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Tafelbilder und Notizen 18.4.2024

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Erweiterter euklidischer Algorithmus, 11.04.2024, 16:38:59
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
gegeben: a, b
berechnet: ggT(a,b) = s · a + t · b # "ggT" = größter gemeinsamer Teiler
~~~ ~ ~
RSA:
gegeben: e, N = p · q, e teilerfremd zu N
gesucht: d mit d · e % N = 1
Was hat das eine mit dem anderen zu tun?
--> Problem umformulieren, so daß es "s · a + t · b" ähnlicher wird
d · e % N = 1 --> Trick: aus "%" ein "+" machen
Schreibe "16 % 7 = 2" als "16 = Vielfaches von 7 + 2" als "16 = m · 7 + 2"
--> d · e + m · N = 1 (m darf auch negativ sein.)
Dort, wo wir gerne eine 1 hätten, steht der ggT.
Was ist in unserem Fall der ggT? --> = 1, weil e teilerfremd zu N ist.
Wähle: a = e, b = N, dann gibt uns der erweiterte euklidische Algorithmus:
1 = s · e + t · N
--> s · e + ein Vielfaches von N = 1
--> s ist das gesuchte d. :-)
Korrektur, 18.04.2024, 16:55:43
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
ChatGPT:
... allerdings sollte N ... tatsächlich \phi(N) sein ... und nicht N selbst.
...
\phi(N) ist definiert als (p - 1) · (q - 1).
Praktikumsunterlagen HP, Versuch 1:
Berechnen Sie N = p · q sowie eine natürliche
Zahl d mit der Eigenschaft:
(e · d) % (p - 1) · (q - 1) = 1
--> Ersetze oben alle "N" durch "n", wobei n = (p - 1) · (q - 1) ist.
Gelöste Probleme:
- Das "b" im erweiterten euklidischen Algorithmus muß (p - 1) · (q - 1) sein, nicht N.
- s und t können auch negativ sein. --> int64_t statt uint64_t
- Der Rückgabewert ist s_{i - 1}, nicht s_i.
- negatives Ergebnis durch Addieren von (p - 1) · (q - 1) positiv machen
Warum? Wie sind negative Ergebnisse zu interpretieren?
Sei n = (p - 1) · (q - 1).
Der Algorithmus liefert: 1 = s · e + t · n, wobei s und t negativ sein können.
Das "t · n" steht für "modulo n". Wir können t ignorieren.
Wenn s negativ ist, ist es das inverse Element der Addition
in dem Ring ( { 0, ..., n - 1 }, +, · ).
In diesem Ring wird alles modulo n gerechnet.
--> Zahlen außerhalb von 0 bis n - 1 müssen wir durch Addieren/Subtrahieren von n
in diesen Zahlanbereich bringen. (Addition/Subtraktion von n entspricht +- 0.)
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