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Commit ef0f1384 authored by Jan Falkenhain's avatar Jan Falkenhain
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\section{ZOH-Diskretisierung
\label{sec:ZOH-Diskretisierung}}
\textbf{Sprungantwort.} Im Zeitbereich interpretiert, bedeutet die ZOH-Diskretisierung die Abtastung der Sprungantwort eines Systems. Wie in Bild \ref{fig:Sprungantwort} bereits zusehen ist, liegen die Abtastwerte der diskreten Sprungantwort des ZOH-diskretisierten Systems auf der kontinuierlichen Sprungantwort des Originalsystems. Für alle anderen Ansätze der Diskretisierung gilt das nicht. Das liegt an der Forderung:
\begin{align}\label{ZOH:bed}
h_k(kT) =h_d (k)
\end{align}
\textbf{Integration.} Anhand der Bedingung \ref{ZOH:bed} soll abgeleitet werden, wie der diskrete Integrator, also der Akkumulator im ZOH-Sinn aussieht. Als Reaktion auf die Sprungfunktion liefert der kontinuierliche Integrator eine Rampe mit Steigung eins. Bei $y(0)=0$ liegt ein Knick vor, für $t>0$ beträgt die Steigung von $y(t)=t$ eins (entsprechend der Integratorkonstante). Die Abtastung dieser Sprungantwort liefert
\[
y(k)= kT = y(k-1) + T~~,
\]
aber wegen $y(0)=0$
\[
y(k+1)= (k+1)T = y(k) + T u(k)~~.
\]
Diese \textit{verzögerte} Integration entspricht der Intergration beim Euler-Backward-Verfahren mit der Übertragungsfuktion
\[
G_I(z) =\frac{Y(z)}{U(z)} =\frac{T}{z^{-1}+1}~~.
\]
Dort wurde jede Integration, z. B. in einer Blockschaltbild-Darstellung der Differenzialgleichung, durch diese Integration ersetzt bzw. jede Differenziation durch den entsprechenden Differenzenquotienten. Diese Vorgehensweise ist hier nicht möglich, womit sich überhaupt die Unterschiede beider Verfahren begründen.
Die Integration wird in Bild x.y veranschaulicht. Die Verzögerung legt nahe, dass es bessere Ansätze gibt, ein kontinuierliches dynamische System zu approximieren, konkret eine Integration mit Trapez-Regel (siehe Abschn. \ref{sec:Tustin-Approximation}).
\textbf{ZOH.} Warum heißt dieser Ansatz Zero-Order-Hold (ZOH)-Approximation? Betrachten wir deshalb zunächst den ZOH-Operator. Dieser exisitiert zunächst in einem kontinuierlichen Sinn. Ein kontinuierliches Eingangssignal $u(t)$ wird in ein stufenförmiges, aber kontinuierliches Signal $y(t)$ in transformiert. Die Höhe der Stufen ist durch die Werte von $u(t)$ zu den Abtastzeitpunkten $kT$ gegeben und wird für eine Periode $T$ gehalten. Das stufenförmige Signal $y(t)$ stimmt \textit{links} mit $u(t)$ überein. Man kann das Verhalten als Sample-and-Hold verstehen.
In MATLAB/Simulink\texttrademark nimmt der ZOH-Block zu Beginn der Periode den Eingangswert und hält ihn konstant für eine Periode $T$. Die Hintereinander-Schaltung zweier (oder mehrerer) ZOH-Blöcke mit identischer Abtastperiode ist dementsprechend völlig wirkungslos. Zum Abtastzeitpunkt propagiert der Eingangssignalwert durch alle Blöcke und wird am Ausgang für eine Periode gehalten.
\textbf{Zeitbereichsäquivalenz.} Regt man ein kontinuierliches System $G_k$ mit einem stufenförmigen, durch ein Abtast-Halteglied (ZOH-Block), gefiltertes Signal an, dann entspricht dieser Eingang einer Aneinanderreihung von gewichteten Sprungfunktionen.
\[
u^*(t) = \sum_{k=0}^{\infty} \sigma(t-kT)\cdot (\rho(k)-\rho(k-1))
\]
Die Gewichtung diese Treppenfunktion wird durch die mit der Periode $T$ abgetasteten Werte $\rho(k)$ erzeugt, welche durch das diskrete System $G_d$ verarbeitet werden können. Die Überlagerung von Sprungfunktionen führt bei Abbildung auf
\begin{align*}
y^*(t) &= \sum_{k=0}^{\infty} h_k(t-kT)\cdot (\rho(k)-\rho(k-1))\\
&= \rho(0) (h(t)-h(t-T))+\
&+ \rho(1) (h(t-T)-h(t-2T))\\
&\vdots\\
&= \sum_{k=0}^{\infty} \rho(k)(h_k(t-kT)-h_k(t-(k+1)T))\\
\end{align*}
\begin{align*}
y^*(k) &= \sum_{j=0}^{\infty} \rho(k) \underbrace{(h_d([k-j]T-h_d([k-j-1]T))}_{g_d(k-j)} \\
&= \sum_{j=0}^{\infty} \rho(j)g_d(k-j) = \rho(k) \ast g_d(k)\\
%&+ \rho(1) (h(t-T)-h(t-2T))\\
%&= \sum_{k=0}^{\infty} \rho(k)(h_k(t-kT)-h_k(t-(k+1)T))\\
\end{align*}
Bildet man die Faltungsumme also mit dem ZOH-diskretisierten System, basierend auf der Bedingung \ref{ZOH:bed} dann liegen die diskreten Werte $y^*(k)$ auf dem kontinuierlichen Signal $y^*_k(t)$.
%\begin{eqnarray}
% P_\text{Welle} &=& 2 \pi M n \label{eq:drehmoment-1} \\
% \Leftrightarrow\quad M &=& \frac{P_\text{Welle}}{ 2 \pi n} \label{eq:drehmoment-2}
%\end{eqnarray}
%\subsection{Compilieren%
% \label{sec:Compilieren}}
%
%\begin{figure}[H]
% \begin{center}
% \includegraphics[width=0.3\textwidth]{bilder/roll_pitch_yaw}
% % Einbinden einer Pixelgrafik.
% % Die Endung „.png“ darf weggelassen werden.
% \caption{Ein Beispielbild mit Quellenangabe \citep{yawpitchroll2013}%
% \label{fig:roll_pitch_yaw}}
% \end{center}
%\end{figure}
%
%\begin{minipage}[b]{7cm}
% \centering
% \includegraphics[width=7cm]{bilder/quadrocopter}
% \captionof{figure}{Quadrocopter \newline
% % kein \\ innerhalb von \caption oder \captionof
% % \newline
% \citep{bild_quad}%
% \label{fig:quadrocopter}}
%\end{minipage}\hfill
%\begin{minipage}[b]{7cm}
% \centering
% \includegraphics[width=7cm]{bilder/ka32S}
% \captionof{figure}{Koaxialhelicopter \newline
% \citep[S. 101]{hubschrauber1997}%
% \label{fig:ka32S}}
%\end{minipage}
%\begin{table}[H]
% \caption{Masse des anzuhebenden Trägers%
% \label{table:massen}}
% \medskip
% \begin{center}
% \begin{tabular}{l|r}
% %
% % Die Leerzeichen im Quelltext haben keinen Einfluß auf die
% % Anordnung innerhalb der Tabelle. Diese wird durch die o.a.
% % Angabe „{l|r}“ gesteuert: linksbündiges Feld, senkrechter
% % Strich, rechtsbündiges Feld.
% %
% Bauteil & Masse[g] \\
% \hline
% Trägerrohr & 35 \\
% Linearlager & 7 \\
% Lagerblock Linearlager & 5 \\
% Kabel und Schrauben & 20 \\
% Motoren & 50 \\
% Propeller & 10 \\
% Propeller Eingriffschutz & 80 \\
% Holzplatte & 14 \\
% Drehzahlsensoren & 5 \\
% \hline
% Gesamtmasse & 226 \\
% % @@@ PG: Stimmt nicht: Die Summe der Zahlen ist 194!
% \end{tabular}
% \end{center}
%\end{table}
%
%\glqq{}{Boris ermöglicht die blockorientierte Simulation
% dynamischer Systeme nahezu beliebiger Art}\grqq{}
% \citep[S. 25]{boris2009}.
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