Tafelbilder und Notizen 18.4.2024

20240418/ad-20240418.txt

+Erweiterter euklidischer Algorithmus, 11.04.2024, 16:38:59
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+gegeben: a, b
+berechnet: ggT(a,b) = s · a + t · b    # "ggT" = größter gemeinsamer Teiler
+           ~~~        ~       ~
+
+RSA:
+gegeben: e, N = p · q, e teilerfremd zu N
+gesucht: d mit d · e % N = 1
+
+Was hat das eine mit dem anderen zu tun?
+
+--> Problem umformulieren, so daß es "s · a + t · b" ähnlicher wird
+
+d · e % N = 1 --> Trick: aus "%" ein "+" machen
+
+Schreibe "16 % 7 = 2" als "16 = Vielfaches von 7 + 2" als "16 = m · 7 + 2"
+
+--> d · e + m · N = 1  (m darf auch negativ sein.)
+
+Dort, wo wir gerne eine 1 hätten, steht der ggT.
+Was ist in unserem Fall der ggT? --> = 1, weil e teilerfremd zu N ist.
+
+Wähle: a = e, b = N, dann gibt uns der erweiterte euklidische Algorithmus:
+1 = s · e + t · N
+--> s · e + ein Vielfaches von N = 1
+--> s ist das gesuchte d. :-)
+
+Korrektur, 18.04.2024, 16:55:43
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+ChatGPT:
+  ... allerdings sollte N ... tatsächlich \phi(N) sein ... und nicht N selbst.
+  ...
+  \phi(N) ist definiert als (p - 1) · (q - 1).
+
+Praktikumsunterlagen HP, Versuch 1:
+
+  Berechnen Sie N = p · q sowie eine natürliche
+  Zahl d mit der Eigenschaft:
+
+        (e · d) % (p - 1) · (q - 1) = 1
+
+--> Ersetze oben alle "N" durch "n", wobei n = (p - 1) · (q - 1) ist.
+
+Gelöste Probleme:
+ - Das "b" im erweiterten euklidischen Algorithmus muß (p - 1) · (q - 1) sein, nicht N.
+ - s und t können auch negativ sein. --> int64_t statt uint64_t
+ - Der Rückgabewert ist s_{i - 1}, nicht s_i.
+ - negatives Ergebnis durch Addieren von (p - 1) · (q - 1) positiv machen
+
+Warum? Wie sind negative Ergebnisse zu interpretieren?
+Sei n = (p - 1) · (q - 1).
+Der Algorithmus liefert: 1 = s · e + t · n, wobei s und t negativ sein können.
+Das "t · n" steht für "modulo n". Wir können t ignorieren.
+Wenn s negativ ist, ist es das inverse Element der Addition
+  in dem Ring ( { 0, ..., n - 1 }, +, · ).
+In diesem Ring wird alles modulo n gerechnet.
+--> Zahlen außerhalb von 0 bis n - 1 müssen wir durch Addieren/Subtrahieren von n
+    in diesen Zahlanbereich bringen. (Addition/Subtraktion von n entspricht +- 0.)