Die verzögerte Integration des Typ I entspricht der Integration bei Forward-Euler-Diskretisierung. Ob diese hier geeignet ist, ist fraglich und der Fokus liegt auf der Variante Typ II liegen, welche der schnelleren Integration bei Backward-Euler-Diskretisierung entspricht. Der D-Anteil wird in beiden Fällen über den Differenzenquotienten
Die verzögerte Integration des Typ I entspricht der Integration bei Forward-Euler-Diskretisierung oder ZOH-Diskretisierung. Ob diese hier geeignet ist, ist fraglich und der Fokus soll auf der Variante Typ II liegen, welche der schnelleren Integration bei Backward-Euler-Diskretisierung entspricht. Der D-Anteil wird in beiden Fällen über den Differenzenquotienten
@@ -90,9 +90,9 @@ Für $T_V\rightarrow 0$ geht der Regler in die PID-Variante Gl. \eqref{eq:PIDLun
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Als Gedankenexperiment sei ein kontinuierlicher Regler ZOH-diskretisiert. Betrachte man die Äquivalenz aus Bild \ref{fig:zeitbereichsäquivalenzZOH} liefert $G_{ZOH}(z)$ Werte, welche auf dem kontinuierlichen Ausgang der Reihenschaltung von ZOH-Glied und $G(s)$ liegt. Bei Einsatz von $G\textbf{}(z)$ wird dessen Ausgangsfolge wieder für die Abtastperiode konstant gehalten, woraus sich die Äquivalenz aus Bild \ref{fig:AllgemReglerdigital} ergibt. Das Ziel der Überlegung ist zu verdeutlichen, dass der Einbau von zwei Verzögerungsglieder eine eher schlechte Lösung darstellt. Für den Grenzfall des P-Reglers ist aufgrund der separaten Abtastung ein Abtast-Haltglied unwirksam (siehe Reihenschaltung von MATLAB\texttrademark-ZOH-Blöcken), womit kein Widerspruch zu \ref{fig:PReglerdigital} vorliegt.
Als Gedankenexperiment sei ein kontinuierlicher Regler ZOH-diskretisiert. Betrachtet man die Äquivalenz aus Bild \ref{fig:zeitbereichsäquivalenzZOH} liefert $G_{ZOH}(z)$ Werte, welche auf dem kontinuierlichen Ausgang der Reihenschaltung von ZOH-Glied und $G(s)$ liegt. Bei Einsatz von $G(z)$ wird dessen Ausgangsfolge wieder für die Abtastperiode konstant gehalten, woraus sich die Äquivalenz aus Bild \ref{fig:AllgemReglerdigital} ergibt. Das Ziel der Überlegung ist zu verdeutlichen, dass der Einbau von zwei Verzögerungsgliedern eine eher schlechte Lösung darstellt. Für den Grenzfall des P-Reglers ist aufgrund der separaten Abtastung ein Abtast-Halteglied unwirksam (siehe Reihenschaltung von MATLAB\texttrademark-ZOH-Blöcken), womit kein Widerspruch zu \ref{fig:PReglerdigital} vorliegt.
\textbf{Methoden für die Regler-Diskretisierung.} Eine FOH-Diskretisierung ist offensichtlich die bessere Lösung, da die Werte von $G_{FOH}(z)$ auf dem kontinuierlichen Ausgang von $G(s)$ liegen, wenn dieses System mit einer linearen Interpolation zwischen den Abtastwerten angeregt wird. Diese Äquivalenz ist jedoch nicht realisierbar, da das FOH-Glied zur Interpolation nicht kausal ist. Tatsächlich wird Tustin-Approximation und Matched-Filter-Approximation in \cite{Lunze16b} und \cite{unbehauen2000RT2} zur Reglerdiskretisierung vorgeschlagen, während Euler-Backward-Approximation nur der Vollständigkeit halber und für den Differenzenquotienten erwähnt wird. FOH-Diskretisierung sollte in der Regel aber ebenso gut geeignet sein.
\textbf{Methoden für die Regler-Diskretisierung.} Eine FOH-Diskretisierung ist offensichtlich die bessere Lösung, da die Werte von $G_{FOH}(z)$ auf dem kontinuierlichen Ausgang von $G(s)$ liegen, wenn dieses System mit einer linearen Interpolation zwischen den Abtastwerten angeregt wird. Diese Äquivalenz ist jedoch nicht realisierbar, da das FOH-Glied zur Interpolation nicht kausal ist. Der FOH-diskretisierte Regler ansich ist natürlich realisierbar. Tatsächlich wird Tustin-Approximation und Matched-Filter-Approximation in \cite{Lunze16b} und \cite{unbehauen2000RT2} zur Reglerdiskretisierung vorgeschlagen, während Euler-Backward-Approximation nur der Vollständigkeit halber erwähnt wird und für den Differenzenquotienten und dessen PT1-Approximation (mit sehr kleiner Zeitkonstante) eingesetzt wird. FOH-Diskretisierung sollte in der Regel aber ebenso gut geeignet sein.
