17erd commit

2_Grundlagen.tex

@@ -10,7 +10,7 @@
 \[g(t)~~\laplace~~ 
 %G(s)
 %=\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{\Pi_{i=1}^q (s-s_{0i})}{\Pi_{i=1}^n (s-s_i)}
-G(s) = \int_0^\infty g(t)e^{-st} dt =L\{g(t)\}
+G(s) = \int_0^\infty g(t)e^{-st} dt =\mathscr{L}\{g(t)\}
 \]
 Mit der Impulsantwort reagiert das System auf Anregung mit dem Dirac-Impulse
 \begin{align}
@@ -63,7 +63,7 @@ Abtastung wird mathematisch zunächst im Rahmen kontinuierlicher Signale als Gew
     \node (b) [left of=a,node distance=2cm, coordinate] {a};
     \node (c) [right of=a] {$$}; %\node [int, pin={[init]above:$p_0$}] (c) [right of=a] {$\int$};
     \node (d) [right of=c] {$$};
-    \node (e) [right of=d] {$y^*(t)=u(t) \cdot \sum_{-\infty}^\infty \rho(t-kT)$};
+    \node (e) [right of=d] {$y^*(t)=u(t) \cdot \sum_{k=-\infty}^\infty \rho(t-kT)$};
     \node [coordinate] (end) [right of=c, node distance=2cm]{};
     \path[->] (b) edge node {$u(t)$} (a);
     \path[->] (a) edge node {$y^*(t)$} (c);
@@ -81,14 +81,14 @@ Beispielsweise resultiert die diskrete Sprungfolge $\sigma(k)$ für $k\in \mathd
 wobei die Indizes $d, k$ für diskretes und kontinuierliches System nur bei Verwechselungsgefahr gesetzt werden.
 Die Laplace-Transformation des abgetasteten pseudo-kontinuierlichen Signals
 \begin{align}
-L\{y^*(t)\}&=
+\mathscr{L}\{y^*(t)\}&=
 \int_0^\infty \sum_{-\infty}^\infty \rho(t-kT) u(kT)e^{-st} dt\\
 =&\sum_{k=0}^\infty u(kT) \int_0^\infty \rho(t-kT) e^{-st} dt\\
 =&\sum_{k=0}^\infty u(kT)  e^{-skT}
 \end{align}
-motiviert den Übergang zur z-Transformation durch Ersetzen von $z=e^{sT}$ für diskrete Folgen $u_d(k)$
+motiviert den Übergang zur $\mathscr{Z}$-Transformation durch Ersetzen von $z=e^{sT}$ für diskrete Folgen $u_d(k)$
 \begin{align}
-Z\{u(k)\}=\sum_{k=0}^\infty u(k)  z^{-k} = U(z)
+\mathscr{Z}\{u(k)\}=\sum_{k=0}^\infty u(k)  z^{-k} = U(z)
 \end{align}
 
 Zu beachten ist, dass der Einheitsimpuls
@@ -104,11 +104,11 @@ Zu beachten ist, dass der Einheitsimpuls
 nicht aus der Abtastung des Dirac-Impulses hervorgeht, da dieser bei null nicht beschränkt ist. Die Bedeutung des diskreten Impulses ist also eine etwas andere, nämlich dass alle diskreten Folgen eine Summe von gewichteten Impulsen darstellen, verschoben um den Zeitindex $k$.
 
 %Ersetz man in der Laplace-Transformation , so entsteht die z-Transformation, über welche 
-Die diskrete Impulsantwort als Reaktion auf den diskreten Impuls $\rho(k)$ und die diskrete Übertragungsfunktion bilden ein z-Transformationspaar 
+Die diskrete Impulsantwort als Reaktion auf den diskreten Impuls $\rho(k)$ und die diskrete Übertragungsfunktion bilden ein $\mathscr{Z}$-Transformationspaar 
 \begin{align}\label{eq:diskPN}
 g(k)~~\laplace~~ G(z) = \frac{Y(z)}{U(z)} = K_d\frac{\Pi_{i=1}^q (z-z_{0i})}{\Pi_{i=1}^n (z-z_i)}~~,
 \end{align}
-womit sich ähnliche Darstellungen und Zusammenhänge wie im Kontinuierlichen ergeben (siehe auch Seite 8). 
+womit sich ähnliche Darstellungen und Zusammenhänge wie im Kontinuierlichen ergeben (siehe auch Seite 9). 
 %\pageref{ref:pdfuebersicht} funktionieren nicht
 %\ref{ref:pdfuebersicht}
 Über die diskrete Faltung 
@@ -309,17 +309,19 @@ g_{FOH}(t) = \frac{t}{T}\sigma(t) - 2 \frac{t-T}{T}\sigma(t-T) +\frac{t-2T}{T}\s
 \textbf{FOH (First-Order-Hold).} Dieses Halteglied entspringt der Idee, zwischen zwei Impulsen rampenförmig zu interpolieren. Das kausale Haltglied erster Ordnung kann die Rampe allerdings erst ermitteln, wenn deren Endwert ebenso bekannt ist wie ihr Startwert. Also ergibt sich das dargestellte Dreieck mit der Spitze bei $t=T$
 \begin{align*}
 g_{FOH}(t) &= \frac{1}{T}(t\sigma(t) - 2(t-T)\sigma(t-T) +(t-2T)\sigma(t-2T))\\
- &\laplace\\
+ &\vLaplace\\
 G_{FOH}(s) &= \frac{1}{Ts^2} (1-2e^{-sT}+e^{-2sT} )
 \end{align*}
 Wer Übung im Auswerten von Faltungsintegralen hat erkennt, dass die Impulsantwort $g_{FOH}(t)$ aus der Faltung des Impulses $g_{ZOH}(t)$ entsteht.
 \begin{align*}
-g_{FOH}(t) =\frac{1}{T} g_{ZOH}(t) * g_{ZOH}(t)~~ \laplace~~ G_{ZOH}^2(s) =\frac{1}{T}\cdot G_{FOH}(s) 
+g_{FOH}(t) =\frac{1}{T} g_{ZOH}(t) * g_{ZOH}(t)~~ \laplace~~ \frac{1}{T} \cdot G_{ZOH}^2(s) = G_{FOH}(s) 
 \end{align*}
 Mögliche Realisierungen in MATLAB/Simulink\texttrademark~zeigt die folgende Datei:
 
 \href{https://gitlab.cvh-server.de/jfalkenhain/diskretisierung-linearer-systeme/-/blob/master/Matlab/ZOHundFOHblocks.slx}{File on Git: ZOHundFOHblocks.slx}
 
+Simulink\texttrademark~ kann mit dem Dirac-Impulse nicht arbeiten. Stattdessen wird ZOH numerisch ausgewertet, indem das Gewicht des Impulses die Zeit $T$ konstant gehalten wird. FOH benötigt ebenfalls einen diskreten Eingang und interpoliert linear zwischen den letzten zwei Impulsen.
+
 \textbf{Nicht-kausale Halteglieder.}  In theoretischen Überlegungen spielen nicht-kausale, und damit ja nicht realisierbare, Systeme manchmal eine Rolle.
 Für das symmetrische Halteglied erster Ordnung
 \begin{align*}

3_Euler-Diskretisierung.tex

@@ -17,7 +17,7 @@ Die Differenzengleichung des diskreten Differenziators mit Eingang $u(k)$ lautet
 \begin{align*}
 y(k)&= \frac{u(k+1)-u(k)}{T}~~.
 \end{align*}
-Sie ist nicht realisierbar, weil nicht kausal. Allerdings gilt ja auch der ideale kontinuierliche Differenziator als nicht-kausal. Die Übertragungsfunktion ergibt sich durch z-Transformation zu
+Sie ist nicht realisierbar, weil nicht kausal. Allerdings gilt ja auch der ideale kontinuierliche Differenziator als nicht-kausal. Die Übertragungsfunktion ergibt sich durch $\mathscr{Z}$-Transformation zu
 \begin{align*}
 Y(z) = \frac{zU(z)- U(z)}{T}  ~~\Leftrightarrow~~ \frac{Y(z)}{U(z)}=\frac{z-1}{T}~\leftrightarrow G(s)=s
 \end{align*}
@@ -50,7 +50,7 @@ eignet sich aber wenig zur Implementierung und entspricht nur für den Anfangswe
 \end{tikzpicture}
 
 
-Unter Anwendung der z-Transformation erhält man
+Unter Anwendung der $\mathscr{Z}$-Transformation erhält man
 \begin{align*}
 Y(z) (1- z^{-1}) &= T z^{-1} U(z)\\
 \Leftrightarrow G(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}&=T\frac{1}{z-1}

4_ZOH-Diskretisierung.tex

@@ -72,13 +72,13 @@ Dort wurde jede Integration, z. B. in einer Blockschaltbild-Darstellung der Diff
 \end{figure}
 Die Integration wird in Bild \ref{fig:IntZOH} veranschaulicht. Die Verzögerung legt nahe, dass es bessere Ansätze gibt, ein kontinuierliches dynamische System zu approximieren, konkret eine Integration mit Trapez-Regel (siehe Abschn. \ref{sec:Tustin-Approximation}).
 
-\textbf{Diskretisierung der Übertragungsfunktion.} Erinnern wir uns an Korrespondenztabellen mit Laplace- und Z-Transformation, so konnten wir die Übertragungsfunktion $G(s)$ als Transformierte der Impulsantwort $g(t)$ dort finden. Die abgetastete Folge $g(k)=g(kT)$ war dort meist nicht zu finden, dafür direkt deren Z-Transformierte $G(z)$. So konnte die entsprechende Korrespondenz der Impuls-Diskretisierung aus der betreffenden Zeile abgelesen werden.\\
+\textbf{Diskretisierung der Übertragungsfunktion.} Erinnern wir uns an Korrespondenztabellen mit Laplace- und $\mathscr{Z}$-Transformation, so konnten wir die Übertragungsfunktion $G(s)$ als Transformierte der Impulsantwort $g(t)$ dort finden. Die abgetastete Folge $g(k)=g(kT)$ war dort meist nicht zu finden, dafür direkt deren $\mathscr{Z}$-Transformierte $G(z)$. So konnte die entsprechende Korrespondenz der Impuls-Diskretisierung aus der betreffenden Zeile abgelesen werden.\\
 
 Für ein System $G(s)$ lautet die Laplace-Transformierte der Sprungantwort
 \begin{align}\label{eq:Hvons}
 H(s) = \frac{1}{s} G(s) ~\Laplace~ h(t)
 \end{align}
-Die Abtastfolge $h(k)$ findet man zumeist nicht, wenn man  in der Korrespondenztabelle nach den Termen entsprechend Gl. \eqref{eq:Hvons} sucht, aber die Z-Transformierte $H(z)$. Über den Zusammenhang zwischen $G(z)$ und $H(z)$ erhalten wir
+Die Abtastfolge $h(k)$ findet man zumeist nicht, wenn man  in der Korrespondenztabelle nach den Termen entsprechend Gl. \eqref{eq:Hvons} sucht, aber die $\mathscr{Z}$-Transformierte $H(z)$. Über den Zusammenhang zwischen $G(z)$ und $H(z)$ erhalten wir
 \[
 H(z) = \frac{z}{z-1}G(z)
 \]
@@ -88,10 +88,10 @@ G_{d,ZOH}(z) = H(z) \frac{z-1}{z}~~.
 \]
 Zusammenfassend kann die (implizite) Vorgehensweise kompakt ausgedrückt werden:
 \begin{align*}
-G_{d,ZOH}(z)= \frac{z-1}{z}\cdot Z\{ L^{-1}\left\{ \frac{1}{s} \cdot G(s)\right\}|_{t=kT} \}~~.
+G_{d,ZOH}(z)= \frac{z-1}{z}\cdot \mathscr{Z}\{\mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{1}{s} \cdot G(s)\right\}|_{t=kT} \}~~.
 \end{align*}
 
-\textit{\textbf{Beispiel: Die Übertragungsfunktion des Integrators lautet $G(s)=1/s$. Wir suchen nach der Z-Transformierten der Abtastung von $H(s)=1/s^2$. 
+\textit{\textbf{Beispiel: Die Übertragungsfunktion des Integrators lautet $G(s)=1/s$. Wir suchen nach der $\mathscr{Z}$-Transformierten der Abtastung von $H(s)=1/s^2$. 
 Tabelle \ref{table:impuls} liefert uns
 \[H(z)=\frac{Tz}{(z-1)^2}
 \]
@@ -160,10 +160,10 @@ Eine aufwendigere Notation erklärt sich schrittweise von Innen nach Außen
 \item Multiplikation der Übertragungsfunktionen von System und ZOH-Glied
 \item Ermittlung der Zeitfunktion durch inverse Laplace-Transformation
 \item Erzeugung einer Folge durch Abtastung bei $t=kT$
-\item Z-Transformation der Folge ergibt die Übertragungsfunktion $G_{d,ZOH}(z)$
+\item $\mathscr{Z}$-Transformation der Folge ergibt die Übertragungsfunktion $G_{d,ZOH}(z)$
 \end{enumerate}
 \begin{align*}
-G_{d,ZOH}(z)= Z\{ L^{-1}\left\{ \frac{1-e^{-sT}}{s} \cdot G(s)\right\}|_{t=kT} \}~~.
+G_{d,ZOH}(z)= \mathscr{Z}\{ \mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{1-e^{-sT}}{s} \cdot G(s)\right\}|_{t=kT} \}~~.
 \end{align*}
 
 \textit{\textbf{Beispiel: Für den Integrator erhalten wir
@@ -188,7 +188,7 @@ bzw. abgetastet
 \[
 h(t) = d \sigma(kT) + \sum_{i=0}^n -\frac{b_i}{s_i}(1- e^{s_i kT}) \sigma(kT)~~.
 \]
-Z-Transformation liefert
+$\mathscr{Z}$-Transformation liefert
 \[
 H(z) = d\frac{z}{z-1}  - \sum_{i=0}^n\frac{b_i}{s_i} \frac{ (1-e^{s_i T})z}{(z-1)(z-\underbrace{e^{s_i T}}_{z_i})}
 \]

5_Impulse-Diskretisierung.tex

@@ -7,7 +7,7 @@ g_k(kT) =g_d (k)~~\laplace ~~G_{Impuls}(z)~~.
 \end{align}
 Als Entwurfsmethode für digitale Filter resultiert die Bezeichnung \textit{Impuls-invariante Methode}.
 
-In der Praxis lassen sich damit natürlich auch Linearisierungen, Systemvereinfachungen, Arbeitspunktmodelle usw. komplexerer Systeme ermitteln. Die Ordnung des diskreten Systems ergibt sich prinzipiell aus der Anzahl der verwendeten Abtastzeitpunkte. Die Übertragungsfunktion entsteht aus der z-Transformation der abgetasteten Impulsfolge.
+In der Praxis lassen sich damit natürlich auch Linearisierungen, Systemvereinfachungen, Arbeitspunktmodelle usw. komplexerer Systeme ermitteln. Die Ordnung des diskreten Systems ergibt sich prinzipiell aus der Anzahl der verwendeten Abtastzeitpunkte. Die Übertragungsfunktion entsteht aus der $\mathscr{Z}$-Transformation der abgetasteten Impulsfolge.
 
 In 
 \cite{bild_quad} 
@@ -26,7 +26,7 @@ Die theoretische Ermittlung korrespondierender diskreter Systeme aus der kontinu
 
 
 \begin{table}[H]
-  \caption{Laplace- und  Z-transformierte Signalpaare%
+  \caption{Laplace- und  $\mathscr{Z}$-transformierte Signalpaare%
            \label{table:impuls}}
   \medskip
   \begin{center}
@@ -44,7 +44,7 @@ Die theoretische Ermittlung korrespondierender diskreter Systeme aus der kontinu
   \end{center}
 \end{table}
 
-Die erste Zeile von Tabelle \ref{table:impuls} zeigt, wie der diskrete Integrator aus dem kontinuierlichen hervorgeht. Auf den Impuls antwortet der Integrator mit der Sprungfunktion (ohne Gewichtung durch die Zeitkonstante). Die dritte Spalte verzeichnet die Sprungfolge als deren Abtastung, also die diskretisierte Impulsantwort, welche in den Tabellen der Literatur oft nicht verzeichnet ist. Z-transformiert ergibt sich $G(z)$, in Zeile eins beispielsweise für den Integrator, auch wenn dieser gar nicht als numerischer Integrator verstanden werden kann (siehe fehlende Zeitkonstante). Außerdem hat dieser diskrete Integrator nicht die Bedeutung des Akkumulators bei den Verfahren nach Euler und Tustin. So gilt für Impuls-Diskretisierung nicht die Korrespondenz aus Spalte eins und vier als allgemeingültiges $s\leftrightarrow z$ Mapping, auch kann nicht einfach im Blockschaltbild der Differenzialgleichung jeder Integrator durch den Akkumulator ersetzt werden.
+Die erste Zeile von Tabelle \ref{table:impuls} zeigt, wie der diskrete Integrator aus dem kontinuierlichen hervorgeht. Auf den Impuls antwortet der Integrator mit der Sprungfunktion (ohne Gewichtung durch die Zeitkonstante). Die dritte Spalte verzeichnet die Sprungfolge als deren Abtastung, also die diskretisierte Impulsantwort, welche in den Tabellen der Literatur oft nicht verzeichnet ist. $\mathscr{Z}$-transformiert ergibt sich $G(z)$, in Zeile eins beispielsweise für den Integrator, auch wenn dieser gar nicht als numerischer Integrator verstanden werden kann (siehe fehlende Zeitkonstante). Außerdem hat dieser diskrete Integrator nicht die Bedeutung des Akkumulators bei den Verfahren nach Euler und Tustin. So gilt für Impuls-Diskretisierung nicht die Korrespondenz aus Spalte eins und vier als allgemeingültiges $s\leftrightarrow z$ Mapping, auch kann nicht einfach im Blockschaltbild der Differenzialgleichung jeder Integrator durch den Akkumulator ersetzt werden.
 
 Die vierte Zeile von Tabelle \ref{table:impuls} entspricht dem PT$_{1}$-Glied, womit die Einträge etwas abgewandelt sind im Vergleich zu typischen Korrespondenztabellen. $G(z)$ ist also das diskrete PT$_{1}$-Glied im Sinne einer Impuls-Diskretisierung. Einige Beispiele sind hier in MATLAB\texttrademark~ gezeigt:
 
@@ -72,7 +72,7 @@ bzw. abgetastet, wenn man den Durchgriff übernimmt, um den diskreten Impuls zu
 \[
 g(kT) = d \rho(k) + \sum_{i=0}^n b_i e^{s_i kT} \sigma(kT)~~.
 \]
-Z-Transformation liefert
+$\mathscr{Z}$-Transformation liefert
 \[
 G(z) = d  + \sum_{i=0}^n b_i \frac{z}{z-e^{s_i T}}~~,
 \]

6_FOH-Diskretisierung.tex

@@ -32,7 +32,7 @@ so antwortet, dass die $y(k)=r_d(k)$ auf der kontinuierlichen Rampenantwort lieg
 r_k(kT) =r_d (k)~~\laplace ~~R(z)~~
 \end{align}
 
-\textbf{Ermittlung der Übertragungsfunktion.} Um aus der z-Transformierten der diskreten Rampenantwort $R(z)$ auf die Übertragungsfunktion zu schließen, erinnern wir uns zunächst an den folgenden Zusammenhang
+\textbf{Ermittlung der Übertragungsfunktion.} Um aus der $\mathscr{Z}$-Transformierten der diskreten Rampenantwort $R(z)$ auf die Übertragungsfunktion zu schließen, erinnern wir uns zunächst an den folgenden Zusammenhang
 \begin{align*}%\label{Ramp:bed}
 h(k) = \sum_{k=0}^\infty g(k)
 \end{align*}
@@ -92,7 +92,7 @@ r(k) =  T\sum_{j=1}^\infty h(j) = T(- h(k) + \sum_{j=0}^\infty h(j) )
 \end{minipage}
 
 
- Dementsprechend gilt für die z-transformierte Antwort
+ Dementsprechend gilt für die $\mathscr{Z}$-transformierte Antwort
 \begin{align}
 R(z) &= T\sum_{k=1}^\infty H(z) z^{-k} = TH(z)  z^{-1}\sum_{k=0}^\infty z^{-k}\\ 
 &= Tz^{-1} \frac{z}{z-1} H(z)= \frac{T}{z-1} H(z)
@@ -113,7 +113,7 @@ G_{FOH}(z) = \underbrace{\frac{z-1}{T}}_{\Laplace~ \gamma(k) \text{aus \eqref{eq
 \]
 
 
-\textit{\textbf{Beispiel: Die Übertragungsfunktion des Integrators lautet $G(s)=1/s$. Wir suchen nach der Z-Transformierten der Abtastung von $R(s)=1/s^3$. 
+\textit{\textbf{Beispiel: Die Übertragungsfunktion des Integrators lautet $G(s)=1/s$. Wir suchen nach der $\mathscr{Z}$-Transformierten der Abtastung von $R(s)=1/s^3$. 
 Tabelle \ref{table:impuls} liefert uns
 \[R(z)=\frac{T^2}{2}\frac{z(z+1)}{(z-1)^3}
 \]
@@ -136,10 +136,10 @@ Eine andere Notation erklärt sich schrittweise von Innen nach Außen
 \item Multiplikation der Übertragungsfunktionen von System und nicht kausalem FOH-Glied
 \item Ermittlung der Zeitfunktion durch inverse Laplace-Transformation
 \item Erzeugung einer Folge durch Abtastung bei $t=kT$
-\item Z-Transformation der Folge ergibt die Übertragungsfunktion $G_{d,FOH}(z)$
+\item $\mathscr{Z}$-Transformation der Folge ergibt die Übertragungsfunktion $G_{d,FOH}(z)$
 \end{enumerate}
 \begin{align*}
-G_{d,ZOH}(z)= Z\{ L^{-1}\{ \frac{1}{Ts^2}  (e^{sT} + 2 + e^{-sT})\cdot G(s)\}|_{t=kT} \}~~.
+G_{d,ZOH}(z)= \mathscr{Z}\{ \mathscr{L}^{-1}\{ \frac{1}{Ts^2}  (e^{sT} + 2 + e^{-sT})\cdot G(s)\}|_{t=kT} \}~~.
 \end{align*}
 
 

7_Tustin-Diskretisierung.tex

@@ -68,7 +68,7 @@ s\equiv \frac{2}{T}   \frac{z-1}{z+1}~~~\text{bzw.}~~~z\equiv \frac{2/T +s}{2/T-
 \begin{align*}
 z = e^{sT} \Leftrightarrow s=\frac{1}{T} \ln(z)~~,
 \end{align*}
-wie bei der Einführung der z-Transformation festgelegt.
+wie bei der Einführung der $\mathscr{Z}$-Transformation festgelegt.
 Setzt man jedoch den Ausdruck für $s$ so in eine Übertragungsfunktion ein, erhält man keinen Term, der eine lineare z-Übertragungsfunktion darstellt. Laut \cite{unbehauen2000RT2} kann der natürliche Logarithmus in eine Reihe entwickelt werden. Die spezielle Darstellung lässt sich aus der bekannten Taylor-Reihe des natürlichen Logarithmus herleiten, was in Anhang \ref{anh:Logarithmus} verschoben wurde.
 \begin{align*}
 s &= \frac{2}{T}\left(\frac{z-1}{z+1} + \frac{1}{3} (\frac{z-1}{z+1})^3 + \frac{1}{5}(\frac{z-1}{z+1})^5\hdots \right) \\

Regelungstechnik.tex

@@ -77,7 +77,7 @@ zu diskretisieren:
 \end{align}
 Für $T_V\rightarrow 0$ geht der Regler in die PID-Variante Gl. \eqref{eq:PIDLunze} über.
 
-In \cite{Isermann} wird beispielsweise zunächst der PID-Regler vom Typ I Gl. \eqref{eq:TypI} angegeben mit der als Rechteckintegration bezeichneten verzögerten Integration (S. 108). Anschließend wird die Trapezintegration vorgeschlagen und Regler Typ III angegeben (S. 110). Unter dem Title "`PID-Regelalgorithmus durch Z-Transformation"' (S. 122) wird der ZOH-diskretisierte PI-DT1-Regler (Typ 2) angegeben mit dem Hinweis auf "`gültige Parameter"' bei großen Abtastzeiten. Welche besondere Eignung der Regler haben könnte, auch wenn er bei einem vorgeschalteten ZOH-Glied vor die kontinuierliche Version dessen kontinuierlichen Ausgang exakt trifft, bleibt unklar. Im Folgenden (S. 126) wird der PI-DT1-Regler (Typ 3) entsprechend Tustin-Diskretisierung approximiert und die Koeffizienten der rekursiven Differenzengleichung angegeben. Tabelle \ref{table:PIDs} zeigt hier die Übertragungsfunktion.   
+In \cite{Isermann} wird beispielsweise zunächst der PID-Regler vom Typ I Gl. \eqref{eq:TypI} angegeben mit der als Rechteckintegration bezeichneten verzögerten Integration (S. 108). Anschließend wird die Trapezintegration vorgeschlagen und Regler Typ III angegeben (S. 110). Unter dem Title "`PID-Regelalgorithmus durch $\mathscr{Z}$-Transformation"' (S. 122) wird der ZOH-diskretisierte PI-DT1-Regler (Typ 2) angegeben mit dem Hinweis auf "`gültige Parameter"' bei großen Abtastzeiten. Welche besondere Eignung der Regler haben könnte, auch wenn er bei einem vorgeschalteten ZOH-Glied vor die kontinuierliche Version dessen kontinuierlichen Ausgang exakt trifft, bleibt unklar. Im Folgenden (S. 126) wird der PI-DT1-Regler (Typ 3) entsprechend Tustin-Diskretisierung approximiert und die Koeffizienten der rekursiven Differenzengleichung angegeben. Tabelle \ref{table:PIDs} zeigt hier die Übertragungsfunktion.   
 
 
 \begin{table}[H]
@@ -101,7 +101,7 @@ In \cite{Isermann} wird beispielsweise zunächst der PID-Regler vom Typ I Gl. \e
     \hline
 		Typ 3            & \cite{Isermann} 		&   $kp\left(1 + \frac{T}{T_I} \frac{z+1}{2(z-1)} +\frac{2 T_D(z-1)}{(T+2T_V)z + (T-2T_V)} \right) $    		          \\
     \hline
-		Typ 4            & \cite{documentationsimulation} 		&   $kp\left(1 +\frac{T}{T_I}\frac{1}{z-1} + \frac{T_D}{T} \frac{z-1}{1+{-T/T_V}(z-1)} \right) $    		          \\
+		Typ 4            & \cite{documentationsimulation} 		&   $kp\left(1 +\frac{T}{T_I}\frac{1}{z-1} + \frac{T_D}{T} \frac{z-1}{z-1+{T/T_V}} \right) $    		          \\
     \hline
 		
 		\end{tabular}

hauptdatei.bib

@@ -101,7 +101,7 @@ volume = {50},
 number = {7},
 pages = {346},
 year = {2002},
-author = {A. Wolfram und M. Vogt},
+author = {A. Wolfram and M. Vogt},
 }
 
 @MISC{wiki1,

hauptdatei.tex

@@ -81,6 +81,7 @@
 \usepackage{amssymb}
 \usepackage{dsfont}
 \usepackage{empheq}
+\usepackage{mathrsfs}
 
 % erzeugt Inhaltsverzeichnis mit Querverweisen zu den Kapiteln (PDF Version)
 \usepackage[bookmarksnumbered,hyperfootnotes=false]{hyperref}