Skip to content
Snippets Groups Projects
Commit 6dd96568 authored by Peter Gerwinski's avatar Peter Gerwinski
Browse files

Diplomarbeit von Peter Gerwinski – rekonstruierte PDF-Version

parents
No related branches found
No related tags found
No related merge requests found
h05r30x.png

2.55 KiB

h05r40h.png

9.77 KiB

h05r60h.png

10.5 KiB

h05r60hh.png

6.23 KiB

h05r60p.png

3.75 KiB

h05r60x.png

3.93 KiB

h05r80h-thumbnail.png

2.76 KiB

h05r80h.png

9.97 KiB

File added
h05r90p.png

3.84 KiB

h05r90x.png

4.71 KiB

h05rges.png

2.16 KiB

habh2ei.png

93.9 KiB

habh2en.png

13.1 KiB

habh2er.png

87.4 KiB

habh2es.png

12.4 KiB

\chapter{Beschreibung durch Phasenraumdichtefunktionen\label{Husimi}}
\section[Die \protect\name{Wigner}- und die \protect\name{Husimi}-Darstellung]%
{Die \Name{Wigner}- und die \Name{Husimi}-Darstellung}
In Kapitel~\ref{Klassik} wurde gezeigt, wie sich das Phasenraumportait des
Systems bei Variation der Kickstärke $\lambda$ verändert: Für kleine $\lambda$
beobachten wir eine Stabilitätsinsel, die für größere $\lambda$ verschwindet.
In Kapitel~\ref{Quanten} wurden die quantenmechanischen Auswirkungen einer
Änderung von $\lambda$ untersucht: Für kleine $\lambda$ treten dynamische
Resonanzen in der S-Matrix auf, für große $\lambda$ erhalten wir
\name{Ericson}-Fluktuationen.
Wie bereits erwähnt, haben R.~\name{Blümel} und U.~\name{Smilansky}
nachgewiesen, daß das Fehlen einer Stabilitätsinsel tatsächlich Ursache der
\name{Ericson}-Fluktuationen ist. Wesentlich war in diesem Zusammenhang das
exponentielle Abfallen der Verweilrate eines klassischen Partikels im
Streuzentrum.
Um das Bild zu vervollständigen, müssen wir noch einen direkten Zusammenhang
zwischen dem Vorhandensein einer Stabilitätsinsel im Phasenraum und dem
Auftreten der dynamischen Resonanzen in der S-Matrix finden. In
Abschnitt~\ref{InselKopplung} wurden bereits quasigebundene Zustände innerhalb
der Stabilitätsinsel zur näherungsweisen Berechnung der Resonanz-Quasienergien
herangezogen. In diesem Kapitel soll numerisch belegt werden, daß diese
quasigebundenen Zustände während eines Streuprozesses tatsächlich besetzt
werden und daß dies in direktem Zusammenhang mit den dynamischen Resonanzen
steht.
\breath
Wenn wir einen Zusammenhang zwischen quasigebundenen quantenmechanischen
Zu"-stän"-den und der Stabilitätsinsel herstellen wollen, müssen wir zuerst
eine Methode entwickeln, wie wir den quantenmechanischen Zustand in den
Phasenraum einordnen. Naturgemäß ist es nicht möglich, einen
quantenmechanischen Zustand durch einen Punkt im Phasenraum zu
charakterisieren, da sein Ort und Impuls niemals gleichzeitig scharf definiert
sein können. Bestenfalls können wir eine Verteilungsfunktion im Phasenraum
angeben, ein quantenmechanisches Analogon einer klassischen
Wahrscheinlichkeitsdichte.
Das bekannteste Beispiel einer solchen quantenmechanischen
Phasenraumdichtefunktion ist die {\em \name{Wigner}-Funktion}
\cite[\S~2.1]{T89}.
Im eindimensionalen Fall lautet die \name{Wigner}-Funktion eines Zustandes
$\ket{\psi}$:
\begin{equation}
\rho_W(x,p) = (2\pi\hbar)^{-1} \int\D{\xi}
\braket{x-\fr{\xi}{2}}{\psi}
\rbraket{\psi}{x+\fr{\xi}{2}}
\exp\left(\fr{i}{\hbar}p\xi\right).
\end{equation}
Die \name{Wigner}-Funktion ist im Phasenraum normiert:
\begin{equation}
\int\D{x} \! \int\D{p} \> \rho_W(x,p) = 1,
\end{equation}
aber sie nimmt sowohl positive als auch negative Werte an und ist daher nicht
als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretierbar.
Ein anderer Ansatz zur Definition einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion im
Phasenraum geht über ein Wellenpaket $\ket{\varphi_{xp}}$ mit minimalem
Produkt aus Orts- und Impuls"-unschärfe:
\begin{equation}
\braket{x'}{\varphi_{xp}}
= \left( 2 \pi \Delta x^2 \right)^{-1/4}
\exp\left(\fr{i}{\hbar}px' - \frac{(x'-x)^2}{2 \Delta x^2}\right)
\end{equation}
mit
\begin{equation}
\Delta x = \sqrt{\hbar/2}, \quad
\Delta p = \sqrt{\hbar/2},
\end{equation}
so daß
\begin{equation}
\Delta x \cdot \Delta p = \hbar/2.
\end{equation}
Ein Analogon zur klassischen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion können wir nun
durch die Übergangswahrscheinlichkeit des Zustandes $\ket{\psi}$ nach
$\ket{\varphi_{xp}}$ definieren:
\begin{equation}
\rho_H(x,p) = (2\pi\hbar)^{-1} \left| \braket{\varphi_{xp}}{\psi} \right|^2,
\end{equation}
und wir erhalten die Phasenraumdichtefunktion nach K.~\name{Husimi} -- kurz:
{\em \name{Husimi}-Funktion} -- des Zustandes $\ket{\psi}$ \cite[\S~2.2]{T89}.
Wie die \name{Wigner}-Funktion, ist auch die \name{Husimi}-Funktion im
Phasenraum normiert:
\begin{equation}
\int\D{x} \! \int\D{p} \> \rho_H(x,p) = 1.
\end{equation}
Nach Konstruktion ist $\rho_H(x,p)$ im gesamten Phasenraum positiv und erfüllt
somit alle Kriterien, die uns eine Interpretation als
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion erlauben.
\breath
Anhand der \name{Husimi}-Funktion können wir nun den "`Weg eines
quantenmechanischen Teilchens durch den Phasenraum"' verfolgen. Insbesondere
interessiert uns die Rolle, welche die Stabilitätsinsel für das
quantenmechanische Teilchen spielt.
Abb.~\ref{hsmiN} zeigt die Zeitentwicklung der \name{Husimi}-Funktion eines
Streuexperiments im nicht resonanten Fall. Es handelt sich um dasselbe
Streuexperiment, das auch Abb.~\ref{devolNx} und~\ref{devolNp} zugrundeliegt.
Der Funktionswert wird durch die Dichte der Bildpunkte dargestellt. Die
Abbildung zeigt nicht das gesamte Orts- und Impulsfenster, sondern nur das
Streuzentrum. Die Wellenpakete mit großer Orts- und kleiner Impulsunschärfe
erscheinen in diesr Darstellung als sehr langgezogene ellipsenförmige
Verteilungen, von denen wir nur einen kleinen Ausschnitt sehen können. Wir
beobachten ein von links einlaufendes Wellenpaket, welches im Laufe des
Streuprozesses den klassisch chaotischen Teil des Phasenraums einnimmt. Der
Bereich der klassischen Stabilitätsinsel scheint auch vom quantenmechanischen
Partikel nicht erreicht zu werden und tritt als "`Loch"' im Nullpunkt deutlich
hervor.
Abb.~\ref{hsmiR} zeigt die Zeitentwicklung der \name{Husimi}-Funktion für den
resonanten Fall wie in Abb.~\ref{devolRx} und~\ref{devolRp}. Bereits für $t =
20$ erkennt man, daß die Wellenfunktion hier stärker als im nicht resonanten
Fall dazu tendiert, ein Orbit um die Stabilitätsinsel herum zu besetzen. Für
$t = 60$ befindet sich ein großer Anteil der Aufenthaltswahrscheinlichkeit in
diesem Orbit. Das "`Loch"' im Nullpunkt ist wesentlich kleiner als im nicht
resonanten Fall. Wie wir noch sehen werden, befindet sich das Orbit zum Teil
innerhalb der klassischen Stabilitätsinsel. Für $t = 80$ ist erkennbar, daß
der größte Teil des Wellenpakets nach links reflektiert wird. Für größere $t$
beobachten wir, daß die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Orbit allmählich
abnimmt und die Wellenfunktion gleichmäßig nach rechts und links abgestrahlt
wird.
\newcommand{\hsmi}[2]{%
\begin{picture}(6.5,5)
\put(1.21,4.4433){\myincludegraphics{#1.png}}
\put(1,1){\line(0,1){3.5}}
\multiput(1,1.6211)(0,1.1289){3}{\line(1,0){0.15}}
\put(0.75,4.5){\makebox(0,0)[tr]{$p$}}
\put(0.75,3.8789){\makebox(0,0)[r]{\footnotesize $2$}}
\put(0.75,2.75){\makebox(0,0)[r]{\footnotesize $0$}}
\put(0.75,1.6211){\makebox(0,0)[r]{\footnotesize $-2$}}
\put(6.5,1){\line(0,1){3.5}}
\multiput(6.5,1.6211)(0,1.1289){3}{\line(-1,0){0.15}}
\put(1,1){\line(1,0){5.5}}
\multiput(1.58,1)(1.084,0){5}{\line(0,1){0.15}}
\put(6.5,0.75){\makebox(0,0)[tr]{$x$}}
\put(5.92,0.75){\makebox(0,0)[t]{\footnotesize $4$}}
\put(3.75,0.75){\makebox(0,0)[t]{\footnotesize $0$}}
\put(1.58,0.75){\makebox(0,0)[t]{\footnotesize $-4$}}
\put(1,4.5){\line(1,0){5.5}}
\multiput(1.58,4.5)(1.084,0){5}{\line(0,-1){0.15}}
\put(3.75,0){\makebox(0,0)[b]{#2}}
\end{picture}}
\begin{figure}[p]
\begin{center}
\hsmi{h05n0h}{$t = 0$}
\hsmi{h05n20h}{$t = 20$}
\hsmi{h05n40h}{$t = 40$}
\hsmi{h05n60h}{$t = 60$}
\hsmi{h05n80h}{$t = 80$}
\hsmi{h05n93h}{$t = 93$}
\end{center}
\caption{\protect\name{Husimi}-Funktion im nicht resonanten Fall}
\label{hsmiN}
\end{figure}
\begin{figure}[p]
\begin{center}
\hsmi{h05r0h}{$t = 0$}
\hsmi{h05r20h}{$t = 20$}
\hsmi{h05r40h}{$t = 40$}
\hsmi{h05r60h}{$t = 60$}
\hsmi{h05r80h}{$t = 80$}
\hsmi{h05r100h}{$t = 100$}
\hsmi{h05r120h}{$t = 120$}
\hsmi{h05r160h}{$t = 160$}
\end{center}
\caption{\protect\name{Husimi}-Funktion im resonanten Fall}
\label{hsmiR}
\end{figure}
\section{Tunneln in die Stabilitätsinsel}
Die Darstellung eines Zustandes über eine Phasenraumdichtefunktion ermöglicht
es uns, die Kopplung zwischen dem Streuzustand und gebundenen Zuständen näher
zu betrachten.
\newcommand{\hsminsel}[2]{%
\begin{picture}(6.5,5)
\put(1.21,4.4433){\myincludegraphics{#1.png}}
\put(1,1){\line(0,1){3.5}}
\multiput(1,1.6211)(0,1.1289){3}{\line(1,0){0.15}}
\put(0.75,4.5){\makebox(0,0)[tr]{$p$}}
\put(0.75,3.8789){\makebox(0,0)[r]{\footnotesize $1$}}
\put(0.75,2.75){\makebox(0,0)[r]{\footnotesize $0$}}
\put(0.75,1.6211){\makebox(0,0)[r]{\footnotesize $-1$}}
\put(6.5,1){\line(0,1){3.5}}
\multiput(6.5,1.6211)(0,1.1289){3}{\line(-1,0){0.15}}
\put(1,1){\line(1,0){5.5}}
\multiput(1.58,1)(1.084,0){5}{\line(0,1){0.15}}
\put(6.5,0.75){\makebox(0,0)[tr]{$x$}}
\put(5.92,0.75){\makebox(0,0)[t]{\footnotesize $2$}}
\put(3.75,0.75){\makebox(0,0)[t]{\footnotesize $0$}}
\put(1.58,0.75){\makebox(0,0)[t]{\footnotesize $-2$}}
\put(1,4.5){\line(1,0){5.5}}
\multiput(1.58,4.5)(1.084,0){5}{\line(0,-1){0.15}}
\put(3.75,0){\makebox(0,0)[b]{#2}}
\end{picture}}
\newcommand{\hsmii}[3]{%
\begin{picture}(6.5,5)
\put(1.21,4.4433){\myincludegraphics{#1.png}}
\put(1.212,4.4448){\myincludegraphics{#2.png}}
\put(1,1){\line(0,1){3.5}}
\multiput(1,1.6211)(0,1.1289){3}{\line(1,0){0.15}}
\put(0.75,4.5){\makebox(0,0)[tr]{$p$}}
\put(0.75,3.8789){\makebox(0,0)[r]{\footnotesize $1$}}
\put(0.75,2.75){\makebox(0,0)[r]{\footnotesize $0$}}
\put(0.75,1.6211){\makebox(0,0)[r]{\footnotesize $-1$}}
\put(6.5,1){\line(0,1){3.5}}
\multiput(6.5,1.6211)(0,1.1289){3}{\line(-1,0){0.15}}
\put(1,1){\line(1,0){5.5}}
\multiput(1.58,1)(1.084,0){5}{\line(0,1){0.15}}
\put(6.5,0.75){\makebox(0,0)[tr]{$x$}}
\put(5.92,0.75){\makebox(0,0)[t]{\footnotesize $2$}}
\put(3.75,0.75){\makebox(0,0)[t]{\footnotesize $0$}}
\put(1.58,0.75){\makebox(0,0)[t]{\footnotesize $-2$}}
\put(1,4.5){\line(1,0){5.5}}
\multiput(1.58,4.5)(1.084,0){5}{\line(0,-1){0.15}}
\put(3.75,0){\makebox(0,0)[b]{#3}}
\end{picture}}
\begin{figure}[b]
\vspace{-0.5cm}
\begin{center}
\hsminsel{insel}{Stabilitätsinsel} \\
\hsmii{h05n60hh}{insel}{nicht resonant}
\hsmii{h05r60hh}{insel}{resonant}
\end{center}
\caption{Tunneln in die Stabilitätsinsel bei $t = 60$}
\label{hsmiInsel}
\end{figure}
Im Phasenraum stellen sich die gebundenen Zustände als geschlossene Kurven
innerhalb der Stabilitätsinsel dar. Ein klassisches Teilchen kann nicht von
außen in die Stablitätsinsel eindringen, weil es die KAM-Tori nicht
durchdringen kann. Wir können dies ausnutzen, um die genaue Form der
Stabilitätsinsel numerisch zu ermitteln: Wir lassen von weit außerhalb
klassische Teilchen auf das Streuzentrum zufliegen und variieren den
Anfangsort und -Impuls über einen sehr breiten Bereich, so daß der betrachtete
Ausschnitt des Phasenraums im Rahmen des grafischen Auflösungsvermögens durch
die Trajektorien ganz ausgefüllt wäre, wenn es sich um freie Teilchen handeln
würde. Wenn wir nun das Potential wirken lassen, bleibt ein Bereich im
Phasenraum frei, nämlich gerade die Stabilitätsinsel.
\newcommand{\Rgraph}[3]{%
\begin{picture}(7,4)
\put(0.92,3.27){\myincludegraphics{#1.png}}
\put(1.25,4){\makebox(0,0)[tl]{#2}}
\put(1,1){\vector(1,0){5.5}}
\put(6.65,1){\makebox(0,0)[l]{$\frac{\Theta}{2\pi\hbar}$}}
\multiput(1,1)(0,1){3}{\line(-1,0){0.15}}
\put(0.75,0.92){\makebox(0,0)[r]{\footnotesize $0$}}
\put(0.75,3){\makebox(0,0)[r]{\footnotesize $#3$}}
\put(1,1){\vector(0,1){2.5}}
\multiput(1,1)(1,0){6}{\line(0,-1){0.15}}
\put(1,0.75){\makebox(0,0)[t]{\footnotesize $0$}}
\put(5,0.75){\makebox(0,0)[t]{\footnotesize $1$}}
\end{picture}}
\newcommand{\Igraph}[2]{%
\begin{picture}(7,4)
\put(0.92,3.27){\myincludegraphics{#1.png}}
\put(1.25,4){\makebox(0,0)[tl]{#2}}
\put(1,1){\vector(1,0){5.5}}
\put(6.65,1){\makebox(0,0)[l]{$\frac{\Theta}{2\pi\hbar}$}}
\put(1,1){\vector(0,1){2.5}}
\multiput(1,1)(1,0){6}{\line(0,-1){0.15}}
\put(1,0.75){\makebox(0,0)[t]{\footnotesize $0$}}
\put(5,0.75){\makebox(0,0)[t]{\footnotesize $1$}}
\end{picture}}
\newcommand{\RIgraph}[3]{%
\begin{picture}(7,4)
\put(0.92,3.27){\myincludegraphics{#1.png}}
\put(0.92,3.27){\myincludegraphics{#2.png}}
\put(1.25,4){\makebox(0,0)[tl]{#3}}
\put(1,1){\vector(1,0){5.5}}
\put(6.65,1){\makebox(0,0)[l]{$\frac{\Theta}{2\pi\hbar}$}}
\put(1,1){\vector(0,1){2.5}}
\multiput(1,1)(1,0){6}{\line(0,-1){0.15}}
\put(1,0.75){\makebox(0,0)[t]{\footnotesize $0$}}
\put(5,0.75){\makebox(0,0)[t]{\footnotesize $1$}}
\end{picture}}
\begin{figure}[b]
\begin{center}
\Rgraph{h05rges}{$S^-(\Theta)$}{0.5} \Igraph{h05i}{$I(\Theta)$} \\
\RIgraph{h05rges}{h05i}{Überlagerung}
\end{center}
\vspace{-1cm}
\caption{Vergleich von $S^-(\Theta)$ mit $I(\Theta)$
für $\lambda = 1$}
\label{SIvgl1}
\end{figure}
Für ein quantenmechanisches Teilchen stellen, allein schon wegen der
Unschärfe, die KAM-Tori in der Stabilitätsinsel keine unüberwindlichen
Hindernisse dar. Bestenfalls nimmt die Wahrscheinlichkeit ab, das Teilchen im
Inneren der Insel anzutreffen. Analog zum Überwinden einer klassisch
undurchdringlichen Potentialbarriere im Ortsraum können wir hier von einem
{\em Tunneln} der Wellenfunktion im Phasenraum durch die KAM-Tori in die
Stabilitätsinsel sprechen.
Abb.~\ref{hsmiInsel} zeigt eine Überlagerung der Stabilitätsinsel mit der
\name{Husimi}-Funktion nach $60$ Kicks. Schon im nicht resonanten Fall
befindet sich ein sehr kleiner, aber noch erkennbarer Anteil der
Aufenthaltswahrscheinlichkeit des gestreuten Teilchens innerhalb der
Stabilitätsinsel. Im resonanten Fall ist dieser Anteil wesentlich größer und
im Diagramm bereits deutlich erkennbar.
Zur weiteren Überprüfung des in Kapitel~\ref{Quanten} festgestellten
Zusammenhangs zwischen dem Vorhandenseins einer Stabilitätsinsel und den
dynamischen Resonanzen können wir nun das Tunneln der \name{Husimi}-Funktion
in die Stabilitätsinsel in Abhängigkeit von der Quasienergie messen und das
Ergebnis mit dem Reflexionskoeffizienten vergleichen. Hierfür benötigen wir
ein quantitatives Maß für das Tunneln: Zu dem Zeitpunkt, an dem die
Wahrscheinlichkeit, das Teilchen innerhalb des Streuzentrums anzutreffen,
maximal ist, berechnen wir das folgende Integral:
\begin{equation}
I := \int\limits_{\,\displaystyle \I\!}\!\!\!\int \D{x}\>\>\D{p} \, \rho_H(x,p).
\label{defI}
\end{equation}
Wir integrieren hier die \name{Husimi}-Funktion über die Stabilitätsinsel
$\I$, deren genaue Form wir vorher durch Streuung klassischer Teilchen
ermittelt haben, wie am Anfang dieses Abschnittes beschrieben. Wir berechnen
also den Anteil der Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens, der sich zu
diesem Zeitpunkt innerhalb der Stabilitätsinsel befindet.
Abb.~\ref{SIvgl1} zeigt den Gesamt-Reflexionskoeffizienten $S^-(\Theta)$ im
Vergleich zu $I(\Theta)$ für $\lambda = 1$. Man erkennt eine qualitative
Übereinstimmung der Maxima in beiden Kurven. Ein Unterschied besteht darin,
daß die zu $n = 2$ gehörigen Maxima ($n$ wie in Gleichung~\ref{VerschNiveaus})
bei $I$ stärker hervortreten als bei $S^-$. Dieser Effekt macht sich bei
kleineren $\lambda$ weniger stark bemerkbar, so daß wir ein eindeutigeres Bild
erhalten. Abb.~\ref{SIvgl05} zeigt das Bild, das sich bei $\lambda = 0.5$
ergibt.
\begin{figure}[b]
\begin{center}
\Rgraph{l05rges}{$S^-(\Theta)$}{0.01} \Igraph{l05i}{$I(\Theta)$} \\
\RIgraph{l05rges}{l05i}{Überlagerung}
\end{center}
\vspace{-1cm}
\caption{Vergleich von $S^-(\Theta)$ mit $I(\Theta)$
für $\lambda = 0.5$}
\label{SIvgl05}
\end{figure}
In Abb.~\ref{INvgl} wird, nun wieder für $\lambda = 1$, die Tunnelrate
$I(\Theta)$ mit den durch Gleichung~\ref{VerschNiveaus} beschriebenen
verschobenen Energieniveaus verglichen. Für $n = 1$ ist die näherungsweise
richtige Vorhersage der Lage der Maxima weniger offensichtlich als beim
Reflexionskoeffizienten in Abb.~\ref{SNvgl}. Die Übereinstimmung für $n = 2$
hingegen ist hier wesentlich deutlicher erkennbar, da einige Maxima, die
vorher von zu $n = 1$ gehörenden Maxima überlagert wurden, nun hervortreten.
Abbildung~\ref{Morse1i} zeigt $I$ als Funktion von $\lambda$ und $\Theta$ für
dasselbe Experiment wie in Abb.~\ref{Morse1r}. Abbildung~\ref{habh2ei} zeigt
$I$ als Funktion von $\lambda$ und $\Theta$ wie in Abb.~\ref{habh2er}. Die
durchgezogenen Linien stehen wieder für die die durch
Gleichung~\ref{VerschNiveaus} beschriebenen Quasienergien mit $n=1$, die
gestrichelten Linien für diejenigen mit $n=2$. Die Übereinstimmung zwischen
der Tunnelrate $I$ und den verschobenen Energieniveaus in ihrer Abhängigkeit
von den Parametern $\lambda$ bzw.~$\hbar$ ist deutlich erkennbar und belegt
den Zusammenhang zwischen den dynamischen Resonanzen und einem Tunneln in die
Stabilitätsinsel.
\newcommand{\IIgraph}[2]{%
\begin{picture}(7,4)
\put(0.92,3.27){\myincludegraphics{#1.png}}
\put(1.25,4){\makebox(0,0)[tl]{#2}}
\put(1,1){\vector(1,0){5.5}}
\put(6.65,1){\makebox(0,0)[l]{$\frac{\Theta}{2\pi\hbar}$}}
\put(1,1){\vector(0,1){2.5}}
\multiput(1,1)(1,0){6}{\line(0,-1){0.15}}
\put(1,0.75){\makebox(0,0)[t]{\footnotesize $0$}}
\put(5,0.75){\makebox(0,0)[t]{\footnotesize $1$}}
\end{picture}}
\newcommand{\INgraph}[4]{%
\begin{picture}(7,4)
\put(0.92,3.27){\myincludegraphics{#1.png}}
\put(0.92,3.27){\myincludegraphics{#2.png}}
\put(1.25,4){\makebox(0,0)[tl]{#3}}
\put(1,1){\vector(1,0){5.5}}
\put(6.65,1){\makebox(0,0)[l]{$\frac{\Theta}{2\pi\hbar}$}}
\put(1,1){\vector(0,1){2.5}}
\multiput(1,1)(1,0){6}{\line(0,-1){0.15}}
\put(1,0.75){\makebox(0,0)[t]{\footnotesize $0$}}
\put(5,0.75){\makebox(0,0)[t]{\footnotesize $1$}}
\put(2,0.25){\makebox(0,0)[b]{#4}}
\end{picture}}
\begin{figure}[t]
\begin{center}
\RRgraph{h05rges}{$S^-(\Theta)$}
\IIgraph{h05i}{$I(\Theta)$} \\
\INgraph{h05i}{h05niv1}{$I(\Theta)$}{$n=1$}
\INgraph{h05i}{h05niv2}{$I(\Theta)$}{$n=2$} \\
\INgraph{h05i}{h05niv1v}{$I(\Theta)$}{$n=1.035$}
\INgraph{h05i}{h05niv2v}{$I(\Theta)$}{$n=2.070$} \\
\end{center}
\vspace{-0.5cm}
\caption{Vergleich von $I(\Theta)$ mit $E_k + n \cdot 2\pi\hbar$}
\label{INvgl}
\end{figure}
Es sei noch bemerkt, daß sich das Phänomen, daß die zu $n = 2$ gehörenden
Resonanzen bei $I$ stärker hervortreten als bei $S^-$ sich auch in
Abb.~\ref{Morse1i} und~\ref{habh2ei} reproduziert. Die stärksten Tunnelraten
beobachten wir dort, wo sich die zu $n = 1$ und die zu $n = 2$ gehörenden
Resonanzlinien schneiden.
\clearpage
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\LNGraph{morse1i}{morse1n}{}
\end{center}
\caption{$I$ als Funktion von $\Theta$ und $\lambda$ für $\hbar = 0.05$}
\label{Morse1i}
\end{figure}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\HNGraph{habh2ei}{habh2en}{$I(\Theta,\alpha)$}
\end{center}
\caption{$I$ als Funktion von $\Theta$ und $\hbar$ für $\lambda = 1$}
\label{habh2ei}
\vspace*{-3cm}
\end{figure}
insel.png 0 → 100644
insel.png

2.19 KiB

intro.tex 0 → 100644
\maketitle
\tableofcontents
\listoffigures
\chapter{Einführung}
% \section{Chaos und Quantenchaos}
Ein wichtiges Ziel der Physik war es immer, die Wirklichkeit durch
ein mathematisches Modell zu beschreiben und auf diese Weise vorhersagbar
zu machen. So war es von grundlegender Bedeutung, als Sir \name{Isaac}
\name{Newton} vor über 300 Jahren erkannte, daß die Himmelsmechanik und die
erfaßbare Alltagswirklichkeit von denselben Naturgesetzen bestimmt werden
\cite{IsNewton}. Aus diesen Gesetzen hat sich inzwischen die {\em
\name{Newton}sche} oder {\em klassische Mechanik} als eine in sich
geschlossene Theorie entwickelt, innerhalb derer das Verhalten jedes
physikalischen Systems durch Lösen eines Differentialgleichungssystems und
Kenntnis eines Anfangszustandes im Prinzip für alle Zeiten vorhersagbar
ist.
\name{Henri} \name{Poincaré} war um 1890 der erste, der eine Grenze dieser
Vorhersagbarkeit erkannte, nämlich die stets mit einem Fehler behaftete
Kenntnis des Anfangszustandes (siehe \zB\ \cite[\S~23]{Poincare}). Die auf
den ersten Blick selbstverständlich erscheinende Annahme, daß ein kleiner
Fehler auch nur kleine Abweichungen in der Vorhersage bewirken würde,
erwies sich als unhaltbar: In den meisten Systemen kann es vorkommen, daß
Fehler in den Anfangsbedingungen im Laufe der Zeit exponentiell anwachsen;
die Wachstumsrate bezeichnet man als {\em\name{Lyapunov}-Exponent}. Auf
diese Weise werden Vorhersagen nur für sehr kurze Zeiten möglich.
Funktionen, die einen Anfangszustand auf einen Endzustand abbilden, sind in
solchen Fällen {\em Fraktale}, das heißt, sie weisen auf beliebig kleinen
Intervallen noch Strukturen auf. Die Abbildungen \ref{pFrak1} und
\ref{pFrak3} zeigen solche Fraktale und illustrieren, daß nur für ganz
bestimmte Anfangszustände des zugrundeliegenden physikalischen Vorgangs --
Streuung an einem eindimensionalen, zeitlich periodischen Potentialtopf --
sinnvolle Voraussagen des Endzustands möglich sind.
Ein System, das sich derartig verhält, bezeichnen wir als {\em (klassisch)
chaotisch}; ein System, für welches -- durch das Vorhandensein hinreichend
vieler {\em Bewegungsintegrale} -- chaotisches Verhalten von vorneherein
ausgeschlossen werden kann, heißt {\em integrabel}. Ein typisches Beispiel
für ein integrables System ist ein Pendel -- ein {\em harmonischer
Oszillator}. Das ausgesprochen regelmäßige Verhalten eines Pendels ist seit
Jahrhunderten Voraussetzung für den Bau von Pendeluhren. Wenn wir
allerdings ein Pendel an einem anderen Pendel befestigen, erhalten wir
bereits ein chaotisches System, ein sogenanntes {\em Doppelpendel}. Wenn
ein Doppelpendel in geeigneter Weise angestoßen wird, beschreibt das Ende
eine sehr unregelmäßige und nicht exakt vorhersagbare Bahn.
\breath
Mittlerweile haben genauere experimentelle Befunde gezeigt, daß die
klassische Mechanik die Wirklichkeit nur unvollkommen abbildet: In der Welt
der Atome und Elemen"-tarteilchen zum Beispiel scheinen ganz andere
Naturgesetze zu herrschen. So verliert etwa die einfache Aussage, daß sich
ein Teilchen an einem ganz bestimmten Ort befindet, in diesem Zusammenhang
ihre Bedeutung, da Ort und Impuls nicht gleichzeitig als exakte Werte
existieren; stattdessen sind beide Größen bereits von der Natur mit Fehlern
ausgestattet, deren Produkt stets größer oder gleich einer Naturkonstanten
ist, nämlich der Hälfte des {\em\name{Planck}schen
Wirkungsquantums}~$\hbar$. Diese sog.~{\em\name{Hei"-sen"-berg}"-sche
Unschärferelation} hat nur deswegen keine unmittelbaren Auswirkungen auf
unseren Alltag, weil $\hbar$ sehr klein ist. Prinzipiell gilt jedoch: Ein
ruhendes Teilchen (mit dem scharf definierten Impuls Null) {\em hat keinen
Ort}, sondern es verteilt sich gleichmäßig über den gesamten Raum, und
umgekehrt hat ein Teilchen, das sich an einem scharf definierten Ort
befindet, {\em keine Geschwindigkeit} -- oder jede Geschwindigkeit
gleichzeitig.
\begin{figure}[t]
\begin{center}
\begin{picture}(4,3)
\thicklines
\put(0,3){\line(1,0){4}}
\put(2,3){\line(1,-2){1}}
\put(3,1){\circle*{0.15}}
\put(3,1){\line(-1,-1){1}}
\put(2,0){\circle*{0.15}}
\end{picture}
\end{center}
\caption{Doppelpendel}
\end{figure}
Das Problem des Zusammenhangs zwischen der klassischen Mechanik und der
Quantenmechanik ist bis heute noch nicht vollständig gelöst. Insbesondere
bestehen Schwierigkeiten bei der Übertragung des klassischen Konzepts des
Chaos in die Quantentheorie.
\breath
Seit längerer Zeit sind quantenmechanische Phänomene bekannt, die die
Bezeichnung "`chaotisch"' rechtfertigen können: In bestimmten atomaren
Streusystemen kann es vorkommen, daß die Elemente der {\em S-Matrix} in
einer charakteristischen, aber unvorhersagbaren Weise fluktuieren (siehe
Abb.~\ref{Ericson}). Dieses Phänomen bezeichnet man als {\em
\name{Ericson}-Fluktuationen} \cite{E60,E63}. Zur Behandlung von solchen
"`chaotischen"' Matrizen wurde die {\em Zufallsmatrix-Theorie} entwickelt
\cite[Kap.~4]{Fritz}.
Die Entdeckung irregulären Verhaltens in quantenmechanischen Systemen
allein ge"-nügt jedoch nicht, um das Problem der Charakterisierung eines
{\em Quantenchaos} zu lösen. Was fehlt, ist der Übergang zwischen der
klassischen und der quantenmechanischen Beschreibung desselben chaotischen
Systems. Gesucht werden quantenmechanische Eigenschaften eines Systems,
anhand derer es sich als klassisch chaotisch bzw.~nicht chaotisch ausweist.
In dieser Arbeit soll eine Korrespondenz zwischen einer rein klassischen
und einer rein quantenmechanischen Eigenschaft analytisch begründet und
numerisch nachgewiesen werden. Das zugrundeliegende System ist ein
eindimensionales {\em Streusystem}, das unter bestimmten Voraussetzungen
chaotisches Verhalten aufweist. Ein solches Verhalten bezeichnet man als
{\em irreguläre Streuung}.
% \section{Irreguläre Streuung}
\breath
Die Betrachtung des exponentiellen Anwachsens von Fehlern über einen langen
Zeitraum hinweg ist nur für solche Systeme sinnvoll, die auch über einen
langen Zeitraum hinweg beobachtet werden können. In {\em Streusystemen}
hingegen betrachtet man ein Teilchen, das sich zunächst auf ein
Streuzentrum -- hier: einen zeitlich periodischen Potentialtopf --
zubewegt, dort gestreut wird und nach einer gewissen Zeit das Streuzentrum
wieder verläßt. Man kann zeigen, daß für solche {\em endlichen}
Wechselwirkungszeiten der Endzustand stetig vom Anfangszustand abhängen
muß. Aus diesem Grunde war man bis 1986 der Ansicht, daß der Begriff des
Chaos nur für {\em gebundene} Systeme einen Sinn ergäbe, in denen das
Teilchen stets der Wechselwirkung ausgesetzt bleibt. Dann jedoch stellten
B.~\name{Eckhardt} und C.~\name{Jung} fest, daß in bestimmten Streusystemen
beliebig lange Verweilzeiten im Streuzentrum vorkommen können, so daß eine
empfindliche Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen wie in gebundenen
Systemen wieder möglich wird, und sie definierten auf diese Weise erstmalig
den Begriff der {\em irregulären Streuung} \cite{EJ86}.
1988 stellten R.~\name{Blü"-mel} und U.~\name{Smi"-lan"-sky} einen Zusammenhang
zwischen klassischer irregulärer Streuung und gewissen quantenmechanischen
Eigenschaften eines Streusystems fest \cite{BS88,BS89}: mit semiklassischen
Argumenten konnten R.~\name{Blü"-mel} und U.~\name{Smi"-lan"-sky} die
\name{Ericson}-Fluktuationen aus dem Verhalten der Verweilzeit eines
klassischen Partikels im Streuzentrum herleiten. Sie bezeichneten die
\name{Ericson}-Fluktuationen als einen "`\,\glq Fingerabdruck\grq\ des
klassischen Chaos in der quantenmechanischen Beschreibung"' \cite{BS89}.
In den gleichen Arbeiten wiesen sie nach, daß die S-Matrix eines klassisch
chaotischen Streusystems eine Zufallsmatrix aus dem {\em \name{Dyson}schen
orthogonalen Ensemble} ist.
Die in den oben erwähnten und in weiteren Arbeiten
\cite{J86,JS87,E87,GR89a,GR89b,BOG89,BS90,JT91}
betrachteten Systeme haben gemeinsam, daß das klassische Chaos vollständig
ist, \dh~es existiert kein Bereich im {\em Phasenraum}, in dem sich das
System noch regulär verhält. Man erkennt diese Eigenschaft auch daran, daß
die Verweilrate im Streuzentrum exponentiell abfällt \cite{JT91}. Erst in
neuester Zeit werden auch Systeme betrachtet, bei denen noch {\em
Stabilitätsbereiche} im Phasenraum existieren und demzufolge die
Verweilrate nur algebraisch abfällt \cite{LBOG92,BDJS92}, wobei allerdings
Aussagen über den vollständig chaotischen Fall im Vordergrund stehen.
Eine weitere Gemeinsamkeit aller \oa~Arbeiten ist, daß sie Systeme mit zwei
Freiheitsgraden und einem zeitunabhängigen Potential behandeln. Diese
Vereinfachungen gegenüber einem "`realistischen"' System sind notwendig, um
eine numerische Berechnung des Systems überhaupt möglich zu machen.
Das in dieser Arbeit betrachtete System ist ein Streusystem mit nur einem
Freiheitsgrad und einem zeitlich periodischen Potential. Damit nehmen wir
auf der einen Seite eine weitere Vereinfachung, auf der anderen Seite eine
Verallgemeinerung vor und beleuchten somit andere Teilaspekte der
Wirklichkeit als bisherige Arbeiten.
Ziel dieser Arbeit ist es, auch für den klassisch nicht vollständig
chaotischen Fall einen quantenmechanischen "`Fingerabdruck"' zu finden und
den physikalischen Mechanismus zu untersuchen, durch den er zustandekommt.
In Kapitel~\ref{Klassik} werden einige grundlegende klassische
Eigenschaften des Systems und die numerische Vorgehensweise vorgestellt.
Die empfindliche Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen -- das Kriterium
für irreguläre Streuung -- wird überprüft. Speziell wird numerisch gezeigt,
daß der Ausgangsimpuls $p_\aus$ als Funktion des Eingangsimpulses $p_\ein$
ein Fraktal ist. Es wird die für uns wesentliche Eigenschaft des Systems
vorgestellt, daß in Abhängigkeit von einem Parameter $\lambda$ entweder
eine {\em Stabilitätsinsel} im Phasenraum oder vollständiges Chaos
vorliegt. Das exponentielle bzw.~algebraische Abfallen der Verweilrate im
Streuzentrum für lange Zeiten, anhand dessen sich beide Fälle unterscheiden
lassen, wird numerisch überprüft.
Für beide Fälle wird in Kapitel~\ref{Quanten} eine quantenmechanische
Untersuchung durchge"-führt. Für den vollständig chaotischen Fall wird die
Aussage von R.~\name{Blü"-mel} und U.~\name{Smi"-lan"-sky}, daß die
Reflexionskoeffizienten \name{Ericson}-Fluktuationen aufweisen, für unser
zeitabhängiges System bestätigt. Für den Fall mit einer Stabilitätsinsel
werden die von P.~\seba\ entdeckten {\em dynamischen Resonanzen}
\cite{Seba1,Seba2}, eine regelmäßige Struktur von Maxima in den
Reflexionskoeffizienten, nachgewiesen. In erster Ordnung Störungstheorie
wird eine Formel hergeleitet, welche die relative Lage der Maxima und ihre
Abhängigkeit von $\lambda$ und $\hbar$ richtig vorhersagt.
In Kapitel~\ref{Husimi} wird mit Hilfe der quantenmechanischen
Phasenraumdichtefunktion nach K.~\name{Husimi} \cite{T89} ein unmittelbarer
Zusammenhang zwischen dem Vorhandensein der Stabilitätsinsel und dem
Auftreten der dynamischen Resonanzen numerisch belegt. Es wird gezeigt, daß
es sich bei dem physikalischen Mechanismus, der zu den dynamischen
Resonanzen führt, um ein "`Tunneln"' der Wellenfunktion im Phasenraum
zwischen der Stabilitätsinsel und dem chaotischen Bereich handelt.
In Kapitel~\ref{Extra} schließlich werden Verallgemeinerungen vorgenommen,
die der besseren Übersicht halber in den vorherigen Kapiteln unerwähnt
blieben. Des weiteren werden offene Fragen und Ansätze zur Weiterführung
der Untersuchungen diskutiert.
kam10m10.png

11.5 KiB

0% Loading or .
You are about to add 0 people to the discussion. Proceed with caution.
Please register or to comment