1_Einleitung.tex

\section{Einleitung%
         \label{sec:Einleitung}}

\textbf{Diskretisierung.} Diskrete Systeme werden im Rahmen der digitalen Signalverarbeitung und der Regelungstechnik entworfen, in letzterer zumeist mit Bezug zu kontinuierlichen, physikalischen Modellen. Zwei wesentliche Motive können hier vorliegen, um kontinuierliche Systeme zu diskretisieren, also sie durch ein mit fester Abtastzeit arbeitendes, diskretes System zu approximieren.

\begin{enumerate}
\item Hat man mit klassischen Methoden einen kontinuierlichen Regler entworfen, z. B. anhand eines Streckenmodells, dann erfordert die Realisierung auf einem Rechner (einer echtzeitfähigen Hardware beliebiger Art) eine diskrete Approximation, also ein unter Beachtung der Abtastzeit \textbf{den kontinuierlichen Regler} \textit{möglichst gut}  nachbildendes diskretes Modell. Dies ist immer erforderlich, wenn nicht Bibliotheken für die automatisierte Übersetzung kontinuierlicher Parameter, z. B. für PID-Regler, oder andere Software zur Verfügung steht, welche eine numerische Lösung bieten (wie z. B. MATLAB-Coder\texttrademark).  
\item Eine etwas andere Vorgehensweise des Reglerentwurfs besteht darin, den diskreten Regler direkt anhand eines diskreten Streckenmodells zu entwerfen. Dafür ist jetzt also die \textbf{Strecke bzw. das kontinuierliche Streckenmodell} zu diskretisieren. Anschließend steht eine eigene Welt von Methoden für den diskreten Reglerentwurf zur Verfügung, welche oft Ähnlichkeiten mit klassischen kontinuierlichen Methoden aufweisen, aber letztlich eigenständige Methoden darstellen.
\end{enumerate}

Der Verdacht liegt nahe, dass man in beiden Fällen anstrebt, das kontinuierliche System \textit{möglichst gut} zu approximieren. Allerdings gilt für den zweiten Fall der Streckendiskretisierung, dass man aus Sicht des zu entwerfenden Reglers tatsächlich das Verhalten des kontinuierlichen Modells in Reihe geschaltet mit einem Halteglied erster Ordnung (ZOH, Zero-Order-Hold) nachbilden will. Das resultierende System heißt Abtastsystem, worauf in Kapitel \ref{sec:Regelung} eingegangen wird. Man erhält es durch ZOH-Diskretisierung (Kap. \ref{sec:ZOH-Diskretisierung}) der kontinuierlichen Strecke. Das so erzeugte diskrete System liefert Werte am Ausgang, welche exakt auf der kontinuierlichen Antwort des Streckenmodells liegen, wenn dieses durch ein Halteglied erster Ordnung (ZOH) erzeugte, mit der Periode der Abtastzeit stufenförmige Eingangssignale erhält. Diese Forderung der Exaktheit aus Perspektive des Regler unterscheidet sich fundamental von der Aufgabe, den Regler möglichst gut zu approximieren. Dazu werden in der Praxis die Tustin-Diskretisierung (Kap. \ref{sec:Tustin-Approximation})  oder Matched-Filter-Diskretisierung (Kap. \ref{sec:FOH-Diskretisierung}) verwendet,
%oder FOH-Diskretisierung (Kap. \ref{sec:FOH-Diskretisierung}) verwendet
welche auf "`schnellere"' diskrete Systeme führen, was auch für FOH-Diskretisierung (Kap. \ref{sec:FOH-Diskretisierung}) gelten müsste.

In der digitalen Signalverarbeitung approximiert man anlaloge Filter u. a. aus den selben Motiven wie in der Regelungstechnik. Die klassischen Entwurfsverfahren im Kontinuierlichen können so eingesetzt werden, bevor zum Schluss die Transformation erfolgt. Andererseits wurden in beiden Disziplinen Methoden für den direkten Systementwurf diskreter Systeme aus dafür formulierten Anforderungen entwickelt. Die Approximation kontinuierlicher Systeme zielt typischerweise je nach Anwendung auf unterschiedliche Eigenschaften, wie den Frequenzgang oder die Impulsantwort bei der Impuls-Diskretisierung ab (Kap. \ref{sec:Impulse-Diskretisierung}). Auch der Matched-Filter Ansatz, bei welchem Pole und Nullstellen des diskreten Systems gezielt gesetzt werden, spielt in der digitalen Signalverarbeitung eine größere Rolle.

Weitere Motive zur Ermittlung diskreter Systeme können in der Analyse, Simulation, oder modellbasierten Diagnose technischer Systeme liege. Die Ermittlung eines Modells aus Messungen an einem realen System wird als Identifikation bezeichnet. So kann z. B. näherungsweise eine Impulsantwort gemessen werden oder der Eingang als stückweise konstant (ZOH-Modell) oder als lineare interpolierende Rampe (FOH-Modell) interpretiert werden. Ein diskretes Modell aus den Messwerten zu ermitteln, ist oft der einfachere Weg, so dass bei Bedarf in einem zweiten Schritt in ein kontinuierliches Modell transformiert werden kann. 

Besonders einfach sind die Ansätze der Euler-Diskretisierung \ref{sec:Euler-Diskretisierung} welche schnell auch auf nicht-lineare Modelle angewendet werden können. Nach Rekapitulation einiger wichtige Begriffe der Systemtheorie im Grundlagenkapitel \ref{sec:Grundlagen} sollen in Kapitel \ref{sec:Diskretisierungsmethoden} alle genannten Ansätze auch aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden, um einen systematischen Überblick zu ermöglichen.

\begin{landscape}

\begin{table}[H]
  \caption{Diskretisierungsansätz und deren Eigenschaften%
           \label{table:massen}}
  %\medskip
  \begin{center}
    \begin{tabular}{l|c|c|c|c|c|c|r}
      Verfahren                   & $s\mapsto z$ ? &  $s$-Mapping   		 &Integrator       & Zeitfunktion  & Pol-Mapping    			& Nullstellen   &$K_s = G_d(1)$\\
      \hline
      Forward-Euler             & Ja 		&  $s\equiv (z-1)/T$     		 &$\displaystyle T\frac{1}{z-1}$ &    -          &$z_i =s_iT + 1$ 			&$z_{i0} =s_{i0}T + 1$& $=G_k(0)$\\
      \hline
	Backward-Euler           & Ja  		&  $s\equiv \frac{z-1}{zT}$      &$\displaystyle \frac{Tz}{z-1}$ & -             &$z_i = \frac{1}{1-s_iT}$   & \begin{tabular}{@{}c@{}}$z_{i0}\ = \frac{1}{1-s_{i0}T} ~\&~ (m-n)$\\Nullstellen bei $z_{i0}=0$\end{tabular}
			%$z_i = \frac{1}{1-s_iT} +(m-n)$ Nullstellen bei $z_{i0}=0$  
			& $=G_k(0)$ \\
			\hline
      Tustin                       & Ja    &  $s\equiv \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}$    & $\displaystyle\frac{T}{2} \frac{z+1}{z-1}$  & -& $z_{i} = \frac{2/T+s_{i}}{2/T-s_{i}}$ &
											\begin{tabular}{@{}c@{}}$z_{i0} = \frac{2/T+s_{i0}}{2/T-s_{i0}}  ~\&~ (n-q)$\\Nullstellen bei $z_{i0}=-1$\end{tabular}
											  & $=G_k(0)$\\
      \hline
	Impuls         & Nein    &	- 		&$\displaystyle \frac{z}{z-1}$	 			&g(kT)=g(t)&$z_i=e^{s_i T}$ &  &$\displaystyle \lim_{T->0}G_d(1)=G_k(0)$\\
			\hline
	ZOH   										& Nein	&-  &		$\displaystyle \frac{Tz}{z-1}$ 		&    h(kT)=h(t)&$z_i=e^{s_i T}$& &$=G_k(0)$\\
      \hline
	FOH       		     &	Nein	&-	 	& $\displaystyle \frac{T}{2} \frac{z+1}{z-1}$ 	&Rampe $r(kT)=r(t)$  &$z_i=e^{s_i T}$&  &$=G_k(0)$\\
      \hline
			Mathched Filter 					& Nein   & -&-&-  &$z_i=e^{s_i T}$& $z_{i0}=e^{s_{i0} T}$  & setze $=G_k(0)$\\
      %Holzplatte               &       14 \\
      %Drehzahlsensoren         &        5 \\
      \hline
      %Gesamtmasse              &      226 \\
    \end{tabular}
  \end{center}
\end{table}

%
%\begin{table}[H]
  %\caption{Diskretisierungsansätz und deren Eigenschaften%
           %\label{table:massen}}
  %%%\medskip
  %\begin{center}
    %\begin{tabularx}{2cm}{X|X|X|X|X|X|X|c}
      %Verfahren                 & $s\mapsto z$ ? &  $s$-Mapping &Integrator       & Zeitfunktion  & Pol-Mapping    			& Nullstellen   &$K_s$\\
      %\hline
      %Forward-Euler             & Ja 		&  $s\equiv (z-1)/T$    &$T\frac{1}{z-1}$ &    -          &$z_i =s_iT + 1$ 			&$z_{i0} =s_{i0}T + 1$& $=G_k(0)$\\
      %Backward-Euler            & Ja  	&  $s\equiv \frac{z-1}{zT}$     &$\frac{Tz}{z-1}$ & -             &$z_i = \frac{1}{1-s_iT}$   &$z_i = \frac{1}{1-s_iT} +(m-n)$      %Gesamtmasse              &      226 \\
    %\end{tabularx}
  %\end{center}
%\end{table}