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Lehrmaterialien und Tafelbilder 17.5.2018

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% ad-20180517.pdf - Lecture Slides on Algorithms and Data Structures in C/C++
% Copyright (C) 2018 Peter Gerwinski
%
% This document is free software: you can redistribute it and/or
% modify it either under the terms of the Creative Commons
% Attribution-ShareAlike 3.0 License, or under the terms of the
% GNU General Public License as published by the Free Software
% Foundation, either version 3 of the License, or (at your option)
% any later version.
%
% This document is distributed in the hope that it will be useful,
% but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
% MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. See the
% GNU General Public License for more details.
%
% You should have received a copy of the GNU General Public License
% along with this document. If not, see <http://www.gnu.org/licenses/>.
%
% You should have received a copy of the Creative Commons
% Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License along with this
% document. If not, see <http://creativecommons.org/licenses/>.
% README: Datenorganisation: balancierte Bäume
\documentclass[10pt,t]{beamer}
\usepackage{pgslides}
\usepackage{tikz}
\usepackage{soul}
\newcommand{\underconstruction}{%
\begin{picture}(0,0)
\color{black}
\put(7,-2.2){\makebox(0,0)[b]{\includegraphics[width=1.5cm]{Zeichen_123.pdf}}}
\put(7,-2.5){\makebox(0,0)[t]{\shortstack{Änderungen\\vorbehalten}}}
\end{picture}}
\lstdefinestyle{math}{basicstyle=\footnotesize\color{structure},
language={},
columns=fixed,
moredelim=**[is][\color{darkred}]{¡}{¿},
moredelim=**[is][\color{darkgreen}]{°}{¿}}
\title{Algorithmen und Datenstrukturen in C/C++}
\author{Prof.\ Dr.\ rer.\ nat.\ Peter Gerwinski}
\date{17.\ Mai 2018}
\begin{document}
\maketitleframe
\nosectionnonumber{\inserttitle}
\begin{frame}
\shownosectionnonumber
\begin{itemize}
\item[\textbf{1}] \textbf{Einführung}
\underconstruction
\hfill\makebox(0,0)[br]{\raisebox{2.25ex}{\url{https://gitlab.cvh-server.de/pgerwinski/ad.git}}}
\item[\textbf{2}] \textbf{Einführung in C++}
\item[\textbf{3}] \textbf{Datenorganisation}
\begin{itemize}
\item[3.1] Standard-Container-Templates
\item[3.2] Iteratoren
\item[3.3] Hash-Tabellen
\color{medgreen}
\item[3.4] Balancierte Bäume
\color{black}
\item[3.5] Intelligente Zeiger
\end{itemize}
\item[\textbf{4}] \textbf{Datenkodierung}
\begin{itemize}
\color{orange}
\item[4.0] Parität
\color{medgreen}
\item[\hbox to 1.39em{4.\boldmath$(x^2-1)$\hss}]\hspace*{3.14em} Der Herr der Ringe: Manchmal ist $1 + 1 = 0$.
\item[4.1] Fehlererkennung durch CRC
\color{red}
\item[4.2] Ausfall- und Fehlerkorrektur durch Reed-Solomon-Code
\end{itemize}
\item[\textbf{5}] \textbf{Hardwarenahe Algorithmen}
% \begin{itemize}
% \item FFT, CORDIC, \dots
% \end{itemize}
\item[\textbf{6}] \textbf{Optimierung}
% \begin{itemize}
% \item Wegfindung, \dots
% \end{itemize}
\color{gray}
\item[\textbf{7}] \textbf{Numerik}
\end{itemize}
\end{frame}
\setcounter{section}{3}
\section{Datenkodierung}
\setcounter{subsection}{-1}
\subsection{Parität}
\subsubsection{Fehlererkennung durch Parität}
\begin{frame}
\showsection
\vspace{-\smallskipamount}
\showsubsection
\vspace{-\smallskipamount}
\showsubsubsection
Zusätzlich zu den Daten: Paritäts-Bit
\medskip
Quersumme einschließlich Paritäts-Bit muß gerade/ungerade sein\\
\textarrow\ \newterm{gerade/ungerade Parität}\\
Wenn nicht: Fehler erkannt
\bigskip
\begin{minipage}[t]{6cm}
Beispiel:
\smallskip
\begin{tabular}{ll}
Nachricht: & \lstinline|11010110|\\[\medskipamount]
gerade Parität: & Paritäts-Bit: \lstinline|1|\\
kodierte Nachricht: & \lstinline|110101101|\\[\medskipamount]
ungerade Parität: & Paritäts-Bit: \lstinline|0|\\
kodierte Nachricht: & \lstinline|110101100|
\end{tabular}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[t]{5.5cm}
1 falsches Bit wird erkannt.\\
2 falsche Bits werden nicht erkannt.\\
3 falsche Bits werden erkannt.\\
\dots\\
Eine ungerade Anzahl falscher Bits wird erkannt.
\end{minipage}
\end{frame}
\subsubsection{Ausfallsicherheit durch Parität: RAID}
\begin{frame}[fragile]
\showsection
\vspace{-\smallskipamount}
\showsubsection
\vspace{-\smallskipamount}
\showsubsubsection
Daten mit Parität\\
1 Bit fehlt, ansonsten korrekt\\
\textarrow\ fehlendes Bit rekonstruierbar
\bigskip
Anwendung: RAID
zusätzliche Platte speichert (gerade) Parität
\smallskip
\begingroup
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
Platte 1 & Platte 2 & Platte 3 \\\hline
\lstinline|A1| & \lstinline|A2| &
\lstinline|A3 = A1 xor A2|\\\hline
\end{tabular}
\endgroup
\bigskip
\begin{minipage}{3.5cm}
Parität berechnen:
\smallskip
\begin{tabular}{lll}
& \lstinline|0101| & \lstinline|A1|\\
\lstinline|xor| & \lstinline|0011| & \lstinline|A2|\\\cline{2-2}\\[-1.5\medskipamount]
& \lstinline|0110| & \lstinline|A3|
\end{tabular}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{8.5cm}
Verlorene Bits rekonstruieren:
\smallskip
\begin{tabular}{lll}
& \lstinline|0101| & \lstinline|A1|\\
\lstinline|xor| & \lstinline|0110| & \lstinline|A3|\\\cline{2-2}\\[-1.5\medskipamount]
& \lstinline|0011| & \lstinline|A2|
\end{tabular}
\end{minipage}
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]
\showsection
\vspace{-\smallskipamount}
\showsubsection
\vspace{-\smallskipamount}
\showsubsubsection
\begin{tabular}{ll}
\newterm{RAID 3} & Speicherung bitweise \\
\newterm{RAID 4} & Speicherung blockweise \\
\newterm{RAID 5} & Speicherung blockweise, Parität wandert
\end{tabular}
\bigskip
\begingroup
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline
Platte 1 & Platte 2 & Platte 3 \\\hline
\lstinline|A1| & \lstinline|A2| & \lstinline|A3 = A1 xor A2|\\\hline
\lstinline|B1 = B2 xor B3| & \lstinline|B2| & \lstinline|B3|\\\hline
\lstinline|C1| & \lstinline|C2 = C1 xor C3| & \lstinline|C3|\\\hline
\lstinline|D1| & \lstinline|D2| & \lstinline|D3 = D1 xor D2|\\\hline
\dots & \dots & \dots
\end{tabular}
\endgroup
\begin{picture}(0,0)
\put(5.6,4.45){\makebox(0,0)[l]{$\left.\rule{0pt}{1.3em}\right\}$
Paritätsplatte ist "`Flaschenhals"'}}
\end{picture}
\end{frame}
\subsubsection{Fehlerkorrektur durch Hamming-Code}
\begin{frame}[fragile]
\showsection
\vspace{-\smallskipamount}
\showsubsection
\vspace{-\smallskipamount}
\showsubsubsection
\begin{tabular}{lll}
Nachricht: & \lstinline|11010110| \\
defekte Nachricht: & \lstinline|11000110| & \newterm{Hamming-Abstand} 1
\end{tabular}
\medskip
\begin{itemize}
\item
"`zu viele"' Symbole senden
\smallskip
Beispiel: 7 Bit senden \textarrow\ 128 Symbole,\\
davon nur 16 Symbole gültig \textarrow\ 4 Bit
\medskip
\item
gültige Symbole so anordnen,\\
daß Hamming-1-Nachbarn zugerechnet werden können
\medskip
\arrowitem
1 fehlerhaft übertragenes Bit kann korrigiert werden.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]
\showsection
\vspace{-\smallskipamount}
\showsubsection
\vspace{-\smallskipamount}
\showsubsubsection
\textbf{\boldmath$(3,1)$-Hamming-Code}
\medskip
\begin{tabular}{ll}
Nachricht: & \lstinline[style=math]|1 1 0 1 0 1 1 0 | \\
kodierte Nachricht: & \lstinline[style=math]|111111000111000111111000| \\
defekte Nachricht: & \lstinline[style=math]|111111010111000110111010| \\
Rekonstruktion: & \lstinline[style=math]|1 1 0 1 0 1 1 0 |
\end{tabular}
\bigskip
Analog: \textbf{\boldmath$(5,1)$-Hamming-Code}
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]
\showsection
\vspace{-\smallskipamount}
\showsubsection
\vspace{-\smallskipamount}
\showsubsubsection
\textbf{(7,\,4)-Hamming-Code}
\medskip
\lstinline[style=math]{ p p d p d d d}
\begin{itemize}
\item
1.\ Paritäts-Bit: Parität über jedes zweite Bit
\item
2.\ Paritäts-Bit: Parität über jedes dritte und vierte von 4 Bit
\item
3.\ Paritäts-Bit: Parität über jedes fünfte bis achte von 8 Bit
\end{itemize}
\end{frame}
\subsectionnonumber{\boldmath 4.$(x^2 - 1)$\quad Der Herr der Ringe: Manchmal ist $1 + 1 = 0$.}
\subsubsectionnonumber{\boldmath 4.$(x^2 - 1).x$\quad Motivation}
\begin{frame}
\showsection
\showsubsectionnonumber
\showsubsubsectionnonumber
Man kann auch mit sehr merkwürdigen Objekten\\
wie mit "`ganz normalen"' Zahlen rechnen.
\bigskip
Anwendungen:
\begin{itemize}
\item Funktionsweise von Computern (\textarrow\ Rechnertechnik)
\item Fehlererkennung
\item Fehlerkorrektur
\item Verschlüsselung
\item Digitale Signaturen
\end{itemize}
\end{frame}
\subsubsectionnonumber{\boldmath 4.$(x^2 - 1).(x + 1)$\quad Gruppen}
\begin{frame}
\showsection
\showsubsectionnonumber
\showsubsubsectionnonumber
\textbf{Definition:}
Sei $G$ eine Menge, $*$ eine Verknüpfung auf $G$.
Wenn
\begin{itemize}
\item
$\forall a, b, c \in G$: $(a * b) * c = a * (b * c)$ \quad (Assoziativgesetz),
\item
$\exists e \in G$: $\forall a \in G$: $a * e = e * a = a$ \quad (neutrales Element),
\item
$\forall a \in G$: $\exists a^{-1} \in G$: $a * a^{-1} = a^{-1} * a = e$ \quad (inverses Element),
\end{itemize}
dann heißt $(G,*)$ eine \newterm{Gruppe}.
\pause
\bigskip
\textbf{Definition:}
Sei $(G,*)$ eine Gruppe.
Wenn zusätzlich
\begin{itemize}
\item
$\forall a, b \in G$: $a * b = b * a$ \quad (Kommutativgesetz),
\end{itemize}
dann heißt $(G,*)$ eine \newterm{kommutative Gruppe}.
\end{frame}
\subsubsectionnonumber{\boldmath 4.$(x^2 - 1).(x + 2)$\quad Ringe}
\begin{frame}
% \showsection
\showsubsectionnonumber
\showsubsubsectionnonumber
\textbf{Definition:}
Sei $R$ eine Menge; seien $+$ und $\cdot$ Verknüpfungen auf $R$.
Wenn
\begin{itemize}
\item
$(R,+)$ eine kommutative Gruppe ist,
\item
$\forall a, b, c \in R$: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ \quad (Assoziativgesetz),
\item
$\forall a, b, c \in R$: $(a + b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c$
und $a\cdot(b + c) = a\cdot b + a\cdot c$ \quad (Distributivgesetze),
\end{itemize}
dann heißt $(R,+,\cdot)$ ein \newterm{Ring}.
\pause
\bigskip
\textbf{Definition:}
Sei $(R,+,\cdot)$ ein Ring.
Wenn zusätzlich
\begin{itemize}
\item
$\forall a, b \in R$: $a \cdot b = b \cdot a$ \quad (Kommutativgesetz),
\end{itemize}
dann heißt $(R,+,\cdot)$ ein \newterm{kommutativer Ring}.
\pause
\bigskip
\textbf{Definition:}
Sei $(R,+,\cdot)$ ein (kommutativer) Ring.
Wenn zusätzlich
\begin{itemize}
\item
ein $e \in G$ existiert, so daß für alle $a \in G$ gilt: $a \cdot e = e \cdot a = a$\\
(neutrales Element),
\end{itemize}
dann heißt $(R,+,\cdot)$ ein \newterm{(kommutativer) Ring mit 1}.
\vspace*{-1cm}
\end{frame}
\subsubsectionnonumber{\boldmath 4.$(x^2 - 1).(x + 3)$\quad Körper}
\begin{frame}
% \showsection
\showsubsectionnonumber
\showsubsubsectionnonumber
\textbf{Definition:}
Sei $K$ eine Menge; seien $+$ und $\cdot$ Verknüpfungen auf $K$.
Wenn
\begin{itemize}
\item
$(K,+,\cdot)$ ein Ring mit 1 ist und
\item
$(K \backslash \{0\},\cdot)$ eine kommutative Gruppe ist,
\end{itemize}
dann heißt $(K,+,\cdot)$ ein \newterm{Körper}.
\end{frame}
\subsection{Fehlererkennung durch CRC}
\begin{frame}[fragile]
\showsubsection
\vspace{-\medskipamount}
\begin{itemize}
\item
Verallgemeinerung von "`gerade/ungerade"':\\
Rest bei Polynomdivision über Körper mit 2 Elementen (1 + 1 = 0)
\item
Rest = Prüfwert
\end{itemize}
\smallskip
\begin{onlyenv}<1>
\begin{lstlisting}[style=math,gobble=6]
1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 : 1 1 0 1
1 1 0 1
-------
1 1 0 0
1 1 0 1
-------
1 1 0 0
1 1 0 1
-------
1 1 1 1
1 1 0 1
-------
1 0 0 0
1 1 0 1
--------
1 0 1 0
1 1 0 1
--------
1 1 1
\end{lstlisting}
\begin{picture}(0,0)
\put(4,5){\mbox{Prüfwert ermitteln}}
\end{picture}
\end{onlyenv}
\begin{onlyenv}<2->
\begin{lstlisting}[style=math,gobble=6]
1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 : 1 1 0 1
1 1 0 1
-------
1 1 0
1 1 0 1
-------
1 1 0 0
1 1 0 1
-------
1 1 1 1
1 1 0 1
-------
1 0 1 1
1 1 0 1
--------
1 1 0 1
1 1 0 1
--------
0
\end{lstlisting}
\begin{picture}(0,0)
\put(4,5){\mbox{Daten prüfen}}
\end{picture}
\end{onlyenv}
\vspace*{-1cm}
\end{frame}
\subsection{Ausfall- und Fehlerkorrektur durch Reed-Solomon-Code}
\begin{frame}
\showsection
\showsubsection
\begin{itemize}
\item Polynome über endlichen Körpern
\item $n$ Zahlen {\boldmath$\longleftrightarrow$} Polynom vom Grad $n - 1$\\
Beispiel: 3 Stützstellen \textarrow\ Parabel
\smallskip
\item mehr als $n$ Zahlen \textarrow\ Polynom überbestimmt
\smallskip
\alt<1>{\arrowitem Ausfall- und Fehlerkorrektur möglich \textarrow\ \newterm{Reed-Solomon-Code}}{\medskip}
\smallskip
\begin{onlyenv}<2>
\item Variante 1 (BCH):\\
Nachricht = Koeffizienten des Polynoms\\
Übertragung = Funktionswerte an Stützstellen
\smallskip
\item Variante 2 (systematische Kodierung):\\
Übertragung enthält Nachricht = Funktionswerte an Stützstellen\\
Koeffizienten berechnen \textarrow\ Funktionswerte an zusätzlichen Stützstellen
\end{onlyenv}
\begin{onlyenv}<3->
\item
Ausfallkorrektur: trivial.\quad \texttt{;-)}
\smallskip
\item
Fehlererkennung: Polynom hat zu hohen Grad\\
Beispiel: 4 Punkte liegen nicht auf Parabel
\smallskip
\item
Fehlerkorrektur (theoretisch):\\
alle Kombinationen durchprobieren, Mehrheitsentscheid
\smallskip
\item
Fehlerkorrektur (praktisch): spezielle Algorithmen
\end{onlyenv}
\end{itemize}
\end{frame}
\nosectionnonumber{\inserttitle}
\begin{frame}
\shownosectionnonumber
\begin{itemize}
\item[\textbf{1}] \textbf{Einführung}
\underconstruction
\hfill\makebox(0,0)[br]{\raisebox{2.25ex}{\url{https://gitlab.cvh-server.de/pgerwinski/ad.git}}}
\item[\textbf{2}] \textbf{Einführung in C++}
\item[\textbf{3}] \textbf{Datenorganisation}
\item[\textbf{4}] \textbf{Datenkodierung}
\begin{itemize}
\color{medgreen}
\item[4.0] Parität
\color{black}
\item[\hbox to 1.39em{4.\boldmath$(x^2-1)$\hss}]\hspace*{3.14em} Mathematische Grundlagen
\item[4.1] Fehlererkennung durch CRC
\color{medgreen}
\item[4.2] Ausfall- und Fehlerkorrektur\\
durch Reed-Solomon-Code
\color{red}
\item[4.3] Verschlüsselung
\end{itemize}
\item[\textbf{5}] \textbf{Hardwarenahe Algorithmen}
% \begin{itemize}
% \item FFT, CORDIC, \dots
% \end{itemize}
\item[\textbf{6}] \textbf{Optimierung}
% \begin{itemize}
% \item Wegfindung, \dots
% \end{itemize}
\color{gray}
\item[\textbf{7}] \textbf{Numerik}
\end{itemize}
\end{frame}
\end{document}
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% Copyright (C) 2018 Peter Gerwinski
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% This document is free software: you can redistribute it and/or
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% Attribution-ShareAlike 3.0 License, or under the terms of the
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% Foundation, either version 3 of the License, or (at your option)
% any later version.
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% This document is distributed in the hope that it will be useful,
% but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
% MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. See the
% GNU General Public License for more details.
%
% You should have received a copy of the GNU General Public License
% along with this document. If not, see <http://www.gnu.org/licenses/>.
%
% You should have received a copy of the Creative Commons
% Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License along with this
% document. If not, see <http://creativecommons.org/licenses/>.
% README: Datenorganisation: balancierte Bäume
\documentclass[10pt,t]{beamer}
\usepackage{pgslides}
\usepackage{tikz}
\usepackage{soul}
\newcommand{\underconstruction}{%
\begin{picture}(0,0)(0,3)
\color{black}
\put(7,-2.2){\makebox(0,0)[b]{\includegraphics[width=1.5cm]{Zeichen_123.pdf}}}
\put(7,-2.5){\makebox(0,0)[t]{\shortstack{Änderungen\\vorbehalten}}}
\end{picture}}
\lstdefinestyle{math}{basicstyle=\footnotesize\color{structure},
language={},
columns=fixed,
moredelim=**[is][\color{darkred}]{¡}{¿},
moredelim=**[is][\color{darkgreen}]{°}{¿}}
\title{Algorithmen und Datenstrukturen in C/C++}
\author{Prof.\ Dr.\ rer.\ nat.\ Peter Gerwinski}
\date{24.\ Mai 2018}
\begin{document}
\maketitleframe
\nosectionnonumber{\inserttitle}
\begin{frame}
\shownosectionnonumber
\begin{itemize}
\item[\textbf{1}] \textbf{Einführung}
\underconstruction
\hfill\makebox(0,0)[br]{\raisebox{2.25ex}{\url{https://gitlab.cvh-server.de/pgerwinski/ad.git}}}
\item[\textbf{2}] \textbf{Einführung in C++}
\item[\textbf{3}] \textbf{Datenorganisation}
\item[\textbf{4}] \textbf{Datenkodierung}
\begin{itemize}
\color{medgreen}
\item[4.0] Parität
\color{black}
\item[\hbox to 1.39em{4.\boldmath$(x^2-1)$\hss}]\hspace*{3.14em} Der Herr der Ringe: Manchmal ist $1 + 1 = 0$.
\item[4.1] Fehlererkennung durch CRC
\color{medgreen}
\item[4.2] Ausfall- und Fehlerkorrektur durch Reed-Solomon-Code
\color{orange}
\item[4.3] Verschlüsselung
\end{itemize}
\item[\textbf{5}] \textbf{Hardwarenahe Algorithmen}
% \begin{itemize}
% \item FFT, CORDIC, \dots
% \end{itemize}
\item[\textbf{6}] \textbf{Optimierung}
% \begin{itemize}
% \item Wegfindung, \dots
% \end{itemize}
\color{gray}
\item[\textbf{7}] \textbf{Numerik}
\end{itemize}
\end{frame}
\setcounter{section}{3}
\section{Datenkodierung}
\setcounter{subsection}{-1}
\subsection{Parität}
\subsubsection{Fehlererkennung durch Parität}
\begin{frame}
\showsection
\vspace{-\smallskipamount}
\showsubsection
\vspace{-\smallskipamount}
\showsubsubsection
Zusätzlich zu den Daten: Paritäts-Bit
\medskip
Quersumme einschließlich Paritäts-Bit muß gerade/ungerade sein\\
\textarrow\ \newterm{gerade/ungerade Parität}\\
Wenn nicht: Fehler erkannt
\bigskip
\begin{minipage}[t]{6cm}
Beispiel:
\smallskip
\begin{tabular}{ll}
Nachricht: & \lstinline|11010110|\\[\medskipamount]
gerade Parität: & Paritäts-Bit: \lstinline|1|\\
kodierte Nachricht: & \lstinline|110101101|\\[\medskipamount]
ungerade Parität: & Paritäts-Bit: \lstinline|0|\\
kodierte Nachricht: & \lstinline|110101100|
\end{tabular}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[t]{5.5cm}
1 falsches Bit wird erkannt.\\
2 falsche Bits werden nicht erkannt.\\
3 falsche Bits werden erkannt.\\
\dots\\
Eine ungerade Anzahl falscher Bits wird erkannt.
\end{minipage}
\end{frame}
\subsubsection{Ausfallsicherheit durch Parität: RAID}
\begin{frame}[fragile]
\showsection
\vspace{-\smallskipamount}
\showsubsection
\vspace{-\smallskipamount}
\showsubsubsection
Daten mit Parität\\
1 Bit fehlt, ansonsten korrekt\\
\textarrow\ fehlendes Bit rekonstruierbar
\bigskip
Anwendung: RAID
zusätzliche Platte speichert (gerade) Parität
\smallskip
\begingroup
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
Platte 1 & Platte 2 & Platte 3 \\\hline
\lstinline|A1| & \lstinline|A2| &
\lstinline|A3 = A1 xor A2|\\\hline
\end{tabular}
\endgroup
\bigskip
\begin{minipage}{3.5cm}
Parität berechnen:
\smallskip
\begin{tabular}{lll}
& \lstinline|0101| & \lstinline|A1|\\
\lstinline|xor| & \lstinline|0011| & \lstinline|A2|\\\cline{2-2}\\[-1.5\medskipamount]
& \lstinline|0110| & \lstinline|A3|
\end{tabular}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{8.5cm}
Verlorene Bits rekonstruieren:
\smallskip
\begin{tabular}{lll}
& \lstinline|0101| & \lstinline|A1|\\
\lstinline|xor| & \lstinline|0110| & \lstinline|A3|\\\cline{2-2}\\[-1.5\medskipamount]
& \lstinline|0011| & \lstinline|A2|
\end{tabular}
\end{minipage}
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]
\showsection
\vspace{-\smallskipamount}
\showsubsection
\vspace{-\smallskipamount}
\showsubsubsection
\begin{tabular}{ll}
\newterm{RAID 3} & Speicherung bitweise \\
\newterm{RAID 4} & Speicherung blockweise \\
\newterm{RAID 5} & Speicherung blockweise, Parität wandert
\end{tabular}
\bigskip
\begingroup
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline
Platte 1 & Platte 2 & Platte 3 \\\hline
\lstinline|A1| & \lstinline|A2| & \lstinline|A3 = A1 xor A2|\\\hline
\lstinline|B1 = B2 xor B3| & \lstinline|B2| & \lstinline|B3|\\\hline
\lstinline|C1| & \lstinline|C2 = C1 xor C3| & \lstinline|C3|\\\hline
\lstinline|D1| & \lstinline|D2| & \lstinline|D3 = D1 xor D2|\\\hline
\dots & \dots & \dots
\end{tabular}
\endgroup
\begin{picture}(0,0)
\put(5.6,4.45){\makebox(0,0)[l]{$\left.\rule{0pt}{1.3em}\right\}$
Paritätsplatte ist "`Flaschenhals"'}}
\end{picture}
\end{frame}
\subsubsection{Fehlerkorrektur durch Hamming-Code}
\begin{frame}[fragile]
\showsection
\vspace{-\smallskipamount}
\showsubsection
\vspace{-\smallskipamount}
\showsubsubsection
\begin{tabular}{lll}
Nachricht: & \lstinline|11010110| \\
defekte Nachricht: & \lstinline|11000110| & \newterm{Hamming-Abstand} 1
\end{tabular}
\medskip
\begin{itemize}
\item
"`zu viele"' Symbole senden
\smallskip
Beispiel: 7 Bit senden \textarrow\ 128 Symbole,\\
davon nur 16 Symbole gültig \textarrow\ 4 Bit
\medskip
\item
gültige Symbole so anordnen,\\
daß Hamming-1-Nachbarn zugerechnet werden können
\medskip
\arrowitem
1 fehlerhaft übertragenes Bit kann korrigiert werden.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]
\showsection
\vspace{-\smallskipamount}
\showsubsection
\vspace{-\smallskipamount}
\showsubsubsection
\textbf{\boldmath$(3,1)$-Hamming-Code}
\medskip
\begin{tabular}{ll}
Nachricht: & \lstinline[style=math]|1 1 0 1 0 1 1 0 | \\
kodierte Nachricht: & \lstinline[style=math]|111111000111000111111000| \\
defekte Nachricht: & \lstinline[style=math]|111111010111000110111010| \\
Rekonstruktion: & \lstinline[style=math]|1 1 0 1 0 1 1 0 |
\end{tabular}
\bigskip
Analog: \textbf{\boldmath$(5,1)$-Hamming-Code}
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]
\showsection
\vspace{-\smallskipamount}
\showsubsection
\vspace{-\smallskipamount}
\showsubsubsection
\textbf{(7,\,4)-Hamming-Code}
\medskip
\lstinline[style=math]{ p p d p d d d}
\begin{itemize}
\item
1.\ Paritäts-Bit: Parität über jedes zweite Bit
\item
2.\ Paritäts-Bit: Parität über jedes dritte und vierte von 4 Bit
\item
3.\ Paritäts-Bit: Parität über jedes fünfte bis achte von 8 Bit
\end{itemize}
\end{frame}
\setcounter{subsection}{1}
\subsection{Ausfall- und Fehlerkorrektur durch Reed-Solomon-Code}
\begin{frame}
\showsection
\showsubsection
\begin{itemize}
\item Polynome über endlichen Körpern
\item $n$ Zahlen {\boldmath$\longleftrightarrow$} Polynom vom Grad $n - 1$\\
Beispiel: 3 Stützstellen \textarrow\ Parabel
\smallskip
\item mehr als $n$ Zahlen \textarrow\ Polynom überbestimmt
\smallskip
\alt<1>{\arrowitem Ausfall- und Fehlerkorrektur möglich \textarrow\ \newterm{Reed-Solomon-Code}}{\medskip}
\smallskip
\begin{onlyenv}<2>
\item Variante 1 (BCH):\\
Nachricht = Koeffizienten des Polynoms\\
Übertragung = Funktionswerte an Stützstellen
\smallskip
\item Variante 2 (systematische Kodierung):\\
Übertragung enthält Nachricht = Funktionswerte an Stützstellen\\
Koeffizienten berechnen \textarrow\ Funktionswerte an zusätzlichen Stützstellen
\end{onlyenv}
\begin{onlyenv}<3->
\item
Ausfallkorrektur: trivial.\quad \texttt{;-)}
\smallskip
\item
Fehlererkennung: Polynom hat zu hohen Grad\\
Beispiel: 4 Punkte liegen nicht auf Parabel
\smallskip
\item
Fehlerkorrektur (theoretisch):\\
alle Kombinationen durchprobieren, Mehrheitsentscheid
\smallskip
\item
Fehlerkorrektur (praktisch): spezielle Algorithmen
\end{onlyenv}
\end{itemize}
\end{frame}
\subsection{Verschlüsselung}
\subsubsection{OpenPGP in der Praxis}
\begin{frame}
\showsection
\showsubsection
\showsubsubsection
\begin{itemize}
\item
\dots
\end{itemize}
\end{frame}
\end{document}
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