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Commit 92e8f57c authored by Jan Falkenhain's avatar Jan Falkenhain
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...@@ -37,6 +37,8 @@ Die theoretische Ermittlung korrespondierender diskreter Systeme aus der kontinu ...@@ -37,6 +37,8 @@ Die theoretische Ermittlung korrespondierender diskreter Systeme aus der kontinu
$\frac{1}{s^2}$ & $t\cdot \sigma(t)$ & $kT\cdot\sigma(k)$ & $\frac{Tz}{(z-1)^2}$ \\ $\frac{1}{s^2}$ & $t\cdot \sigma(t)$ & $kT\cdot\sigma(k)$ & $\frac{Tz}{(z-1)^2}$ \\
$\frac{1}{s^3}$ & $1/2 \cdot t^2$ & $1/2\cdot(kT)^2$& $\frac{T^2}{2}\frac{z(z+1)}{(z-1)^3}$ \\ $\frac{1}{s^3}$ & $1/2 \cdot t^2$ & $1/2\cdot(kT)^2$& $\frac{T^2}{2}\frac{z(z+1)}{(z-1)^3}$ \\
$\frac{1}{1+s \tau }$ & $1/\tau \cdot e^{-t/\tau}$ & $1/\tau \cdot e^{-kT/\tau}$& $\frac{1}{\tau}\frac{z}{z-e^{-T/\tau}}$ \\ $\frac{1}{1+s \tau }$ & $1/\tau \cdot e^{-t/\tau}$ & $1/\tau \cdot e^{-kT/\tau}$& $\frac{1}{\tau}\frac{z}{z-e^{-T/\tau}}$ \\
$\frac{a}{s(s+a)}$ & $1-t\cdot e^{-at}$ & $1-kT\cdot e^{-akT}$& $\frac{(1-e^{-aT})z}{(z-1)(z-e^{-aT})}$ \\
\hline \hline
% @@@ PG: Stimmt nicht: Die Summe der Zahlen ist 194! % @@@ PG: Stimmt nicht: Die Summe der Zahlen ist 194!
......
...@@ -108,9 +108,9 @@ Eine Entsprechung im z-Bereich $R(z)$ kann eventuell einer Korrespondneztabelle ...@@ -108,9 +108,9 @@ Eine Entsprechung im z-Bereich $R(z)$ kann eventuell einer Korrespondneztabelle
R(z) = \frac{T}{z-1}H(z) R(z) = \frac{T}{z-1}H(z)
\] \]
erhalten wir dann erhalten wir dann
\[ \begin{align}\label{eq:GFOHz}
G_{FOH}(z) = \underbrace{\frac{z-1}{T}}_{\Laplace~ \gamma(k) \text{aus \eqref{eq:gammak}}} \frac{z-1}{z} R(z)~~. G_{FOH}(z) = \underbrace{\frac{z-1}{T}}_{\Laplace~ \gamma(k) \text{aus \eqref{eq:gammak}}} \frac{z-1}{z} R(z)~~.
\] \end{align}
\textit{\textbf{Beispiel: Die Übertragungsfunktion des Integrators lautet $G(s)=1/s$. Wir suchen nach der $\mathscr{Z}$-Transformierten der Abtastung von $R(s)=1/s^3$. \textit{\textbf{Beispiel: Die Übertragungsfunktion des Integrators lautet $G(s)=1/s$. Wir suchen nach der $\mathscr{Z}$-Transformierten der Abtastung von $R(s)=1/s^3$.
...@@ -139,12 +139,12 @@ Eine andere Notation erklärt sich schrittweise von Innen nach Außen ...@@ -139,12 +139,12 @@ Eine andere Notation erklärt sich schrittweise von Innen nach Außen
\item $\mathscr{Z}$-Transformation der Folge ergibt die Übertragungsfunktion $G_{d,FOH}(z)$ \item $\mathscr{Z}$-Transformation der Folge ergibt die Übertragungsfunktion $G_{d,FOH}(z)$
\end{enumerate} \end{enumerate}
\begin{align*} \begin{align*}
G_{d,ZOH}(z)= \mathscr{Z}\{ \mathscr{L}^{-1}\{ \frac{1}{Ts^2} (e^{sT} + 2 + e^{-sT})\cdot G(s)\}|_{t=kT} \}~~. G_{d,ZOH}(z)= \mathscr{Z}\{ \mathscr{L}^{-1}\{ \frac{1}{Ts^2} (e^{sT} - 2 + e^{-sT})\cdot G(s)\}|_{t=kT} \}~~.
\end{align*} \end{align*}
\textit{\textbf{Beispiel: Für den Integrator erhalten wir \textit{\textbf{Beispiel: Für den Integrator erhalten wir
\[G_{FOH}(s)\cdot G(s) = \frac{1}{Ts^3} (e^{sT} + 2 + e^{-sT}) \[G_{FOH}(s)\cdot G(s) = \frac{1}{Ts^3} (e^{sT} - 2 + e^{-sT})
\] \]
Mit Hilfe von Tabelle \ref{table:impuls} erhält man direkt die zugehörige z-Übertragungsfunktion für $1/s^3$ und damit Mit Hilfe von Tabelle \ref{table:impuls} erhält man direkt die zugehörige z-Übertragungsfunktion für $1/s^3$ und damit
\[ \[
......
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...@@ -97,11 +97,14 @@ In \cite{Isermann} wird beispielsweise zunächst der PID-Regler vom Typ I Gl. \e ...@@ -97,11 +97,14 @@ In \cite{Isermann} wird beispielsweise zunächst der PID-Regler vom Typ I Gl. \e
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Typ 1 & \cite{unbehauen2000RT2} & $kp\left(1 + \frac{T}{2T_I} \frac{z+1}{z-1} +\frac{T_D}{T} \frac{z-1}{z(1+T_V/T)-T_V/T} \right) $ \\ Typ 1 & \cite{unbehauen2000RT2} & $kp\left(1 + \frac{T}{2T_I} \frac{z+1}{z-1} +\frac{T_D}{T} \frac{z-1}{z(1+T_V/T)-T_V/T} \right) $ \\
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Typ 2 & \cite{Isermann} & $kp\left(1 + \frac{T}{T_I} \frac{1}{z-1} +\frac{T_D}{T} \frac{z-1}{z-e^{-T/T_V}} \right) $ \\ Typ 2 & \cite{Isermann} & $kp\left(1 + \frac{T}{T_I} \frac{1}{z-1} +\frac{T_D}{T_V} \frac{z-1}{z-e^{-T/T_V}} \right) $ \\
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Typ 3 & \cite{Isermann} & $kp\left(1 + \frac{T}{T_I} \frac{z+1}{2(z-1)} +\frac{2 T_D(z-1)}{(T+2T_V)z + (T-2T_V)} \right) $ \\ Typ 3 & \cite{Isermann} & $kp\left(1 + \frac{T}{2T_I} \frac{z+1}{(z-1)} +\frac{2 T_D(z-1)}{(T+2T_V)z + (T-2T_V)} \right) $ \\
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Typ 4 & \cite{documentationsimulation} & $kp\left(1 +\frac{T}{T_I}\frac{1}{z-1} + \frac{T_D}{T} \frac{z-1}{z-1+{T/T_V}} \right) $ \\ Typ 4 & \cite{documentationsimulation} & $kp\left(1 +\frac{T}{T_I}\frac{1}{z-1} + \frac{T_D}{T} \frac{z-1}{z-1+{T/T_V}} \right) $ \\
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Typ 5 & siehe Bsp. FOH-diskretisiert & $kp\left(1 + \frac{T}{2T_I} \frac{z+1}{(z-1)} + \frac{T_D}{T} \frac{(z-1)(1-e^{-T/T_V})}{(z-e^{-T/T_V})} \right) $ \\
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\end{tabular} \end{tabular}
...@@ -156,15 +159,37 @@ b_0 e_k + b_1 e_{k-1} +b_2 e_{k-2} \hdots = u_k + a_1 u_{k-1} + a_2 u_{k-2} \hdo ...@@ -156,15 +159,37 @@ b_0 e_k + b_1 e_{k-1} +b_2 e_{k-2} \hdots = u_k + a_1 u_{k-1} + a_2 u_{k-2} \hdo
\] \]
Filter, realisiert durch die Filterstruktur Bild \ref{fig:Filter}. Die Filterkoeffizienten sind bis auf einen Faktor eindeutig. Filter, realisiert durch die Filterstruktur Bild \ref{fig:Filter}. Die Filterkoeffizienten sind bis auf einen Faktor eindeutig.
\textit{Beispiel: PI-DT1-Regler. Geht man von Gl. \eqref{eq:PIDT1} aus, dann erhält man durch Aufmultiplizieren die auch in \cite{unbehauen2000RT2} angegebenen Filterkoeffizienten %\textit{
Beispiel: PI-DT1-Regler als FOH-Diskretisierung
(Typ 5).
Wie bereits gezeigt, führt die Diskretisierung des Integrators im FOH-Sinn auf das selbe System wie Tustin-Diskretisierung, weshalb
\begin{align*}
G_{PI} (z)= k_p \left(1+\frac{T}{2T_I}\frac{z+1}{z-1}\right)
\end{align*}
diekt angegeben werden kann. Aus dem Differentialanteil (DT1) $G_D(s)$ sei zunächst die Rampenantwort
\begin{align*}
R(s)=\frac{1}{s^2} G_D(s) = \frac{T_D}{s(1+T_Vs)} = T_D\frac{1/T_V}{s(1/T_V+s)}
\end{align*}
gebildet. Die letzte Darstellung eignet sich, um aus der letzten Zeile von Tabelle \ref{table:impuls} die $\mathscr{Z}$-Transformierte der diskreten Rampenantwort abzulesen:
\begin{align*} \begin{align*}
b_0 &= \frac{k_p}{1+T_V/T} \left(1+ \frac{T+T_V}{2T_I} + \frac{T_D+T_V}{T} \right)\\ R(z) = T_D \frac{(1-e^{-T/T_V})z}{(z-1)(z-e^{-T/T_V})}
b_1 &= \frac{k_p}{1+T_V/T} \left(-1 + \frac{T}{2T_I} - 2\frac{T_D+T_V}{T} \right) \\
b_2 &= \frac{k_p}{1+T_V/T} \left(\frac{T_D+T_V}{T}- \frac{T_V}{2T_I} \right)\\
a_1 &= \frac{T}{T+T_V} ~~~a_2 = -\frac{T_V}{T+T_V}
\end{align*} \end{align*}
Nachteilig gegenüber der parallelen Implementierung der drei Anteile P, I und DT1 ist, dass für den Grenzfall des verschwindenden I-Anteils ($T_I\rightarrow \infty$) die Differenzengleichung und die Filterstruktur formal weiterhin von zweiter Ordnung ist. Allerdings verhält das Filter sich exakt, wie das verbleibende Filter aus P- und DT1-Anteil erster Ordnung. Nach Gl. \eqref{eq:GFOHz} folgt daraus
} \begin{align*}
G_{D-FOH}(z) = \frac{z-1}{T} \frac{z-1}{z} R(z) = \frac{T_D}{T} \frac{(z-1)(1-e^{-T/T_V})}{(z-e^{-T/T_V})}.
\end{align*}
%aus, dann erhält man durch Aufmultiplizieren die auch in \cite{unbehauen2000RT2} angegebenen Filterkoeffizienten
%\begin{align*}
%b_0 &= \frac{k_p}{1+T_V/T} \left(1+ \frac{T+T_V}{2T_I} + \frac{T_D+T_V}{T} \right)\\
%b_1 &= \frac{k_p}{1+T_V/T} \left(-1 + \frac{T}{2T_I} - 2\frac{T_D+T_V}{T} \right) \\
%b_2 &= \frac{k_p}{1+T_V/T} \left(\frac{T_D+T_V}{T}- \frac{T_V}{2T_I} \right)\\
%a_1 &= \frac{T}{T+T_V} ~~~a_2 = -\frac{T_V}{T+T_V}
%\end{align*}
%Nachteilig gegenüber der parallelen Implementierung der drei Anteile P, I und DT1 ist, dass für den Grenzfall des verschwindenden I-Anteils ($T_I\rightarrow \infty$) die Differenzengleichung und die Filterstruktur formal weiterhin von zweiter Ordnung ist. Allerdings verhält das Filter sich exakt, wie das verbleibende Filter aus P- und DT1-Anteil erster Ordnung.
%}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Abtastsystem, (ZOH-)Diskretisierung der Strecke \subsection{Abtastsystem, (ZOH-)Diskretisierung der Strecke
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