20240418/logo-hochschule-bochum.pdf

+../common/logo-hochschule-bochum.pdf
\ No newline at end of file

20240418/pgslides.sty

+../common/pgslides.sty
\ No newline at end of file