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7_Tustin-Diskretisierung.tex

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  • Jan Falkenhain's avatar
    Jan Falkenhain authored
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    History
    7_Tustin-Diskretisierung.tex 9.46 KiB
    \subsection{Tustin-Approximation / Trapez-Regel
             \label{sec:Tustin-Approximation}}
    
    \textbf{Integrationsmethode.} Die Tustin-Approximation kann mit der Integration nach der Trapez-Regel identifiziert werden. Betrachtet man die bisherigen Integrationsansätze, drängt sich ein verbesserter Ansatz für die Flächenberechnung zwischen zwei Zeitpunkten mit Hilfe der Trapez-Regel auf. Dazu wird aus dem Wert $I(kT)$ rekursiv der nächste Wert wie folgt berechnet:
    
    \begin{minipage}[c]{0.49\linewidth}
    \begin{align*}
    I((k+1)T)=T \frac{x((k+1)T)+x(kT)}{2} + I(kT)
    \end{align*}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[c]{0.49\linewidth}
    \begin{center}
    
    \begin{tikzpicture}%[domain=0:4]
    %\draw[very thin,color=gray] (-0.1,-1.1) grid (6,1.0);
    %\draw[-] (-0.1, 1) node[left] {1} -- (0.1,1);
    %\draw[-] (-0.1, 2) node[left] {2} -- (0.1,2);
    %\draw[-] (-0.1, 3) node[left] {3} -- (0.1,3);
    
    \draw[-] (1, -0.1) node[below ] {$kT$} -- (1,0.75);
    %\draw[-] (2, -0.1) node[below] {2} -- (2,0.1);
    %\draw[-] (3, -0.1) node[below] {3} -- (3,0.1);
    \draw[-] (4, -0.1) node[below] {(k+1)T} -- (4,3);
    
    \draw[->] (-0.2,0) -- (4.2,0) node[right] {$t$};
     \draw[->] (0,-1.2) -- (0,3.2) node[above right] {$x(t)$};
    
     \draw[color=blue, samples=150, domain=0.3:4.5]   plot (\x,{-1-0.25*\x^2 + 2*\x})   %node[right] {$f(x) = \sin (2\pi x)$}
     ;
    \draw[dashed] (1, 0.75) node[left] {$x_k$} -- (4,3) node[left] {$x_{k+1}~~~$};
     %\draw[color=blue, samples=150, domain=3:4]   plot (\x,{sqrt(\x )})   %node[right] {$f(x) = \sin (2\pi x)$}
     %;
    \end{tikzpicture}
    
    \end{center}
    \end{minipage}
    
    
    
    Gehen wir auf die E/A-Namensgebung zurück und verwenden diskrete Indizes, also für den Integrator 
    \begin{align*}
    y(k+1)&=T \frac{u(k+1)+u(k)}{2} + y(k)\\
    &\laplace\\
    zY(z)&=Y(z)+ \frac{T}{2} (zU(z)+U(z))\\
    \end{align*}
    dann erhalten wir aus der Differenzengleichung auch die Übertragungsfunktion für den Akkumulator.
    \begin{align*}
    \frac{Y(z)}{U(z)}= \frac{T}{2}   \frac{z+1}{z-1} =G_A(z)
    \end{align*}
    
    \begin{tikzpicture}[node distance=2.5cm,auto,>=latex', scale=3]
        \node [int] (a) {$\text{A}_\text{Tustin}$};   %\node [int, pin={[init]above:$v_0$}] (a) {$\int$};
        \node (b) [left of=a,node distance=2cm, coordinate] {a};
        \node (c) [right of=a] {$$}; %\node [int, pin={[init]above:$p_0$}] (c) [right of=a] {$\int$};
        \node (d) [right of=c] {$$};
        \node (e) [right of=d] {$y(k)=T \frac{u(k)+u(k-1)}{2} + y(k-1)$};
        \node [coordinate] (end) [right of=c, node distance=2cm]{};
        \path[->] (b) edge node {$u(k)$} (a);
        \path[->] (a) edge node {$y(k)$} (c);
    \end{tikzpicture}
    
    Es gilt die Entsprechung 
    \begin{align}\label{eq:sTustin}
    s\equiv \frac{2}{T}   \frac{z-1}{z+1}~~~\text{bzw.}~~~z\equiv \frac{2/T +s}{2/T-s} =  \frac{1+s\cdot T/2}{1-s\cdot T/2} ~~.
    \end{align}
    
    \textbf{Reihenentwicklung}. Aus einer anderen Perspektive hängen s-Ebene und z-Ebene wie folgt zusammen
    \begin{align*}
    z = e^{sT} \Leftrightarrow s=\frac{1}{T} \ln(z)~~,
    \end{align*}
    wie bei der Einführung der z-Transformation erfolgt.
    Setzt man jedoch den Ausdruck für $s$ so in eine Übertragungsfunktion ein, erhält man keinen Term, der eine lineare z-Übertragungsfunktion darstellt. Laut \cite{unbehauen2000RT2} kann der natürliche Logarithmus in eine Reihe entwickelt werden. Die spezielle Darstellung lässt sich aus der bekannten Taylor-Reihe des natürlichen Logarithmus herleiten, was in Anhang \ref{anh:Logarithmus} verschoben wurde.
    \begin{align*}
    s &= \frac{2}{T}\left(\frac{z-1}{z+1} + \frac{1}{3} (\frac{z-1}{z+1})^3 + \frac{1}{5}(\frac{z-1}{z+1})^5\hdots \right) \\
    &\approx \frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1}
    \end{align*}
    Durch Abbruch nach dem ersten Summanden entsteht der bekannte Zusammenhang \eqref{eq:sTustin}.
    
    Unter dem Begriff der Padé-Approximation wird eine Reihenentwicklung in gebrochen rationalen Funktionen durchgeführt. Dies kann auch auf die e-Funktion angewendet werden und man erhält durch Beschränkung auf eine Approximation erster Ordnung den Zusammenhang \eqref{eq:sTustin} ebenfalls.
    
    
    \textbf{Differenziation.} Die beiden Euler-Methoden aus Kap. \ref{sec:Euler-Diskretisierung} wurden dardurch motiviert, dass der Differzenquotient die Ableitung genau an den Abtastzeitpunkten approximiert. Versuchen wir stattdessen die Approximation genau zwischen zwei Abtastzeitpunkten also für die Ableitung
    \begin{align*}
    \dot x_k((k-\frac{1}{2}) T) \approx \frac{x(k)-x(k-1)}{T} 
    \end{align*}
    anzunähern, wo auch der Signalwert
    \begin{align*}
    x_k((k-\frac{1}{2}) T) \approx \frac{x(k)+x(k-1)}{2} 
    \end{align*}
    approximiert wird, dann gilt für den den Differenziator $y=\dot u$ die Diskretisierung
    \begin{align*}
    \frac{y(k)+y(k-1)}{2} = \frac{u(k)-u(k-1)}{T}
    \end{align*}
    Der kausale Differenzierer ist also durch
    \begin{align*}
    y(k)=\frac{2}{T}(x(k)-x(k-1))-y(k-1);~~G_D(z) = \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}
    \end{align*}
    gegeben.
    
    
    \textbf{Pol-/Nullstellenverschiebung}
    Anhand der Pol-/Nullstellenform betrachtet, wird deutlich, dass die Nullstellen genauso abgebildet werden, wie die Pole. Zusätzlich erhält man $n-q>0$ Nullstellen bei $z_{i0} = -1$
    \[
    G(s) =\frac{\Pi_{i=1}^q (s-s_{0i})}{\Pi_{i=1}^n (s-s_i)}\leftrightarrow 
    \frac{\Pi_{i=1}^q (\frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1}-s_{0i})}{\Pi_{i=1}^n (\frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1}-s_i)}
    =\frac{\Pi_{i=1}^q (z- \frac{2/T+S_{i0}}{2/T-s_{i0}})\cdot (1-\frac{T}{2}s_{i0})}{\Pi_{i=1}^n (z - \frac{2/T+S_{i}}{2/T-s_{i}})\cdot (1-\frac{T}{2}s_{i})}\cdot (\frac{T}{2} (z+1))^{n-q}~~.
    \]
    
    
    \textbf{Zustandsraummodell.} In \cite{WolframVogt} wird das ZRM im z-Bereich aus der kontinuierlichen Zustandsgleichung im Frequenzbereich
    \begin{align*}
     s{\jv X}(s) &= \jv A_k \jv X(s) + \jv B_k \jv U(s) ~~\overbrace{\rightarrow}^{\text{Tustin}}~~ \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}{\jv X}(z) = \jv A_k \jv X(z) + \jv B_k \jv U(z)
    \end{align*}
    über den Ansatz \eqref{eq:sTustin} hergeleitet. Da ZRM-Darstellungen nicht eindeutig sind, werden dort mehrere Formen für den Spezialfall $\jv D= \jv 0, \jv C=\jv I$ berechnet. Im allgemeinen Fall gilt
    \begin{align*}
     \frac{z-1}{z+1}{\jv X}(z) &= \underbrace{\frac{T}{2}\jv A_k}_{\tilde{\jv A}} \jv X(z) + \underbrace{\frac{T}{2}\jv B_k}_{\tilde{\jv B}} \jv U(z)\\
    (\jv I-\tilde{\jv A})z \jv X(z) &= (\jv I+\tilde{\jv A})\jv X(z) + \tilde{\jv B} (z+1) \jv U(z)\\
    z \jv X(z) &= \underbrace{(\jv I-\tilde{\jv A})^{-1}(\jv I+\tilde{\jv A})}_{\jv A_d}\jv X(z) + (\jv I-\tilde{\jv A})^{-1}\tilde{\jv B} (z+1) \jv U(z)\\
    \Laplace\\
    \jv x_{k+1} &= \jv A_d \jv x_k + (\jv I-\tilde{\jv A})^{-1}{\tilde{\jv B}} (\jv u_{k+1} + \jv u_k)
    \end{align*}
    
    Um auf ZRM-Form zu kommen, folgen wir dem Ansatz x.y, welcher hier einer Zustandstransformation
    y.z
    entspricht und erhalten
    %\boxed{
    \begin{empheq}[box=\fbox]{align*}
    %\boxed{
     \jv A_d &=(\jv I-\tilde{\jv A})^{-1}(\jv I+\tilde{\jv A})        ~~&~~ \jv B_d &= ((\jv I-\tilde{\jv A})^{-1}(\jv I+\tilde{\jv A}) +\jv I)(\jv I-\tilde{\jv A})^{-1} \tilde{\jv B} \\
    %&&= (e{\jv A_k T}-\jv I){\jv A_k}^{-1}\jv B_k\\^
      \jv C_d &=\jv C_k              ~~&~~ \jv D_d &= \jv C_k(I-A)^{-1} \jv B
    %}
    \end{empheq}
    %}
    
    Diese Darstellung wird scheinbar nicht im MATLAB\texttrademark-Algorithmus verwendet, da sich jenseits der Systemmatrix unterschiedliche Transformationsergebnisse ergeben. Im Skript Link x.y wird aber gezeigt, dass die Systeme identisch sind.
    
    
    
    %\begin{eqnarray}
    %  P_\text{Welle}         &=& 2  \pi  M  n \label{eq:drehmoment-1} \\
    %  \Leftrightarrow\quad M &=& \frac{P_\text{Welle}}{ 2  \pi  n} \label{eq:drehmoment-2}
    %\end{eqnarray}
    
    %\subsection{Compilieren%
    %            \label{sec:Compilieren}}
    %
    %\begin{figure}[H]
    %  \begin{center}
    %    \includegraphics[width=0.3\textwidth]{bilder/roll_pitch_yaw}
    %      % Einbinden einer Pixelgrafik.
    %      % Die Endung „.png“ darf weggelassen werden.
    %    \caption{Ein Beispielbild mit Quellenangabe \citep{yawpitchroll2013}%
    %             \label{fig:roll_pitch_yaw}}
    %  \end{center}
    %\end{figure}
    %
    %\begin{minipage}[b]{7cm}
    %  \centering
    %    \includegraphics[width=7cm]{bilder/quadrocopter}
    %    \captionof{figure}{Quadrocopter \newline
    %                         % kein \\ innerhalb von \caption oder \captionof
    %                         % \newline
    %                       \citep{bild_quad}%
    %	               \label{fig:quadrocopter}}
    %\end{minipage}\hfill
    %\begin{minipage}[b]{7cm}
    %  \centering
    %  \includegraphics[width=7cm]{bilder/ka32S}
    %  \captionof{figure}{Koaxialhelicopter \newline
    %                     \citep[S. 101]{hubschrauber1997}%
    %                     \label{fig:ka32S}}
    %\end{minipage}
    	
    
    %\begin{table}[H]
    %  \caption{Masse des anzuhebenden Trägers%
    %           \label{table:massen}}
    %  \medskip
    %  \begin{center}
    %    \begin{tabular}{l|r}
    %      %
    %      % Die Leerzeichen im Quelltext haben keinen Einfluß auf die
    %      % Anordnung innerhalb der Tabelle. Diese wird durch die o.a.
    %      % Angabe „{l|r}“ gesteuert: linksbündiges Feld, senkrechter
    %      % Strich, rechtsbündiges Feld.
    %      %
    %      Bauteil                  & Masse[g] \\
    %      \hline
    %      Trägerrohr               &       35 \\
    %      Linearlager              &        7 \\
    %      Lagerblock Linearlager   &        5 \\
    %      Kabel und Schrauben      &       20 \\
    %      Motoren                  &       50 \\
    %      Propeller                &       10 \\
    %      Propeller Eingriffschutz &       80 \\
    %      Holzplatte               &       14 \\
    %      Drehzahlsensoren         &        5 \\
    %      \hline
    %      Gesamtmasse              &      226 \\
    %      % @@@ PG: Stimmt nicht: Die Summe der Zahlen ist 194!
    %    \end{tabular}
    %  \end{center}
    %\end{table}
    %
       
    %\glqq{}{Boris ermöglicht die blockorientierte Simulation
     %        dynamischer Systeme nahezu beliebiger Art}\grqq{}
     %        \citep[S. 25]{boris2009}.