Notizen und Beispiele 11.4.2024

20240411/ad-20240411.txt

@@ -88,3 +88,30 @@ Vergleichen Sie die Zeitmessungen der alten Variante (O(n)) und der neuen (O(log
 Auch Zwischenergebnisse bereits melden; dann können wir darüber sprechen.
 (Auch Fragen dürfen natürlich gestellt werden.;-)
 
+Erweiterter euklidischer Algorithmus, 11.04.2024, 16:38:59
+~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
+gegeben: a, b
+berechnet: ggT(a,b) = s · a + t · b    # "ggT" = größter gemeinsamer Teiler
+           ~~~        ~       ~
+
+RSA:
+gegeben: e, N = p · q, e teilerfremd zu N
+gesucht: d mit d · e % N = 1
+
+Was hat das eine mit dem anderen zu tun?
+
+--> Problem umformulieren, so daß es "s · a + t · b" ähnlicher wird
+
+d · e % N = 1 --> Trick: aus "%" ein "+" machen
+
+Schreibe "16 % 7 = 2" als "16 = Vielfaches von 7 + 2" als "16 = m · 7 + 2"
+
+--> d · e + m · N = 1  (m darf auch negativ sein.)
+
+Dort, wo wir gerne eine 1 hätten, steht der ggT.
+Was ist in unserem Fall der ggT? --> = 1, weil e teilerfremd zu N ist.
+
+Wähle: a = e, b = N, dann gibt uns der erweiterte euklidische Algorithmus:
+1 = s · e + t · N
+--> s · e + ein Vielfaches von N = 1
+--> s ist das gesuchte d. :-)

20240411/binexp-01.c

+#include <stdio.h>
+#include <stdint.h>
+#include <inttypes.h>
+
+uint64_t bin_exp (uint64_t x, uint64_t e, uint64_t n)
+{
+  uint64_t result = 1;
+  for (uint64_t i = 0; i < e; i++)
+    {
+      result *= x;   // noch nicht binär, sondern Schleife über e --> O(n)
+      result %= n;
+    }
+  return result;
+}
+
+int main (void)
+{
+  printf ("%" PRIu64 "\n", bin_exp (1117, 2048, 65537));
+  return 0;
+}

20240411/binexp-02.c

+#include <stdio.h>
+#include <stdint.h>
+#include <inttypes.h>
+
+uint64_t bin_exp (uint64_t x, uint64_t e, uint64_t n)
+{
+  uint64_t result = 1;
+  while (e)
+    {
+      if (e & 1)
+        result *= x;  // binär, aber ohne "modulo"
+      x *= x;
+      e >>= 1;
+    }
+  return result;
+}
+
+int main (void)
+{
+  printf ("%" PRIu64 "\n", bin_exp (1117, 2048, 65537));
+  return 0;
+}

20240411/binexp-03.c

+#include <stdio.h>
+#include <stdint.h>
+#include <inttypes.h>
+
+uint64_t bin_exp (uint64_t x, uint64_t e, uint64_t n)
+{
+  uint64_t result = 1;
+  while (e)
+    {
+      if (e & 1)
+        {
+          result *= x;
+          result %= n;
+        }
+      x *= x;
+      x %= n;
+      e >>= 1;
+    }
+  return result;
+}
+
+int main (void)
+{
+  printf ("%" PRIu64 "\n", bin_exp (1117, 2048, 65537));
+  return 0;
+}