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Commit 1929f2e8 authored by Jan Falkenhain's avatar Jan Falkenhain
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...@@ -58,7 +58,7 @@ Aus einer anderen Perspektive wird aber lediglich ein anderer Aspekt, nämlich d ...@@ -58,7 +58,7 @@ Aus einer anderen Perspektive wird aber lediglich ein anderer Aspekt, nämlich d
Backward-Euler & Ja & & &\\ Backward-Euler & Ja & & &\\
ZOH & Nein & & & 5 \\ ZOH & Nein & & & 5 \\
FOH & Nein & & &20 \\ FOH & Nein & & &20 \\
Impuls & Nein &50 & &\\ Impuls & Nein &$\frac{z}{z-1}$ & &g(kT)=g(t)\\
Tustin & Ja 10 &&&\\ Tustin & Ja 10 &&&\\
Mathched Filter & Nein & -&-& 80 \\ Mathched Filter & Nein & -&-& 80 \\
%Holzplatte & 14 \\ %Holzplatte & 14 \\
......
...@@ -58,7 +58,11 @@ Bildet man die Faltungsumme also mit dem ZOH-diskretisierten System, basierend a ...@@ -58,7 +58,11 @@ Bildet man die Faltungsumme also mit dem ZOH-diskretisierten System, basierend a
\end{empheq} \end{empheq}
%} %}
Darin stellt $\e^{\jv A}$ eine Matrixexponetialfunktion. Ihre numerische Berechnung ist die Hauptaufgabe bei der Ermittlung des diskreten Modells. Darin stellt $\e^{\jv A}$ eine Matrixexponetialfunktion dar:
\begin{align*}
e^{\jv A_k T} = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{\jv A^i T^i}{i!}
\end{align*}
Ihre numerische Berechnung ist die Hauptaufgabe bei der Ermittlung des diskreten Modells.
%\begin{minipage}[b]{7cm} %\begin{minipage}[b]{7cm}
% \centering % \centering
......
\section{Impulse-Diskretisierung \section{Impulse-Diskretisierung
\label{sec:Impulse-Diskretisierung}} \label{sec:Impulse-Diskretisierung}}
\textbf{Impulsantwort.} Mit Hilfe der Impulsantwort wird ein lineares System eindeutig charakterisiert. Nimmt man die Impulsantwort eines Systems zur Ermittlung eines diskreten Modells mit der Abtastzeit $T$, dann lautet der Ansatz
\begin{align}\label{Impulse:bed}
g_k(kT) =g_d (k)~~\laplace ~~G_{Impulse}(z)~~.
%\begin{eqnarray} \end{align}
% P_\text{Welle} &=& 2 \pi M n \label{eq:drehmoment-1} \\ In der Praxis lassen sich damit natürlich auch Linearisierungen, Systemvereinfachungen, Arbeitspunktmodelle usw. komplexerer Systeme ermitteln. Die Ordnung des diskreten Systems ergibt sich prinzipiell aus der Anzahl der verwendeten Abtastzeitpunkte. Die Übertragungsfunktion entsteht dass aus z-Transformation der abgetasteten Impulsfolge.
% \Leftrightarrow\quad M &=& \frac{P_\text{Welle}}{ 2 \pi n} \label{eq:drehmoment-2}
%\end{eqnarray} In
\cite{bild_quad}
%\subsection{Compilieren% %\url{https://www.eit.hs-karlsruhe.de/mesysto/fileadmin/downloads/teilB/PDFs/Musterloesungen/Skript_TDS_Musterloesungen_Kapitel_6.pdf}
% \label{sec:Compilieren}} %\url{https://www.eit.hs-karlsruhe.de/mesysto/quicklink/startseite.html}
% wird in der konkreten Beispielaufgabe darauf hingewiesen, dass die statische Verstärkung $K_S=G_{Impulse}(1)$ nicht der des kontinuierlichen Systems entspricht, mit geringerer Abtastzeit aber immer besser approximiert wird. Eine Erklärung dafür wird auch im Frequenzbereich gesucht.
%\begin{figure}[H]
% \begin{center} Die Diskretisierung eines Durchgriffs auf diese Weise ist wenig sinnvoll. Die Impulsantwort eines kontinuierlichen Systems erhält durch diesen den Anteil $g(t)=d\cdot \rho(0)+\tilde g(t)$. Bis auf diesen Impuls bei $t=0$ ist sie identisch mit $\tilde g(t)$, der Impulsantwort mit verschwindendem Durchgriff.
% \includegraphics[width=0.3\textwidth]{bilder/roll_pitch_yaw}
% % Einbinden einer Pixelgrafik. Die theoretische Ermittlung korrespondierender diskreter Systeme aus der kontinuierlichen Übertragungsfunktion kann zumeist direkt anhand von Korrespondenztabellen erfolgen, welche in der Regel
% % Die Endung „.png“ darf weggelassen werden.
% \caption{Ein Beispielbild mit Quellenangabe \citep{yawpitchroll2013}%
% \label{fig:roll_pitch_yaw}} \begin{table}[H]
% \end{center} \caption{Impuls-diskretisierte Systeme%
%\end{figure} \label{table:impuls}}
% \medskip
%\begin{minipage}[b]{7cm} \begin{center}
% \centering \begin{tabular}{l|c|c|r}
% \includegraphics[width=7cm]{bilder/quadrocopter} $G(s)$ & $g(t)$ & $g(kT)$ & $G(z)$\\
% \captionof{figure}{Quadrocopter \newline \hline
% % kein \\ innerhalb von \caption oder \captionof $\frac{1}{s}$ & $\sigma(t)$ & $\sigma(k)$ & $\frac{z}{z-1}$ \\
% % \newline $\frac{1}{s^2}$ & $t\cdot \sigma(t)$ & $kT\cdot\sigma(k)$ & $\frac{Tz}{(z-1)^2}$ \\
% \citep{bild_quad}% $\frac{1}{1+s \tau }$ & $1/tau e^{-t/\tau}$ & $1/tau e^{-t/\tau}$& $\frac{1}{\tau}\frac{z}{z-e^{-T/\tau}}$ \\
% \label{fig:quadrocopter}} \hline
%\end{minipage}\hfill
%\begin{minipage}[b]{7cm} % @@@ PG: Stimmt nicht: Die Summe der Zahlen ist 194!
% \centering \end{tabular}
% \includegraphics[width=7cm]{bilder/ka32S} \end{center}
% \captionof{figure}{Koaxialhelicopter \newline \end{table}
% \citep[S. 101]{hubschrauber1997}%
% \label{fig:ka32S}} Die erste Zeile von \ref{table:impuls} zeigt, wie der diskrete Integrator aus dem kontinuierlichen hervorgeht. Auf den Impuls antwortet der Integrator mit der Sprungfunktion. Die dritte Spalte verzeichnet die Sprungfolge als deren Abtastung, also die diskretisierte Impulsantwort, welche in den Tabellen oft nicht verzeichnet ist. Z-transformiert ergibt sich $G(z)$, in Zeile eins für den Integrator. Allerdings hat dieser diskrete Integrator nicht die Bedeutung des Akkumulators bei den Verfahren nach Euler und Tustin. So gilt für Impulse-Diskretisierung nicht die allgemeine Korrespondenz aus Spalte eins und vier, auch kann nicht einfach im Blockschaltbild der Differenzialgleichung jeder Integrator durch den Akkumulator ersetzt werden.
%\end{minipage}
Die dritte Zeile von \ref{table:impuls} entspricht dem PT$_{1}$-Glied, womit die Einträge etwas abgewandelt sind im Vergleich zu typischen Korrespondenztabellen. $G(z)$ ist also das diskrete PT$_{1}$-Glied im Sinne einer Impuls-Diskretisierung.
%\begin{table}[H]
% \caption{Masse des anzuhebenden Trägers%
% \label{table:massen}}
% \medskip
% \begin{center}
% \begin{tabular}{l|r}
% %
% % Die Leerzeichen im Quelltext haben keinen Einfluß auf die
% % Anordnung innerhalb der Tabelle. Diese wird durch die o.a.
% % Angabe „{l|r}“ gesteuert: linksbündiges Feld, senkrechter
% % Strich, rechtsbündiges Feld.
% %
% Bauteil & Masse[g] \\
% \hline
% Trägerrohr & 35 \\
% Linearlager & 7 \\
% Lagerblock Linearlager & 5 \\
% Kabel und Schrauben & 20 \\
% Motoren & 50 \\
% Propeller & 10 \\
% Propeller Eingriffschutz & 80 \\
% Holzplatte & 14 \\
% Drehzahlsensoren & 5 \\
% \hline
% Gesamtmasse & 226 \\
% % @@@ PG: Stimmt nicht: Die Summe der Zahlen ist 194!
% \end{tabular}
% \end{center}
%\end{table}
%
%\glqq{}{Boris ermöglicht die blockorientierte Simulation %\glqq{}{Boris ermöglicht die blockorientierte Simulation
% dynamischer Systeme nahezu beliebiger Art}\grqq{} % dynamischer Systeme nahezu beliebiger Art}\grqq{}
% \citep[S. 25]{boris2009}. % \citep[S. 25]{boris2009}.
......
...@@ -28,16 +28,15 @@ note = {Lecture 7: Discrete Approximation of Continuous-Time Systems. \url{https ...@@ -28,16 +28,15 @@ note = {Lecture 7: Discrete Approximation of Continuous-Time Systems. \url{https
} }
MISC{SystemtheorieOnline,
author = {{Manfred Strohrmann}},
@MISC{zeppelin2013, title = {{Systemtheorie Online}},
author = {{ZLT Zeppelin Luftschifftechnik}}, month = {},
title = {{Der Zeppelin NT}}, year = {},
month = {Juni}, note = {\url{https://www.eit.hs-karlsruhe.de/mesysto/quicklink/startseite.html}}
year = {2013},
note = {\url{http://www.zeppelinflug.de/zeppelin-nt-211.html}}
} }
@MISC{mathworks2013, @MISC{mathworks2013,
author = {MathWorks}, author = {MathWorks},
title = {{Simulink Target Hardware}}, title = {{Simulink Target Hardware}},
...@@ -49,11 +48,11 @@ note = {\url{http://www.mathworks.de/discovery/simulink-target-hardware.html}} ...@@ -49,11 +48,11 @@ note = {\url{http://www.mathworks.de/discovery/simulink-target-hardware.html}}
@MISC{bild_quad, @MISC{bild_quad,
author = {Tilman Pietzsch}, author = {Manfred Strohrmann},
title = {{Microcopter}}, title = {{Systemtheorie Online}},
month = {November}, month = {März},
year = {2011}, year = {2021},
note = {\url{http://www.microcopters.de/photos/98/dsc-1577.jpg}} note = {\url{https://www.eit.hs-karlsruhe.de/mesysto/fileadmin/downloads/teilB/PDFs/Musterloesungen/Skript_TDS_Musterloesungen_Kapitel_6.pdf}}
} }
@article{BINGULAC1992293, @article{BINGULAC1992293,
......
...@@ -236,25 +236,25 @@ ...@@ -236,25 +236,25 @@
\clearpage \clearpage
\input{2_Grundlagen} \input{2_Grundlagen}
% Abschnitt 3: Beispiele % Abschnitt 3: Euler
\clearpage \clearpage
\input{3_Euler-Diskretisierung} \input{3_Euler-Diskretisierung}
% Abschnitt 4: Beispiele % Abschnitt 7: Tustin
\clearpage \clearpage
\input{4_ZOH-Diskretisierung} \input{7_Tustin-Diskretisierung}
% Abschnitt 5: Beispiele % Abschnitt 5: Impulse
\clearpage \clearpage
\input{5_Impulse-Diskretisierung} \input{5_Impulse-Diskretisierung}
% Abschnitt 6: Beispiele % Abschnitt 4: ZOH
\clearpage \clearpage
\input{6_FOH-Diskretisierung} \input{4_ZOH-Diskretisierung}
% Abschnitt 7: Beispiele % Abschnitt 6: FOH
\clearpage \clearpage
\input{7_Tustin-Diskretisierung} \input{6_FOH-Diskretisierung}
% Abschnitt 7: Beispiele % Abschnitt 7: Beispiele
\clearpage \clearpage
......
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