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Vortragsfolien 19.5.2022

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% ad-20220519.pdf - Lecture Slides on Algorithms and Data Structures in C/C++
% Copyright (C) 2018, 2019, 2020, 2021, 2022 Peter Gerwinski
%
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% README: Gruppen, Ringe, Körper
\documentclass[10pt,t]{beamer}
\usepackage{pgslides}
\usepackage{tikz}
\usepackage{rotating}
\newcommand{\underconstruction}{%
\begin{picture}(0,0)
\color{black}
\put(7.5,-2.2){\makebox(0,0)[b]{\includegraphics[width=1.5cm]{Zeichen_123.pdf}}}
\put(7.5,-2.5){\makebox(0,0)[t]{\shortstack{Änderungen\\vorbehalten}}}
\end{picture}}
\title{Algorithmen und Datenstrukturen in C/C++}
\author{Prof.\ Dr.\ rer.\ nat.\ Peter Gerwinski}
\date{19.\ Mai 2022}
\begin{document}
\maketitleframe
\nosectionnonumber{\inserttitle}
\begin{frame}
\shownosectionnonumber
\begin{itemize}
\item[\textbf{1}] \textbf{Einführung}
\underconstruction
\hfill\makebox(0,0)[br]{\raisebox{2.25ex}{\url{https://gitlab.cvh-server.de/pgerwinski/ad.git}}}
\item[\textbf{2}] \textbf{Einführung in C++}
\item[\textbf{3}] \textbf{Datenkodierung}
% \begin{itemize}
% \item Fehlererkennung und -korrektur
% \item Kompression
% \item Kryptographie
% \end{itemize}
\item[\textbf{4}] \textbf{Datenorganisation}
% \begin{itemize}
% \item Listen, Bäume, Hash-Tabellen, \dots
% \end{itemize}
\item[\textbf{5}] \textbf{Hardwarenahe Algorithmen}
% \begin{itemize}
% \item FFT, CORDIC, \dots
% \end{itemize}
\item[\textbf{6}] \textbf{Optimierung}
% \begin{itemize}
% \item Wegfindung, \dots
% \end{itemize}
\color{gray}
\item[\textbf{7}] \textbf{Numerik}
\end{itemize}
\end{frame}
\setcounter{section}{2}
\section{Datenkodierung}
\subsectionnonumber{\boldmath 3.$(x^2 - 1)$\quad Der Herr der Ringe: Manchmal ist $1 + 1 = 0$.}
\subsubsectionnonumber{\boldmath 3.$(x^2 - 1).x$\quad Motivation}
\begin{frame}
\showsection
\pause
\showsubsectionnonumber
\pause
\showsubsubsectionnonumber
Man kann auch mit sehr merkwürdigen Objekten\\
wie mit "`ganz normalen"' Zahlen rechnen.
\pause
\bigskip
Anwendungen:
\begin{itemize}
\item Funktionsweise von Computern (\textarrow\ Rechnertechnik)
\item Fehlererkennung
\item Fehlerkorrektur
\item Verschlüsselung
\item Digitale Signaturen
\end{itemize}
\end{frame}
\subsubsectionnonumber{\boldmath 3.$(x^2 - 1).(x + 1)$\quad Gruppen}
\begin{frame}
\showsection
\showsubsectionnonumber
\showsubsubsectionnonumber
\textbf{Definition:}
Sei $G$ eine Menge, $*$ eine Verknüpfung auf $G$.
Wenn
\begin{itemize}
\item
$\forall a, b, c \in G$: $(a * b) * c = a * (b * c)$ \quad (Assoziativgesetz),
\item
$\exists e \in G$: $\forall a \in G$: $a * e = e * a = a$ \quad (neutrales Element),
\item
$\forall a \in G$: $\exists a^{-1} \in G$: $a * a^{-1} = a^{-1} * a = e$ \quad (inverses Element),
\end{itemize}
dann heißt $(G,*)$ eine \newterm{Gruppe}.
\pause
\bigskip
\textbf{Definition:}
Sei $(G,*)$ eine Gruppe.
Wenn zusätzlich
\begin{itemize}
\item
$\forall a, b \in G$: $a * b = b * a$ \quad (Kommutativgesetz),
\end{itemize}
dann heißt $(G,*)$ eine \newterm{kommutative Gruppe}.
\end{frame}
\subsubsectionnonumber{\boldmath 3.$(x^2 - 1).(x + 2)$\quad Ringe}
\begin{frame}
% \showsection
\showsubsectionnonumber
\showsubsubsectionnonumber
\textbf{Definition:}
Sei $R$ eine Menge; seien $+$ und $\cdot$ Verknüpfungen auf $R$.
Wenn
\begin{itemize}
\item
$(R,+)$ eine kommutative Gruppe ist,
\item
$\forall a, b, c \in R$: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ \quad (Assoziativgesetz),
\item
$\forall a, b, c \in R$: $(a + b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c$
und $a\cdot(b + c) = a\cdot b + a\cdot c$ \quad (Distributivgesetze),
\end{itemize}
dann heißt $(R,+,\cdot)$ ein \newterm{Ring}.
\pause
\bigskip
\textbf{Definition:}
Sei $(R,+,\cdot)$ ein Ring.
Wenn zusätzlich
\begin{itemize}
\item
$\forall a, b \in R$: $a \cdot b = b \cdot a$ \quad (Kommutativgesetz),
\end{itemize}
dann heißt $(R,+,\cdot)$ ein \newterm{kommutativer Ring}.
\pause
\bigskip
\textbf{Definition:}
Sei $(R,+,\cdot)$ ein (kommutativer) Ring.
Wenn zusätzlich
\begin{itemize}
\item
ein $e \in R$ existiert, so daß für alle $a \in R$ gilt: $a \cdot e = e \cdot a = a$\\
(neutrales Element),
\end{itemize}
dann heißt $(R,+,\cdot)$ ein \newterm{(kommutativer) Ring mit 1}.
\vspace*{-1cm}
\end{frame}
\subsubsectionnonumber{\boldmath 3.$(x^2 - 1).(x + 3)$\quad Körper}
\begin{frame}
% \showsection
\showsubsectionnonumber
\showsubsubsectionnonumber
\textbf{Definition:}
Sei $K$ eine Menge; seien $+$ und $\cdot$ Verknüpfungen auf $K$.
Wenn
\begin{itemize}
\item
$(K,+,\cdot)$ ein Ring mit 1 ist und
\item
$(K \backslash \{0\},\cdot)$ eine kommutative Gruppe ist,
\end{itemize}
dann heißt $(K,+,\cdot)$ ein \newterm{Körper}.
\end{frame}
\end{document}
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