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Commit db1cbf9b authored by Jan Falkenhain's avatar Jan Falkenhain
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1_Einleitung.tex
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View file @ db1cbf9b
...@@ -25,11 +25,21 @@ Weitere Motive zur Ermittlung diskreter Systeme können in der Analyse, Simulati ...@@ -25,11 +25,21 @@ Weitere Motive zur Ermittlung diskreter Systeme können in der Analyse, Simulati
Verfahren & $s\mapsto z$ ? & $s$-Mapping &Integrator & Zeitfunktion & Pol-Mapping & Nullstellen &$K_s$\\ Verfahren & $s\mapsto z$ ? & $s$-Mapping &Integrator & Zeitfunktion & Pol-Mapping & Nullstellen &$K_s$\\
\hline \hline
Forward-Euler & Ja & $s\equiv (z-1)/T$ &$T\frac{1}{z-1}$ & - &$z_i =s_iT + 1$ &$z_{i0} =s_{i0}T + 1$& $=G_k(0)$\\ Forward-Euler & Ja & $s\equiv (z-1)/T$ &$T\frac{1}{z-1}$ & - &$z_i =s_iT + 1$ &$z_{i0} =s_{i0}T + 1$& $=G_k(0)$\\
Backward-Euler & Ja & $s\equiv \frac{z-1}{zT}$ &$\frac{Tz}{z-1}$ & - &$z_i = \frac{1}{1-s_iT}$ &$z_i = \frac{1}{1-s_iT} +(m-n)$ Nullstellen bei $z_{i0}=0$ & \\ \hline
Tustin & Ja & $s\equiv \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}$ & $\frac{T}{2} \frac{z+1}{z-1}$ & -& & &\\ Backward-Euler & Ja & $s\equiv \frac{z-1}{zT}$ &$\frac{Tz}{z-1}$ & - &$z_i = \frac{1}{1-s_iT}$ & \begin{tabular}{@{}c@{}}$z_i = \frac{1}{1-s_iT} ~\&~ (m-n)$\\Nullstellen bei $z_{i0}=0$\end{tabular}
%$z_i = \frac{1}{1-s_iT} +(m-n)$ Nullstellen bei $z_{i0}=0$
& \\
\hline
Tustin & Ja & $s\equiv \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}$ & $\frac{T}{2} \frac{z+1}{z-1}$ & -& $z_{i} = \frac{2/T+s_{i}}{2/T-s_{i}}$ &
\begin{tabular}{@{}c@{}}$z_{i0} = \frac{2/T+s_{i0}}{2/T-s_{i0}} ~\&~ (n-q)$\\Nullstellen bei $z_{i0}=-1$\end{tabular}
&\\
\hline
Impuls & Nein &-&$\frac{z}{z-1}$ &g(kT)=g(t)&$z_i=e^{s_i T}$& &\\ Impuls & Nein &-&$\frac{z}{z-1}$ &g(kT)=g(t)&$z_i=e^{s_i T}$& &\\
\hline
ZOH & Nein &- & $\frac{Tz}{z-1}$ & h(kT)=h(t)&$z_i=e^{s_i T}$& &\\ ZOH & Nein &- & $\frac{Tz}{z-1}$ & h(kT)=h(t)&$z_i=e^{s_i T}$& &\\
\hline
FOH & Nein &- & & &$z_i=e^{s_i T}$& &\\ FOH & Nein &- & & &$z_i=e^{s_i T}$& &\\
\hline
Mathched Filter & Nein & -&-& &$z_i=e^{s_i T}$& &\\ Mathched Filter & Nein & -&-& &$z_i=e^{s_i T}$& &\\
%Holzplatte & 14 \\ %Holzplatte & 14 \\
%Drehzahlsensoren & 5 \\ %Drehzahlsensoren & 5 \\
...@@ -39,6 +49,22 @@ Weitere Motive zur Ermittlung diskreter Systeme können in der Analyse, Simulati ...@@ -39,6 +49,22 @@ Weitere Motive zur Ermittlung diskreter Systeme können in der Analyse, Simulati
\end{center} \end{center}
\end{table} \end{table}
%
%\begin{table}[H]
%\caption{Diskretisierungsansätz und deren Eigenschaften%
%\label{table:massen}}
%%%\medskip
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{2cm}{X|X|X|X|X|X|X|c}
%Verfahren & $s\mapsto z$ ? & $s$-Mapping &Integrator & Zeitfunktion & Pol-Mapping & Nullstellen &$K_s$\\
%\hline
%Forward-Euler & Ja & $s\equiv (z-1)/T$ &$T\frac{1}{z-1}$ & - &$z_i =s_iT + 1$ &$z_{i0} =s_{i0}T + 1$& $=G_k(0)$\\
%Backward-Euler & Ja & $s\equiv \frac{z-1}{zT}$ &$\frac{Tz}{z-1}$ & - &$z_i = \frac{1}{1-s_iT}$ &$z_i = \frac{1}{1-s_iT} +(m-n)$ %Gesamtmasse & 226 \\
%\end{tabularx}
%\end{center}
%\end{table}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{landscape} \end{landscape}
%% Quertabelle Ende %% Quertabelle Ende
......
4_ZOH-Diskretisierung.tex
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View file @ db1cbf9b
...@@ -141,8 +141,11 @@ G_{d,ZOH}(z) =\frac{Tz}{(z-1)^2} - z^{-1}\cdot \frac{Tz}{(z-1)^2} =\frac{T(z-1)} ...@@ -141,8 +141,11 @@ G_{d,ZOH}(z) =\frac{Tz}{(z-1)^2} - z^{-1}\cdot \frac{Tz}{(z-1)^2} =\frac{T(z-1)}
\] \]
}} }}
\textbf{Nullstellen.}
bei der Exact Discretization hat es $n-m$
Zeros mehr wenn $D \neq 0$ ist, ansonsten $n-m-1$.
\textbf{Zustandsraummodell.} In \cite{Lunze16b} wird ein diskretes System als Abtastsystem "`unter Beachtung der Eigenschaften des Abtasters und des Halteglieds"' aus dem kontinuierlichen ZRM hergeleitet. In \cite{BINGULAC1992293} erhält man die fast identische Darstellung mit dem Hinweis darauf, dass es sich um eine ZOH-Diskretisierung handelt. Für regulär $\jv A_k$ entsteht das diskrete Zustandsraummodell \eqref{ZRM_disk} mit den Matrizen: \textbf{Zustandsraummodell.} In \cite{Lunze16b} wird ein diskretes System als Abtastsystem "`unter Beachtung der Eigenschaften des Abtasters und des Halteglieds"' aus dem kontinuierlichen ZRM hergeleitet. Dazu wird die Bewegungsgleichung für den stückweise stetigen (stufenförmigen) Eingang aufgeschrieben und dann abgetastet. In \cite{BINGULAC1992293} erhält man die fast identische Darstellung mit dem Hinweis darauf, dass es sich um eine ZOH-Diskretisierung handelt. Für regulär $\jv A_k$ entsteht das diskrete Zustandsraummodell \eqref{ZRM_disk} mit den Matrizen:
ZOH-Diskretisiertes ZRM: ZOH-Diskretisiertes ZRM:
\begin{empheq}[box=\fbox]{align*} \begin{empheq}[box=\fbox]{align*}
...@@ -154,15 +157,15 @@ ZOH-Diskretisiertes ZRM: ...@@ -154,15 +157,15 @@ ZOH-Diskretisiertes ZRM:
\end{empheq} \end{empheq}
%} %}
Darin stellt $\e^{\jv A T}$ eine Matrixexponetialfunktion dar: Darin stellt $\e^{\jv A T}$ eine Matrix-Exponetialfunktion dar:
\begin{align*} \begin{align*}
e^{\jv A_k T} = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{\jv A^i T^i}{i!} e^{\jv A_k T} = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{\jv A^i T^i}{i!} %\text{MATLAB\texttrademark: \verb! expm(A)!}
\end{align*} \end{align*}
Ihre numerische Berechnung ist die Hauptaufgabe bei der Ermittlung des diskreten Modells. Eine inverse Transformation Ihre numerische Berechnung ist die Hauptaufgabe bei der Ermittlung des diskreten Modells (MATLAB\texttrademark: \verb! expm(A)!). Eine inverse Transformation
\begin{align*} \begin{align*}
\jv A_d =e^{\jv A_k T} ~~\Leftrightarrow~~ \jv A_c = \frac{1}{T} \ln \jv A_d \jv A_d =e^{\jv A_k T} ~~\Leftrightarrow~~ \jv A_c = \frac{1}{T} \ln \jv A_d
\end{align*} \end{align*}
ist jederzeit möglich, wobei auch der Matrixlogarithmus nicht im Sinne einer elementweisen Operation, sondern als Matrixoperation z. B. in MATLAB\texttrademark implementiert ist. ist jederzeit möglich, wobei auch der Matrix-Logarithmus nicht im Sinne einer elementweisen Operation, sondern als Matrixoperation zu verstehen ist (MATLAB\texttrademark: \verb! logm(A)!).
%\begin{minipage}[b]{7cm} %\begin{minipage}[b]{7cm}
......
7_Tustin-Diskretisierung.tex
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View file @ db1cbf9b
...@@ -95,6 +95,16 @@ y(k)=\frac{2}{T}(x(k)-x(k-1))-y(k-1);~~G_D(z) = \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1} ...@@ -95,6 +95,16 @@ y(k)=\frac{2}{T}(x(k)-x(k-1))-y(k-1);~~G_D(z) = \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}
\end{align*} \end{align*}
gegeben. gegeben.
\textbf{Pol-/Nullstellenverschiebung}
Anhand der Pol-/Nullstellenform betrachtet, wird deutlich, dass die Nullstellen genauso abgebildet werden, wie die Pole. Zusätzlich erhält man $n-q>0$ Nullstellen bei $z_{i0} = -1$
\[
G(s) =\frac{\Pi_{i=1}^q (s-s_{0i})}{\Pi_{i=1}^n (s-s_i)}\leftrightarrow
\frac{\Pi_{i=1}^q (\frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1}-s_{0i})}{\Pi_{i=1}^n (\frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1}-s_i)}
=\frac{\Pi_{i=1}^q (z- \frac{2/T+S_{i0}}{2/T-s_{i0}})\cdot (1-\frac{T}{2}s_{i0})}{\Pi_{i=1}^n (z - \frac{2/T+S_{i}}{2/T-s_{i}})\cdot (1-\frac{T}{2}s_{i})}\cdot (\frac{T}{2} (z+1))^{n-q}~~.
\]
\textbf{Zustandsraummodell.} In \cite{WolframVogt} wird das ZRM im z-Bereich aus der kontinuierlichen Zustandsgleichung im Frequenzbereich \textbf{Zustandsraummodell.} In \cite{WolframVogt} wird das ZRM im z-Bereich aus der kontinuierlichen Zustandsgleichung im Frequenzbereich
\begin{align*} \begin{align*}
s{\jv X}(s) &= \jv A_k \jv X(s) + \jv B_k \jv U(s) ~~\overbrace{\rightarrow}^{\text{Tustin}}~~ \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}{\jv X}(z) = \jv A_k \jv X(z) + \jv B_k \jv U(z) s{\jv X}(s) &= \jv A_k \jv X(s) + \jv B_k \jv U(s) ~~\overbrace{\rightarrow}^{\text{Tustin}}~~ \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}{\jv X}(z) = \jv A_k \jv X(z) + \jv B_k \jv U(z)
......
8_Matched-Filter.tex
+ 2
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View file @ db1cbf9b
...@@ -7,9 +7,9 @@ z_i = e^{s_i T} ...@@ -7,9 +7,9 @@ z_i = e^{s_i T}
\end{align} \end{align}
für das diskrete System festzulegen. für das diskrete System festzulegen.
lapidar erwähnt in Unbehauen, (\cite{unbehauen2000RT2}, S.128) Zur Anwendung in der Regelungstechnik wird der Ansatz in \cite{unbehauen2000RT2}, S.128, kurz erwähnt. In \cite{Lunze16b}, S.511, wird unter der Bezeichnung "`Approximation des p/n Bildes"' genau das vorgeschlagen, wobei auch erwähnt wird, dass der verbleibende Parameter $K_s$ identisch zum kontinuierlichen System gewählt werden solle. Außerdem wird empfohlen, nur mit einem zeitdiskreten Regler $G_{Impuls}(z)$ mit (vermutlich maximalem) Polüberschuss von eins zu arbeiten. Sollte das kontinuierliche System weniger als $n-1$ Nullstellen haben, so möge man $n-q-1$ Nullstellen $z_{i0}=-1$ ergänzen.
nach Wikipedia ist die Matched z-Transformation so gegeben. Offen bleibt die Frage nach der Wahl von k' Mit \verb!c2d(sys,T,'matched')! wird genau das mit MATLAB\texttrademark~realisiert.
%\begin{eqnarray} %\begin{eqnarray}
......
Regelungstechnik.tex 0 → 100644
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View file @ db1cbf9b
%\section{Grundlagen%
% \label{sec:Grundlagen}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\subsection{Systemtheorie -- eine Auswahl%
%\label{sec:GrundlagenST}}
%
%Betrachtet werden lineare, zeitinvariante Systeme, deren Übertragungsverhalten aufgrund der Linearität im Frequenzbereich durch die Übertragungsfunktion $G(s)$ beschrieben werden kann. Im Zeitbereich wird das System vollständig durch charakteristische Funktionen wie die Impulsantwort $g(t)$ beschrieben, welches mit der Übertragungsfunktion ein Laplace-Transformationspaar bildet:
%\[g(t)~~\laplace~~ G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{\Pi_{i=1}^q (s-s_{0i})}{\Pi_{i=1}^n (s-s_i)}\]
%Mit der Impulsantwort reagiert das System auf Anregung mit dem Dirac-Impulse
%\begin{align}
%\rho(t)=
%\left\{
%\begin{array}{l}
%0~~\text{für}~t \neq 0\\
%\infty ~~\text{für}~t = 0
%\end{array}
%\right.;~~
%\int_{-\infty}^{t_0} \rho(t)dt =
%\left\{
%\begin{array}{l}
%0~~\text{für}~t_0<0 \\
%1~~\text{für}~t_0\geq0 \neq 0\\
%\end{array}
%\right.
%=\sigma(t_0)
%\end{align}
%
%Das Ausgangssignal $y(t)$ ergibt sich durch das Faltungsintegral des Eingangs $u(t)$ mit der Gewichtsfunktion
%\[
%y(t) = u(t)\ast g(t) = \int_{-\infty}^t u(\tau) g(t-\tau) d\tau~~.
%\]
%
%Integration über den Dirac-Impuls liefert die Sprungfunktion, auf die das System mit der Sprungantwort $h(t)$ reagiert. Für stabile Systeme klingt die Impulsantwort ab und die Sprungantwort ist beschränkt.\\
%
%Durch Abtastung beschränkter kontinuierlicher Signale mit der Abtastzeit $T$ erhält man Folgen, wie beispielsweise die Sprungfolge $\sigma(k)$ für $k\in \mathds{Z}$ aus der Sprungfunktion. Zu beachten ist, dass der Einheitsimpuls
%\begin{align}
%\rho(k)=
%\left\{
%\begin{array}{l}
%0~~\text{für}~k \neq 0\\
%1 ~~\text{für}~k = 0
%\end{array}
%\right. =\sigma(k)-\sigma(k+1)~~
%\end{align}
%nicht aus der Abtastung des Dirac-Impulses hervorgeht, da dieser bei null nicht beschränkt ist. Die Bedeutung des diskreten Impulses ist also eine völlig andere, nämlich dass alle diskreten Folgen, im weiteren auch Signale genannt, eine Summe von gewichteten Impulsen darstellen, verschoben um den Zeitindex $k$.
%
%Ersetz man in der Laplace-Transformation $z=e^{-sT}$, so entsteht die z-Transformation, über welche die diskrete Impulsantwort und die diskrete Übertragungsfunktion ein z-Transformationspaar bilden
%\[g(k)~~\laplace~~ G(z) = \frac{Y(z)}{U(z)} = \frac{\Pi_{i=1}^q (z-z_{0i})}{\Pi_{i=1}^n (z-z_i)}\]
%und sich ähnliche Zusammenhänge wie im Kontinuierlichen ergeben (siehe Seite \ref{ref:pdfuebersicht}).
%Über die diskrete Faltung
%\[
%y(k) = u(k)\ast g(k) = \sum_{j=-\infty}^k u(j) g(k-j)
%\]
%ergibt sich die Systemantwort im Zeitbereich.
%\includepdf[pages=-]{bilder/Systemantworten}\label{ref:pdfuebersicht}
%
%Die Abbildung $z=e^{-sT}$ aus der $s$-Ebene in die $z$-Ebene ist in Bild \ref{fig:s-z} dargestellt. Tatsächlich wird die linke Halbebene in den Einheitskreis abgebildet und die Pole stabiler, diskreter Systeme müssen sich auch in diesem befinden.
%
%\begin{figure}[H]
%\begin{center}
%\begin{tikzpicture}
%
%\draw[->] (0,0) -- (5,0) node[below] {$Re$}; \draw[->] (2.5,-2.5) -- (2.5,2.5) node[above] {s-Ebene}; \draw[->] (2.5,-2.5) -- (2.5,2.5) node[right] {$Im$};
%\draw[->] (6,0) -- (11,0) node[below] {$Re$}; \draw[->] (8.5,-2.5) -- (8.5,2.5) node[above] {z-Ebene}; \draw[->] (8.5,-2.5) -- (8.5,2.5) node[right] {$Im$};
%%\draw[fill=red!20] (-2.5,0)--(2.5,5);
%\fill [fill=red!20, fill opacity=0.5] (0,-2.5) rectangle (2.5,2.5);
%\fill [dashed, fill=red!20, fill opacity=0.5] (8.5,0) circle[radius=1];
%\draw [dashed] (8.5,0) circle[radius=1];
%
%\draw (9.5,-0.1) -- (9.5,0.1) node[below]{1};
%
%\end{tikzpicture}
%\caption{Korrespondenz von $s$-Ebene und $z$-Ebene\label{fig:s-z}}
%\end{center}
%\end{figure}
%
%Im Zeitbereich entstehen Modelle aus Differenzialgleichungen, welche im linearen Fall zumeist in Form eines Zustandsraummodells (ZRM) dargestellt werden können:
%\begin{align}\label{ZRM_kont}
%\dot{\jv x}(t) &= \jv A_k \jv x(t) + \jv B_k \jv u(t),~~\jv x(0)=\jv x_0\\
%\jv y(t) &= \jv C_k \jv x(t) + \jv D_k \jv u(t)\nonumber
%\end{align}
%Darin bezeichnet $\jv x$ den Zustandsvektor. Über die Matrix $\jv A_k$ wird ein System von Differenzialgleichungen erster Ordnung formuliert. $\jv D_k$ wird als Durchgriff bezeichnet, da es die direkte Wirkung eines Eingangssignals $\jv u(t)$ (z. B. P-Anteil beim Regler) auf den Ausgang ohne Integration beschreibt.
%Die Laplace-Transformierte der Zustandsgleichung lautet
%\begin{align*}
%s{\jv X}(s) &= \jv A_k \jv X(s) + \jv B_k \jv U(s)~~.
%\end{align*}
%Aufgelöst nach $\jv X(s)$ und eingesetzt in die Ausganbegleichung ermöglicht die Angabe der Übertragungsfunktion in Abhängigkeit von den Matrizen des ZRMs
%\begin{align*}
%{\jv G}(s) &= \jv C(s\jv I - A_k)^{-1} \jv B_k +\jv D;~~\jv K_s=\jv G(0) = -\jv C \jv A^{-1} \jv B +D
%\end{align*}
%Für $s=0$ ergibt sich die statische Verstärkung.
%
%Analog dazu ist
%\begin{align}\label{ZRM_disk}
%\jv x(k+1)&=\jv A_d \jv x(k)+\jv B_d \jv u(k),~~\jv x(0)=\jv x_0\\
%\jv y(k) &= \jv C_d \jv x(k) + \jv D_d \jv u(k)\nonumber
%\end{align}
%ein diskretes ZRM mit Zustandsübergangs- und Ausgabegleichung . Die Auswertung erfordert immer die Kenntnis des Anfangszustands $\jv x_0$. Die hier verwendete Schreibweise wird für Mehrgrößensysteme verwendet. Im Eingrößenfall wird der Durchgriff $d$ skalar und anstelle von Matrizen bleibt ein Eingangsvektor $\jv b$ und ein Ausgangsvektor $\jv c^T$. Mit dem Verzögerungsoperator $z$ kann die entsprechende Transformation der Zustandsgleichung mit
%\begin{align*}
%x(x+1) \laplace zX(z)
%\end{align*}
%analog zum kontinuierlichen ZRM durchgeführt werden, um die Übertragungsfunktion und die statische Verstärkung
%\begin{align*}
%{\jv G}(z) &= \jv C(z\jv I - A_k)^{-1} \jv B_k +\jv D;~~\jv K_s=\jv G(1) = -\jv C \jv (\jv I - A)^{-1} \jv B +D
%\end{align*}
%zu ermitteln. Diese ergibt sich im diskreten Fall für $z=e^{0\cdot T}=1$. Übertragungs- oder Gewichtsfunktionen können im Mehrgrößenfall einfach als Matrizen geschrieben werden.
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