second commit

1_Einleitung.tex

 \section{Einleitung%
          \label{sec:Einleitung}}
 
-Diskrete Systeme werden im Rahmen der digitalen Signalverarbeitung und der Regelungstechnik entworfen, in letzterer zumeist mit Bezug zu kontiuierlichen, physikalischen Modellen. Zwei wesentliche Motive können vorliegen, um kontinuierliche System zu diskretisieren, also sie durch ein mit fester Abtastzeit arbeitendes diskretes System zu approximieren.
+Diskrete Systeme werden im Rahmen der digitalen Signalverarbeitung und der Regelungstechnik entworfen, in letzterer zumeist mit Bezug zu kontiuierlichen, physikalischen Modellen. Zwei wesentliche Motive können hier vorliegen, um kontinuierliche System zu diskretisieren, also sie durch ein mit fester Abtastzeit arbeitendes, diskretes System zu approximieren.
 
 \begin{enumerate}
-\item Hat man mit klassischen Methoden einen kontinuierlichen Regler entworfen, z. B. anhand eines Streckenmodells, dann erfordert die Realisierung auf einem Rechner (einer echtzeitfähigen Hardware beliebiger Art) eine diskrete Approximation, also ein unter Beachtung der Abtastzeit das kontinuierliche System möglichst gut nachbildendes diskretes Modell. Dies ist immer erforderlich, wenn nicht Bibliotheken für die Übersetzung kontinuierlicher Parameter, z. B. für PID-Regler, oder andere Software zur Verfügung steht, welche eine automatische Diskretisierung vornehmen (wie z. B. MATLAB Coder).  
-\item Eine etwas andere Vorgehensweise des Reglerentwurfs besteht darin, den diskreten Regler direkt anhand eines diskreten Streckenmodells zu entwerfen. Dafür ist jetzt also die Strecke zu diskretisieren. Anschließend steht eine eigene Welt von Methoden für den diskreten Regler zur Verfügung, welche oft Ähnlichkeiten mit klassischen kontinuierlichen Methoden aufweisen, aber letztlich doch eigenständige Methoden darstellen.
+\item Hat man mit klassischen Methoden einen kontinuierlichen Regler entworfen, z. B. anhand eines Streckenmodells, dann erfordert die Realisierung auf einem Rechner (einer echtzeitfähigen Hardware beliebiger Art) eine diskrete Approximation, also ein unter Beachtung der Abtastzeit \textbf{den kontinuierlichen Regler} möglichst gut nachbildendes diskretes Modell. Dies ist immer erforderlich, wenn nicht Bibliotheken für die automatisierte Übersetzung kontinuierlicher Parameter, z. B. für PID-Regler, oder andere Software zur Verfügung steht, welche eine numerische Lösung bieten (wie z. B. MATLAB Coder).  
+\item Eine etwas andere Vorgehensweise des Reglerentwurfs besteht darin, den diskreten Regler direkt anhand eines diskreten Streckenmodells zu entwerfen. Dafür ist jetzt also die \textbf{Strecke bzw. das kontinuierliche Streckenmodell} zu diskretisieren. Anschließend steht eine eigene Welt von Methoden für den diskreten Reglerentwurf zur Verfügung, welche oft Ähnlichkeiten mit klassischen kontinuierlichen Methoden aufweisen, aber letztlich eigenständige Methoden darstellen.
 \end{enumerate}
 
 Der Verdacht liegt nahe, dass man in beiden Fällen anstrebt, das kontinuierliche System möglichst gut zu approximieren. Allerdings gilt für den zweiten Fall der Streckendiskretisierung, dass man aus Sicht des zu entwerfenden Reglers tatsächlich das Verhalten des kontinuierliche Modells in Reihe geschaltet mit zwei Haltegliedern erster Ordnung nachbilden will. Dies erzwingt die Eigenschaft des diskreten Systems, pro Abtastzeit nur einen Wert zu verarbeiten und am Ausgang einen Wert für eine Abtastzeit zu halten.
 
-Einige hier Benutze Begriffe der Regelungstechnik und der Systemtheorie werden im Grundlagenkapitel eingeführt. Dann wird die Euler-Approximation behandelt, bei der Ableitungen durch einen simplen Differenzenquotienten ersetzt werden. Mit MATLAB\texttrademark (R2021a) lassen sich Systeme erzeugen, Darstellungen ineinander überführen und auch diskrete Systeme ableiten, wie das  folgende Skript zeigt:\\
+Einige wichtige Begriffe der Systemtheorie werden im Grundlagenkapitel eingeführt. Dann wird die Euler-Approximation behandelt (Kap \ref{sec:Euler-Diskretisierung}), bei der Ableitungen durch einen simplen Differenzenquotienten ersetzt werden.
 
-\url{ https://gitlab.cvh-server.de/jfalkenhain/diskretisierung-linearer-systeme/-/blob/master/Matlab/Diskretisierung_mit_MATLAB.m}
+ Mit MATLAB\texttrademark (R2021a) lassen sich Systeme erzeugen, Darstellungen ineinander überführen und auch diskrete Systeme ableiten, wie das  folgende Skript zeigt:\\
 
-Hier wird ein System zweiter Ordnung (ohne Durchgriff, mit komplexen Eigenwerten) diskretisiert nach den Methoden ZOH (Zero-Order Hold), FOH (First-Order Hold), Impulse und Tustin, welche in den folgenden Kapiteln behandelt werden. Bild \ref{fig:Sprungantwort} ..
+\href{https://gitlab.cvh-server.de/jfalkenhain/diskretisierung-linearer-systeme/-/blob/master/Matlab/Diskretisierung_mit_MATLAB.m}{Matlab\texttrademark(R2021a) file on Git: Diskretisierung\_mit\_MATLAB.m}
+
+%\url{ https://gitlab.cvh-server.de/jfalkenhain/diskretisierung-linearer-systeme/-/blob/master/Matlab/Diskretisierung_mit_MATLAB.m}
+
+Hier wird ein System zweiter Ordnung (ohne Durchgriff, mit komplexen Eigenwerten) diskretisiert nach den Methoden ZOH (Zero-Order Hold), FOH (First-Order Hold), Impulse und Tustin, welche in den folgenden Kapiteln behandelt werden. Bild \ref{fig:Sprungantwort} vergleicht die Sprungantworten der diskreten Systeme mit der des Originalsystems.
 
 \begin{figure}[H]
   \begin{center}
@@ -24,6 +28,21 @@ Hier wird ein System zweiter Ordnung (ohne Durchgriff, mit komplexen Eigenwerten
   \end{center}
 \end{figure}
 
+Der Verlauf für das ZOH-approximierte System liegt zu den Zeitpunkten $kT$ exakt auf der kontinuierlichen Sprungantwort, da dieses Verfahren gerade so konzipert ist. Tustin- und FOH-approximiertes System liefern eine ähnliche Sprungantwort, ohne exakt die kontinuierliche Kurve zu treffen. Da sie die gleiche statische Verstärkung (hier $k_{DC}=1$) wie das Originalsystem haben, verschwinden die Abweichungen nach Abklingen des Übergang. Das dies für die Impulse-approximierte Sprungantwort nicht gilt, kann zu dem Schluss führen, dass Impulse-Approximation wenig geeignet ist, das kontinuierliche System zu approximieren. 
+
+\begin{figure}[H]
+  \begin{center}
+    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{bilder/Impulsantwort_Vergleich}
+      \caption{Impulsantwort des Systems 2. Ordnung und daraus abgeleiteter diskreter Systeme %\citep{yawpitchroll2013}%
+             \label{fig:Impulseantwort}}
+  \end{center}
+\end{figure}
+
+Aus einer anderen Perspektive wird aber lediglich ein anderer Aspekt, nämlich die Impulsantwort möglichst gut approximiert, was dazu führt, dass die Sprungantwort weniger gut getroffen wird. 
+
+
+
+
 \begin{landscape}
 
 
@@ -38,9 +57,9 @@ Hier wird ein System zweiter Ordnung (ohne Durchgriff, mit komplexen Eigenwerten
       Forward-Euler             & Ja 		&  & &\\
       Backward-Euler            & Ja  	&  & &\\
       ZOH   										& Nein	&  & &    5 \\
-      FOH       								&				&	 & &20 \\
-      Impuls                  	&       &50	& &\\
-      Tustin                    &       10 &&&\\
+      FOH       								&	Nein			&	 & &20 \\
+      Impuls                  	& Nein      &50	& &\\
+      Tustin                    & Ja      10 &&&\\
       Mathched Filter 					& Nein   & -&-&   80 \\
       %Holzplatte               &       14 \\
       %Drehzahlsensoren         &        5 \\

2_Grundlagen.tex

 \section{Grundlagen der Systemtheorie -- eine Auswahl%
          \label{sec:Grundlagen}}
-Betrachtet werden lineare, zeitinvariante Systeme, deren Übertragungsverhalten aufgrund der Linearität im Frequenzbereich durch die Übertragungsfunktion $G(s)$ beschrieben werden kann. Im Zeitbereich wird das System vollständig durch charakteristische Funktionen wie dir Impulsantwort $g(t)$ beschrieben, welches mit der Übertragungsfunktion ein Laplace-Transformationspaar bildet:
+Betrachtet werden lineare, zeitinvariante Systeme, deren Übertragungsverhalten aufgrund der Linearität im Frequenzbereich durch die Übertragungsfunktion $G(s)$ beschrieben werden kann. Im Zeitbereich wird das System vollständig durch charakteristische Funktionen wie die Impulsantwort $g(t)$ beschrieben, welches mit der Übertragungsfunktion ein Laplace-Transformationspaar bildet:
 \[g(t)~~\laplace~~ G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{\Pi_{i=1}^q (s-s_{0i})}{\Pi_{i=1}^n (s-s_i)}\]
 Mit der Impulsantwort reagiert das System auf Anregung mit dem Dirac-Impulse
 \begin{align}
@@ -10,13 +10,12 @@ Mit der Impulsantwort reagiert das System auf Anregung mit dem Dirac-Impulse
 0~~\text{für}~t \neq 0\\
 \infty ~~\text{für}~t = 0
 \end{array}
-\right.~~
+\right.;~~
 \int_{-\infty}^{t_0} \rho(t)dt =
 \left\{
 \begin{array}{l}
-0~~\text{für}~t_0<0 \neq 0\\
-1/2 ~~\text{für}~t = 0\\
-1~~\text{für}~t_0>0 \neq 0\\
+0~~\text{für}~t_0<0 \\
+1~~\text{für}~t_0\geq0 \neq 0\\
 \end{array}
 \right. 
 =\sigma(t_0)
@@ -24,12 +23,12 @@ Mit der Impulsantwort reagiert das System auf Anregung mit dem Dirac-Impulse
 
 Das Ausgangssignal $y(t)$ ergibt sich durch das Faltungsintegral des Eingangs $u(t)$ mit der Gewichtsfunktion
 \[
-y(t) = u(t)\ast g(t) = \int_{-\infty}^t u(\tau) g(t-\tau) d\tau
+y(t) = u(t)\ast g(t) = \int_{-\infty}^t u(\tau) g(t-\tau) d\tau~~.
 \]
 
 Integration über den Dirac-Impuls liefert die Sprungfunktion, auf die das System mit der Sprungantwort $h(t)$ reagiert. Für stabile Systeme klingt die Impulsantwort ab und die Sprungantwort ist beschränkt.\\
 
-Durch Abtastung beschränkter kontinuierlicher Signale mit der Abtastzeit $T$ erhält man Folgen, wie beispielsweise die Sprungfolge $\sigma(k)$ für $k\in mathrm{Z}$ aus der Sprungfunktion. Zu beachten ist, dass der Einheitsimpuls
+Durch Abtastung beschränkter kontinuierlicher Signale mit der Abtastzeit $T$ erhält man Folgen, wie beispielsweise die Sprungfolge $\sigma(k)$ für $k\in \mathds{Z}$ aus der Sprungfunktion. Zu beachten ist, dass der Einheitsimpuls
 \begin{align}
 \rho(k)=
 \left\{
@@ -37,11 +36,11 @@ Durch Abtastung beschränkter kontinuierlicher Signale mit der Abtastzeit $T$ er
 0~~\text{für}~k \neq 0\\
 1 ~~\text{für}~k = 0
 \end{array}
-\right.~~
+\right. =\sigma(k)-\sigma(k+1)~~
 \end{align}
 nicht aus der Abtastung des Dirac-Impulses hervorgeht, da dieser bei null nicht beschränkt ist. Die Bedeutung des diskreten Impulses ist also eine völlig andere, nämlich dass alle diskreten Folgen, im weiteren auch Signale genannt, eine Summe von gewichteten Impulsen darstellen, verschoben um den Zeitindex $k$.
 
-Ersetz man in der Laplace-Transformation $z=e^{-sT}$, so entsteht die z-Transformation, über welche die diskrete Impulsantwort und die diskrete Übertragungsfunktion korrespondieren
+Ersetz man in der Laplace-Transformation $z=e^{-sT}$, so entsteht die z-Transformation, über welche die diskrete Impulsantwort und die diskrete Übertragungsfunktion ein z-Transformationspaar bilden
 \[g(k)~~\laplace~~ G(z) = \frac{Y(z)}{U(z)} = \frac{\Pi_{i=1}^q (z-z_{0i})}{\Pi_{i=1}^n (z-z_i)}\]
 und sich ähnliche Zusammenhänge wie im Kontinuierlichen ergeben (siehe Seite \ref{ref:pdfuebersicht}).
 Über die diskrete Faltung 
@@ -69,6 +68,17 @@ Die Abbildung $z=e^{-sT}$ aus der $s$-Ebene in die $z$-Ebene ist in Bild \ref{fi
 \end{center}
 \end{figure}
 
+Im Zeitbereich entstehen Modelle aus Differenzialgleichungen, welche im linearen Fall zumeist in Form eines Zustandsraummodells (ZRM) dargestellt werden können:
+\begin{align}\label{ZRM_kont}
+ \dot{\jv x}(t) &= \jv A_k \jv x(t) + \jv B_k \jv u(t),~~\jv x(0)=\jv x_0\\
+\jv y(t) &= \jv C_k \jv x(t) + \jv D_k \jv u(t)\nonumber
+\end{align}
+Darin bezeichnet $\jv x$ den Zustandsvektor. Über die Matrix $\jv A_k$ wird ein System von Differenzialgleichungen erster Ordnung formuliert. $\jv D_k$ wird als Durchgriff bezeichnet, da es die direkte Wirkung eines Eingangssignals $\jv u(t)$ (z. B. P-Anteil beim Regler) auf den Ausgang ohne Integration beschreibt. Analog dazu ist
+\begin{align}\label{ZRM_disk}
+\jv x(k+1)&=\jv A_d \jv x(k)+\jv B_d \jv u(k),~~\jv x(0)=\jv x_0\\
+\jv y(k) &= \jv C_d \jv x(k) + \jv D_d \jv u(k)\nonumber
+\end{align}   
+ein diskretes ZRM mit Zustandsübergangs- und Ausgabegleichung . Die Auswertung erfordert immer die Kenntnis des Anfangszustands $\jv x_0$. Die hier verwendete Schreibweise wird für Mehrgrößensysteme  verwendet. Im Eingrößenfall wird der Durchgriff $d$ skalar und anstelle von Matrizen bleibt ein Eingangsvektor $\jv b$ und ein Ausgangsvektor $\jv c^T$.
 %\subsection{Wissenschaftliches Schreiben%
  %           \label{sec:Grundlagen-Schreiben}}
 

3_Euler-Diskretisierung.tex

 \section{Euler-Diskretisierung
          \label{sec:Euler-Diskretisierung}}
 
-Der Euler-Ansatz besteht darin, die kontinuierliche Ableitung durch den Differenzenquozienten zu ersetzen, im ersten Fall (nicht-kausal) mit dem zukünftigen Wert, im zweiten Fall mit dem vergangenen Wert (kausal). In beiden Fällen erhält man kausale, diskrete Systeme, allerdings mit ungünstigen Eigenschaften bezüglich Transformation der Eigenwerte/Pole. Im Video \citep{yawpitchroll2013} sind diese Eigenschaften dargestellt. Von Vorteil ist, dass auch nichtlineare Differenzialgleichungen auf diese Art diskretisiert werden können, für lineare Systeme könnte der Ansatz als naiv gelten, weshalb in der Quelle \citep{yawpitchroll2013} gegen Ende zur Tustin-Approximation \ref{sec:Tustin-Approximation} übergegangen wird.  
+Der Euler-Ansatz besteht darin, die kontinuierliche Ableitung durch den Differenzenquozienten zu ersetzen, im ersten Fall (nicht-kausal) mit dem zukünftigen Wert des abzuleitenden Signals, im zweiten Fall mit dem vergangenen Wert (kausal). In beiden Fällen erhält man kausale, diskrete Systeme, allerdings mit ungünstigen Eigenschaften bezüglich Transformation der Eigenwerte/Pole. Im Video \citep{yawpitchroll2013} sind diese Eigenschaften dargestellt. Von Vorteil ist, dass auch nichtlineare Differenzialgleichungen auf diese Art diskretisiert werden können. Für lineare Systeme könnte der Ansatz als naiv betrachtet, weshalb in der Quelle \citep{yawpitchroll2013} gegen Ende zur Tustin-Approximation Kap. \ref{sec:Tustin-Approximation} übergegangen wird.  
 
    
-\subsection{Euler-Forward-Diskretisierung
+\subsection{Euler-Forward-Diskretisierung (explizit)
             \label{sec:Euler-Forward-Diskretisierung}}
 
-Der Ansatz der Euler-Diskretisierung ist es, die Differnziale durch den Differenzenquotienten zu ersetzen. Bei der Euler-Forward-Methode
-\begin{align*}
-\dot{x}=\approx \frac{x(k+1)-x(k)}{T}
-\end{align*}
-bildet an die Differenz aus dem \textbf{zukünftigen} Wert und dem aktuellen Wert zum Zeitpunkt $k$ und bildet den Quotienten mit der Abtastzeit $T$. 
+Der Ansatz der Euler-Diskretisierung ist es, die Differenziale durch den Differenzenquotienten zu ersetzen. Bei der Euler-Forward-Methode
+\begin{align}\label{Forward_diffq}
+\dot{x}\approx \frac{x(k+1)-x(k)}{T}
+\end{align}
+bildet man die Differenz aus dem \textbf{zukünftigen} Wert und dem aktuellen Wert zum Zeitpunkt $k$ und bildet den Quotienten mit der Abtastzeit $T$. 
 
 Die Differenzengleichung des diskreten Differenziators lautet also 
 \begin{align*}
-y(k)&= \frac{u(k+1)-u(k)}{T}\\
+y(k)&= \frac{u(k+1)-u(k)}{T}~~.
 \end{align*}
-Sie ist nicht realisierbar, weil nicht kausal. Die Übertragunsfunktion ergibt sich durch z-Transfomration zu
+Sie ist nicht realisierbar, weil nicht kausal. Allerdings gilt ja auch der ideale kontinuierliche Differeziator als nihct-kausal. Die Übertragunsfunktion ergibt sich durch z-Transformation zu
 \begin{align*}
-Y(z) = \frac{zU(z)- U(z)}{T}  \Rightarrow \frac{Y(z)}{U(z)}=\frac{z-1}{T}
+Y(z) = \frac{zU(z)- U(z)}{T}  ~~\Leftrightarrow~~ \frac{Y(z)}{U(z)}=\frac{z-1}{T}
 \end{align*}
-und führt auf den Zusammenhang $sT+1 \equiv z$
+und führt auf den Zusammenhang $sT+1 \equiv z$.
+
+Bei der Euler-Diskretisierung ersetzt man jede elementare Differenziation entsprechend bzw. jede Integration, welche z. B. im Signalflussgraphen der Differenzialgleichungen auftritt. Als Umkehroperation zur Bildung des Differenzenquotienten leiten wir die diskrete Integration bzw. Akkumulation wie folgt ab. Wir vertauschen Ein- und Ausgang und bilden den Differenzenquotienten des Ausgangssignals: 
+
+\begin{tikzpicture}[node distance=2.5cm,auto,>=latex', scale=3]
+    \node [int] (a) {$\text{A}_{EF}$};   %\node [int, pin={[init]above:$v_0$}] (a) {$\int$};
+    \node (b) [left of=a,node distance=2cm, coordinate] {a};
+    \node (c) [right of=a] {$$}; %\node [int, pin={[init]above:$p_0$}] (c) [right of=a] {$\int$};
+    \node (d) [right of=c] {$u(k)= \frac{y(k+1)-y(k)}{T}$};
+    \node (e) [right of=d] {$$};
+    \node [coordinate] (end) [right of=c, node distance=2cm]{};
+    \path[->] (b) edge node {$u(k)$} (a);
+    \path[->] (a) edge node {$y(k)$} (c);
+\end{tikzpicture}
 
-Die Differenzengleichung für den Integrator lautet mit äquivalenter Argumentation 
+Umstellen nach $y(k)$ liefert die die Differenzengleichung für den Akkumulator
 \begin{align*}
-u(k)&= \frac{y(k+1)-y(k)}{T}\\
 y(k+1)&=y(k)+T u(k)\\
-y(k)&=y(k-1)+T u(k-1)\\
+\text{A}_{EF}:~y(k)&=y(k-1)+T u(k-1)\\
 \end{align*}
 
 Unter Anwendung der z-Transformation erhält man
 \begin{align*}
-Y(z) (1- z^{-1}) &= t z^{-1} U(z)\\
-\frac{y(z)}{U(z)}&=T\frac{1}{z-1}
+Y(z) (1- z^{-1}) &= T z^{-1} U(z)\\
+\Leftrightarrow G(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}&=T\frac{1}{z-1}
 \end{align*}
 als Übertragungsfunktion des diskreten Integrators.
 
-Tatsächlich kann genauso gut jeder Integrator, z. B. in einer Darstellung als Blockschaltbild entsprechend
+Tatsächlich wird jeder Integrator wie bereits erwähnt entsprechend
 \begin{align}
 \frac{1}{s}\equiv T\frac{1}{z-1}
 \end{align}
-ersetzt werden. Die Abblidung im Frequenzbereich ist also durch
+durch den Akkumulator ersetzt bzw. jede Zeitableitung $s$ durch den Kehrwert. Die Abbildung im Frequenzbereich ist also durch
 \begin{align*}
 s\equiv (z-1)\cdot 1/T~~~\text{bzw.}~~~z\equiv sT+1
 \end{align*}
-gegeben.
-
-
-Äquivalente Argumentation mit Differenzierergleichung ist möglich...
-
-Eine Eigenschaft des Ansatzes ist damit, dass eine eindeutige Pol-Transfornation stattfindet. Betrachtet man die Verschiebung der Pole der linken s-Halbebene, so können stabile Systeme in instabile diskrete Systeme transformiert werden. 
-
-Dies zeigt sich auch bei Diskretisierung der Zustandsgleichung des ZRM, wo aus $\dot x(t)= Ax(t)+Bu(t)$ folgt
-\begin{align*}
-x(k+1)-x(k)&=TAx(k) + TBu(k)\\
-x(k+1)&=(TA+I)x(k) + TB u(k)
-\end{align*}
+gegeben und die Überführung erfolgt durch Ersetzen komplexen Variablen $s\mapsto (z-1)/T$.
+Eine Eigenschaft des Ansatzes ist damit, dass eine eindeutige $s-z$-Transfornation stattfindet, insbesondere auch der Pol- und Nullstellen. 
 
 \begin{figure}[H]
 \begin{center}
@@ -92,36 +94,68 @@ x(k+1)&=(TA+I)x(k) + TB u(k)
 \end{center}
 \end{figure}
 
+Betrachtet man die Verschiebung der Pole der linken s-Halbebene, so können stabile Systeme in instabile diskrete Systeme transformiert werden. 
 Man kann sich vorstellen, dass nur in Ausnahmefällen stabile Pole des kontinuierlichen Systems im Einheitskreis der z-Ebene landen und somit auch stabile Pole des diskreten Systems darstellen. Das dargestellte grenzstabile Polpaar wird sich auf instabile Pole des diskreten Systes führen, aber auch zu weit rechts in der s-Ebene Pole transformieren trotz hoher Abtastrate möglicherweise nicht auf stabile Pole.
 
+
+Die Art der Polverschiebung zeigt sich auch bei Diskretisierung der Zustandsgleichung des ZRM \eqref{ZRM_kont}, wo mit dem Differenzenqutienten \eqref{Forward_diffq} folgt
+\begin{align*}
+\jv x(k+1)-\jv x(k)&=T \jv A \jv x(k) + T \jv B \jv u(k)\\
+\Leftrightarrow\jv x(k+1)&=(T\jv A+\jv I) \jv x(k) + T\jv B \jv u(k)~~.
+\end{align*}
+Auch hier wird die Skalierung und Verschiebung der Systemeigenwerte deutlich, welche in der Regel die Pole des Systems bilden.
+
+step-ForwardEuler
+\begin{figure}[H]
+  \begin{center}
+    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{bilder/step-ForwardEuler}
+      \caption{Sprungantwort eines Systems 2. Ordnung und Euler-Forward-Diskretisierung für verschiedene Abtastzeiten %\citep{yawpitchroll2013}%
+             \label{fig:step-ForwardEuler}}
+  \end{center}
+\end{figure}
+
+Die Sprunganwort (Bild \ref{fig:step-ForwardEuler}) für das so diskretisierte Originalsystem 
+\[G(s)=\frac{s+1}{s^2+s+1}\] 
+liegt für $T=0.5$ im Vergleich zu anderen Verfahren (Bild \ref{fig:Sprungantwort}) weiter von der kontinuierlichen Sprungantwort weg und nähert sich bei Reduktion der Abtastzeit. Für größere $T$ wird das diskrete System instabil. Die statische Verstärkung des Originalsystems $h(t\rightarrow\infty)$ entspricht unabbhängig von $T$ der, des diskreten Systems. Das dies im Allgemeinen der Fall ist, kann anhand der Darstellungen in ZRM-Form gezeigt werden:
+\begin{align*}
+G_k(s=0) = \jv D- \jv C\jv A_k^{-1} \jv B_k &\stackrel{?}{=}  \jv D+ \jv C(\jv I-\jv A_d)^{-1} \jv B_d =G_d(z=0)\\
+\Leftrightarrow~~ - \jv A_k^{-1} \jv B_k &{=}  \jv  (\jv I-\jv A_d)^{-1} \jv B_d\\
+&{=}  \jv  (\jv I-\jv (T\jv A_k+\jv I))^{-1} T \jv B_k = - \jv A_k^{-1} \jv B_k
+\checkmark
+\end{align*}
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
-\subsection{Euler-Backward-Diskretisierung
+\subsection{Euler-Backward-Diskretisierung (implizit)
             \label{sec:Euler-Forward-Diskretisierung}}
 
 Der Ansatz Euler-Backward bedeutet, einen kausalen diskreten Differenziator zu bilden, bei dem die Zeitableitung durch den Differenzenquozienten aus dem aktuellen und dem \textbf{vergangenen} Vorgängerwert des Signals gebildet wird:
 \begin{align*}
-\dot{x}=\approx \frac{x(k)-x(k-1)}{T}
+\dot{x}\approx \frac{x(k)-x(k-1)}{T}
 \end{align*}
-Leiten wir diesmal direkt ab, dass der Frequenzbereichsdifferntiazion folgendes entspricht
+Leiten wir diesmal direkt ab, dass der Differnziation im Frequenzbereich auf der linken Seite ($s$) die Differenz von verzögerten Eingängen entspricht, also
 \begin{align}
 s  \equiv \frac{1-z^{-1}}{T}~~~\text{bzw.}~~~z=\frac{1}{1-sT}
 \end{align}
 dann erhalten wir durch Umstellen auch die Übertragungsfunktion des Integrators
-\begin{align*}
-\frac{1}{s}\equiv \frac{Tz}{z-1}
-\end{align*}
-
-
-Auch dieser Ansatzes stellt eine eindeutige Pol-Transfornation dar. Die Transformation stabiler Pole aus der linken s-Halbebene endet in einem Kreis im Einheitskreis. Das ist bezüglich der dynamischen Eigenschaften des Systems konservativ, soll heißen bestimmt dynamische Eigenschaften stabiler diskreter System können nicht aus stabilen kontinuierlichen Systemen abgeleitet werden. 
+\begin{align}\label{EB:Integrator}
+\frac{1}{s}\equiv \frac{Tz}{z-1} = \frac{Y(z)}{U(z)}~~.
+\end{align}
+Durch Umkehrung der E/A-Signale des Differenziator oder durch Transformation der Übertragungsfuktion \eqref{EB:Integrator} kann man die Differenzengleichung des Akkumulator ermitteln:
+
+\begin{tikzpicture}[node distance=2.5cm,auto,>=latex', scale=3]
+    \node [int] (a) {$\text{A}_{EB}$};   %\node [int, pin={[init]above:$v_0$}] (a) {$\int$};
+    \node (b) [left of=a,node distance=2cm, coordinate] {a};
+    \node (c) [right of=a] {$$}; %\node [int, pin={[init]above:$p_0$}] (c) [right of=a] {$\int$};
+    \node (d) [right of=c] {$\text{A}_{EB}:~y(k)= y(k-1)+Tu(k)$};
+    \node (e) [right of=d] {$$};
+    \node [coordinate] (end) [right of=c, node distance=2cm]{};
+    \path[->] (b) edge node {$u(k)$} (a);
+    \path[->] (a) edge node {$y(k)$} (c);
+\end{tikzpicture}
 
-Die  Diskretisierung der Zustandsgleichung des ZRM führt auf
-\begin{align*}
-x(k)-x(k-1)&=TAx(k) + TBu(k)\\
-x(k+1)[I-TA]&= x(k) + TB u(k+1)
-\end{align*}
 
+Auch dieser Ansatzes stellt eine eindeutige Pol-Transformation dar. Die Transformation stabiler Pole aus der linken s-Halbebene endet in einem Kreis im Einheitskreis. Das ist bezüglich der dynamischen Eigenschaften des Systems konservativ, soll heißen bestimmt dynamische Eigenschaften stabiler diskreter System können nicht aus stabilen kontinuierlichen Systemen abgeleitet werden. 
 
 \begin{figure}[H]
 \begin{center}
@@ -154,6 +188,18 @@ x(k+1)[I-TA]&= x(k) + TB u(k+1)
 \end{center}
 \end{figure}
 
+Durch Einsetzen des Differenzenquotienten auf der linken Seite diskretisiert man die Zustandsgleichung des ZRM 
+\begin{align}\label{ZRM:kompliziert}
+\jv x(k)-\jv x(k-1)&=T\jv A\jv x(k) + T\jv B\jv u(k)\\\nonumber
+\Leftrightarrow~\jv x(k+1)[\jv I-T\jv A]&= \jv x(k) + T\jv B \jv u(k+1)~~.
+\end{align}
+
+\begin{itemize}
+\item Die Umformung von Gl. \ref{ZRM:kompliziert} in ein ZRM ist etwas aufwendiger, weil hier die vermeindliche Zustandsgröße $\jv x(k+1)$ vom Eingang $\jv u(k+1)$ zum gleichen Zeitpunkt abhängt. Mit einem modifizierten zustand gelingt die Darstellung  und wird (irgendwann) in Anhang A nachgereicht.
+\item Es lässt sich aber erkennen, dass die Zustandsübergangsmatrix $[\jv I-T\jv A_k]^{-1}$ lautet.
+\item Plausibilisiert man sich die Eigenwerttransformation anhand der stabilen Eigenwerte auf der reellen Achse, so kann das mit der speziellen Form der Diagonalmatrix für $\jv A_k$ gelingen. Die reellen $\hat{\lambda}_i(\jv I_T\jv A_k)>1$ und damit für die inverse Matrix $0>\lambda_i(\jv A_d)>1$, also im angedeuteten Bildbereich auf der positiven reellen Achse im Einheitskreis.
+\end{itemize}
+
 %\citep[S. 25]{mathworks2013}
 
 %\begin{eqnarray}

4_ZOH-Diskretisierung.tex

@@ -46,6 +46,9 @@ y^*(k) &= \sum_{j=0}^{\infty} \rho(k) \underbrace{(h_d([k-j]T-h_d([k-j-1]T))}_{g
 \end{align*}
 Bildet man die Faltungsumme also mit dem ZOH-diskretisierten System, basierend auf der Bedingung \ref{ZOH:bed} dann liegen die diskreten Werte $y^*(k)$ auf dem kontinuierlichen Signal $y^*_k(t)$.
 
+\textbf{Zustandsraummodell.} In \cite{Lunze16b} wird ein diskretes System als Abtastsystem 
+Für regulär $\jv A_k$ entsteht das diskrete Zustandsraummodell \eqref{ZRM_disk} mit den Matrizen
+
 
 
 %\begin{eqnarray}

Matlab/Diskretisierung_mit_MATLAB.m

@@ -20,6 +20,20 @@ figure(1), step(sys), hold on
 [y,t]=step(sys_Tustin); plot(t, y ,'*','color', 'green')
 
 legend({'','ZOH','FOH','Impulse','Tustin'},'Location','South')
+% dcgain(sys_impulse) % statische Verstärkung nur für sys_impulse ungleich
+% 1 =dcgain(sys), deshalb die Abweichung 
 
 % Bild speichern
-saveas(gcf,'./bilder/Sprungantwort_Vergleich.png')
\ No newline at end of file
+% saveas(gcf,'../bilder/Sprungantwort_Vergleich.png')
+
+%% Jetzt Impuls-Antworten berechnen und vergleichen
+figure(2), impulse(sys), hold on
+
+[y,t]=impulse(sys_ZOH); plot(t, y ,'*','color', 'blue')
+[y,t]=impulse(sys_FOH); plot(t, y ,'*','color', 'red')
+[y,t]=impulse(sys_impulse); plot(t, y ,'*','color', 'black')
+[y,t]=impulse(sys_Tustin); plot(t, y ,'*','color', 'green')
+legend({'','ZOH','FOH','Impulse','Tustin'},'Location','North')
+
+% Bild speichern
+saveas(gcf,'../bilder/Impulsantwort_Vergleich.png')

hauptdatei.bib

@@ -18,6 +18,16 @@ note = {Lecture 7: Discrete Approximation of Continuous-Time Systems. \url{https
 }
 
 
+@book{Lunze16b,
+  author = {Lunze, Jan},
+  edition = 4,
+  publisher = {Springer Vieweg},
+  series = {Lehrbuch},
+  title = {Regelungstechnik 2: Mehrgr\"{o}\ss{}ensysteme, Digitale Regelung},
+  year = 2006
+}
+
+
 
 
 @MISC{zeppelin2013,

hauptdatei.tex

@@ -57,6 +57,7 @@
 % Zusätzliche mathematische Symbole importieren
 \usepackage{amsmath}
 \usepackage{amssymb}
+\usepackage{dsfont}
 
 % erzeugt Inhaltsverzeichnis mit Querverweisen zu den Kapiteln (PDF Version)
 \usepackage[bookmarksnumbered,hyperfootnotes=false]{hyperref} 
@@ -187,7 +188,8 @@
   
   \newcommand{\discipline}{Mechatronik \& Informationstechnologie}
 
-  \newcommand{\finaldate}{35.~Mai 2038}
+  \newcommand{\finaldate}{\today}
+	\newcommand{\jv}{\pmb}
 
 %
  \input{deckblatt-cvh} % Inhalt aus separater Datei lesen