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Commit 65388b40 authored by Jan Falkenhain's avatar Jan Falkenhain
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...@@ -31,7 +31,7 @@ so dass hier nur die Messgröße über den D-Anteil geführt wird, siehe Bild \r ...@@ -31,7 +31,7 @@ so dass hier nur die Messgröße über den D-Anteil geführt wird, siehe Bild \r
\textbf{Diskretisierter Regler.} Unterschiedliche Diskretisierungsansätze führen auch bei identischer Struktur auf verschiedene Darstellungen des diskreten PID-Reglers in der Literatur. Schlägt man in \cite{lutz:2005} nach, findet man die Angabe zweier Typen von PID-Reglern, welche sich in der Integration unterscheiden: \textbf{Diskretisierter Regler.} Unterschiedliche Diskretisierungsansätze führen auch bei identischer Struktur auf verschiedene Darstellungen des diskreten PID-Reglers in der Literatur. Schlägt man in \cite{lutz:2005} nach, findet man die Angabe zweier Typen von PID-Reglern, welche sich in der Integration unterscheiden:
\begin{align} \begin{align}
\text{Typ I:}~~ &G_I(z)=\frac{k_p}{T_I}\frac{T}{z-1}\\ \text{Typ I:}~~ &G_I(z)=\frac{k_p}{T_I}\frac{T}{z-1}\\\label{eq:TypI}
\text{Typ II:}~~ &G_I(z)=\frac{k_p}{T_I}\frac{Tz}{z-1} ~\Laplace~ u^I_k = u^I_{k-1} + k_p\frac{T}{T_I} e_k \text{Typ II:}~~ &G_I(z)=\frac{k_p}{T_I}\frac{Tz}{z-1} ~\Laplace~ u^I_k = u^I_{k-1} + k_p\frac{T}{T_I} e_k
\end{align} \end{align}
Die verzögerte Integration des Typ I entspricht der Integration bei Forward-Euler-Diskretisierung oder ZOH-Diskretisierung. Ob diese hier geeignet ist, ist fraglich und der Fokus soll auf der Variante Typ II liegen, welche der schnelleren Integration bei Backward-Euler-Diskretisierung entspricht. Der D-Anteil wird in beiden Fällen über den Differenzenquotienten Die verzögerte Integration des Typ I entspricht der Integration bei Forward-Euler-Diskretisierung oder ZOH-Diskretisierung. Ob diese hier geeignet ist, ist fraglich und der Fokus soll auf der Variante Typ II liegen, welche der schnelleren Integration bei Backward-Euler-Diskretisierung entspricht. Der D-Anteil wird in beiden Fällen über den Differenzenquotienten
...@@ -42,7 +42,7 @@ gebildet (entsprechend Backward-Euler-Diskretisierung) und mit dem P-Anteil komp ...@@ -42,7 +42,7 @@ gebildet (entsprechend Backward-Euler-Diskretisierung) und mit dem P-Anteil komp
\begin{align} \begin{align}
u_k^P = k_P e_k u_k^P = k_P e_k
\end{align} \end{align}
womit sich der angegebene Regler zu womit sich der angegebene Regler (Typ II) zu
\begin{align} \begin{align}
u_k &=u_k^P + u_k^I + u_k^D\\ u_k &=u_k^P + u_k^I + u_k^D\\
&=k_p(e_k + T_d\frac{e_k-e_{k-1}}{T} +\frac{T}{T_I}e_k) + \underbrace{u^I_{k-1}}_{=u_{k-1}-u^P_{k-1}-u^D_{k-1}}\\ &=k_p(e_k + T_d\frac{e_k-e_{k-1}}{T} +\frac{T}{T_I}e_k) + \underbrace{u^I_{k-1}}_{=u_{k-1}-u^P_{k-1}-u^D_{k-1}}\\
...@@ -52,7 +52,7 @@ Tabelliert erhält man in \cite{lutz:2005} für beide Typen die Koeffizienten de ...@@ -52,7 +52,7 @@ Tabelliert erhält man in \cite{lutz:2005} für beide Typen die Koeffizienten de
In \cite{Lunze16b} und \cite{unbehauen2000RT2} wird jeweils vorgeschlagen, den I-Anteil durch die Trapez-Regel entsprechend Tustin-Diskretisierung zu realisieren, also für den echten PID-Regler In \cite{Lunze16b} und \cite{unbehauen2000RT2} wird jeweils vorgeschlagen, den I-Anteil durch die Trapez-Regel entsprechend Tustin-Diskretisierung zu realisieren, also für den echten PID-Regler
\begin{align}\label{eq:PIDLunze} \begin{align}\label{eq:PIDLunze}
U(z) = kp\left(1 + \frac{T}{2T_I} \frac{z+1}{z-1} +\frac{T_D}{T} \frac{z-1}{z} \right)E(z)~~, \text{Typ III:}~~U(z) = kp\left(1 + \frac{T}{2T_I} \frac{z+1}{z-1} +\frac{T_D}{T} \frac{z-1}{z} \right)E(z)~~,
\end{align} \end{align}
wobei der Differenzialanteil nach wobei der Differenzialanteil nach
\begin{align}\label{eq:BWE} \begin{align}\label{eq:BWE}
...@@ -68,6 +68,8 @@ G_{PI-DT1}(z) = kp\left(1 + \frac{T}{2T_I} \frac{z+1}{z-1} +\frac{T_D}{T} \frac{ ...@@ -68,6 +68,8 @@ G_{PI-DT1}(z) = kp\left(1 + \frac{T}{2T_I} \frac{z+1}{z-1} +\frac{T_D}{T} \frac{
\end{align} \end{align}
Für $T_V\rightarrow 0$ geht der Regler in die PID-Variante Gl. \eqref{eq:PIDLunze} über. Für $T_V\rightarrow 0$ geht der Regler in die PID-Variante Gl. \eqref{eq:PIDLunze} über.
In \cite{Isermann} wird beispielsweise zunächst der PID-Regler vom Typ I \eqref{eq:TypI} angegeben mit der als Rechteckintegration bezeichneten verzögerten Integration (S. 108). Anschließend wird die Trapezintegration vorgeschlagen und Regler Typ III angegeben (S. 110). Unter dem Title "`PID-Regelalgorithmus durch Z-Transformation"' (S. 122) wird der ZOH-diskretisierte PI-DT1-Regler angegeben mit dem Hinweis auf "`gültige Parameter"' bei großen Abtastzeiten. Welche besondere Eignung der Regler haben könnte, auch wenn er bei einem vorgeschalteten ZOH-Glied vor die kontinuierliche Version dessen kontinuierlichen Ausgang exakt trifft, bleibt unklar. Im Folgenden (S. 126) wird der PI-DT1-Regler ensprechend Tustin-Diskretisierung approximiert und die Koeffizienten der rekursiven Differenzengleichung angegeben.
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\subsection{Diskretisierung und Implementierung allgemeiner Regler \subsection{Diskretisierung und Implementierung allgemeiner Regler
\label{sec:allgemeineRegler}} \label{sec:allgemeineRegler}}
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...@@ -27,6 +27,14 @@ note = {Lecture 7: Discrete Approximation of Continuous-Time Systems. \url{https ...@@ -27,6 +27,14 @@ note = {Lecture 7: Discrete Approximation of Continuous-Time Systems. \url{https
year = 2006 year = 2006
} }
@book{Isermann,
author = {Isermann, Rolf},
publisher = {Springer Vieweg},
series = {Lehrbuch},
title = {Digitale Regelsysteme, Band 1},
year = 1988
}
MISC{SystemtheorieOnline, MISC{SystemtheorieOnline,
author = {{Manfred Strohrmann}}, author = {{Manfred Strohrmann}},
......
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