Diplomarbeit von Peter Gerwinski – rekonstruierte PDF-Version

extra.tex

+\chapter{Ergänzungen und Ausblicke \label{Extra}}
+
+\section{Verallgemeinerung des Potentials\label{Valpha}}
+
+In dieser Arbeit war stets von dem Potential $V(x) = - 1 / \cosh^2 x$ die
+Rede. In diesem Abschnitt soll noch eine ganz andere Klasse von Potentialen
+behandelt werden. Zur Unterscheidung soll daher das bisherige Potential mit
+$V_M(x)$ (für \name{Morse}) bezeichnet werden.
+
+Als P.~\seba\ die dynamischen Resonanzen entdeckte, verwendete er das folgende
+Potential:
+\begin{equation}
+  V(x) = V_2(x) := - e^{-x^2}.
+  \label{Gauss}
+\end{equation}
+In meinen ersten numerischen Rechnungen verwendete ich die folgende
+Verallgemeinerung dieses Potentials:
+\begin{equation}
+  V(x) = V_\alpha(x) := - e^{ - |x|^\alpha }.
+\end{equation} Dieses Potential geht für $\alpha\to\infty$ in ein
+Kastenpotential über (siehe Abb.~\ref{Potentiale}):
+\begin{equation}
+  V(x) = V_\infty(x) = \left\{\begin{array}{cl}
+    - 1 & \mbox{für $|x| \le 1$,} \\
+    0   & \mbox{für $|x| > 1$.}
+  \end{array}\right.
+  \label{Kasten}
+\end{equation}
+
+Abb.~\ref{verschAlpha} zeigt für verschiedene Werte von $\alpha$ die
+klassische Stabilitätsinsel im Vergleich mit dem Reflexionskoeffizienten
+$S_{00}^-(\Theta)$. Die Ähnlichkeit der dynamischen Resonanzen bei $V
+= V_M$ und $V = V_2$ ist unverkennbar und zeigt, daß es sich bei den
+dynamischen Resonanzen offensichtlich nicht um eine Besonderheit des
+Potentials $V_M$ handelt. Wir beobachten auch, daß die kleiner werdende
+Stabilitätsinsel zu einem allmählichen Verschwinden der dynamischen Resonanzen
+korrespondiert, wie es auch nach den in dieser Arbeit gefällten Aussagen zu
+erwarten war.
+
+\breath
+
+Wir können nun die Ergebnisse von Abschnitt~\ref{InselKopplung} auf $V =
+V_\alpha$ anwenden und die Kopplung des gestreuten Teilchens an quasigebundene
+Zustände innerhalb der Stabilitätsinsel untersuchen, um auf diese Weise eine
+Vorhersage für die Lage der Resonanzen zu finden. Leider gibt es keine Formel,
+welche die Energieeigenwerte der gebundenen Zustände in einem zeitunabhängigen
+Potentialtopf mit $V = V_\alpha$ explizit angäbe. Als Ersatz habe ich daher
+die Energieniveaus semiklassisch nach \name{Bohr} und \name{Sommerfeld}
+berechnet \cite[\S~48]{LL}.
+
+Ein gebundener Zustand mit der Energie $E$ ist nach der
+\name{Bohr}-\name{Sommerfeld}schen Quantisierungsvorschrift genau dann
+stationär, wenn die von der geschlossenen klassischen Bahn umschlossene Fläche
+im Phasenraum ein halbzahliges Vielfaches von $2\pi\hbar$ ist:
+\begin{equation}
+  \oint p\>\>\D{x} = 2\pi\hbar \left( k + \fr{1}{2} \right)
+  \quad\mbox{mit}\quad k \in \N_0.
+  \label{BSQ}
+\end{equation}
+Wir können nun das Integral numerisch berechnen und diejenigen Energien $E_k$
+notieren, für welche die Gleichung~\ref{BSQ} erfüllt ist. Ab diesem Punkt ist
+es kein Problem mehr, wie in Gleichung~\ref{VerschNiveaus} Vielfache von
+$2\pi\hbar$ zu addieren und die erhaltenen Quasienergien mit der Lage der
+Maxima zu vergleichen.
+
+Abb.~\ref{alpha} zeigt den Reflexionskoeffizienten und die Tunnelrate in
+Abhängigkeit von der Quasienergie $\Theta$ und dem Parameter $\alpha$, der die
+Form des Potentials charakterisiert, wobei die verschobenen semiklassischen
+Energieniveaus mit eingezeichnet sind. Das Ergebnis ist ähnlich wie in den
+entsprechenden Abbildungen für $V = V_M$: Die Resonanzen liegen stets in der
+Nähe der verschobenen Niveaus und folgen ihrem dynamischen Verhalten bei
+Variation eines Parameters -- in diesem Falle $\alpha$. Wiederum reagiert die
+Tunnelrate "`empfindlicher"' auf Niveaus $E_k + n \cdot 2\pi\hbar$ mit $n > 1$
+als der Reflexionskoeffizient, und wiederum beobachten wir die stärksten
+Tunnelraten dort, wo sich die zu $n = 1$ (durchgezogen) und $n = 2$
+(gestrichelt) gehörenden Linien schneiden, wohingegen der
+Reflexionskoeffizient im Wesentlichen den zu $n = 1$ gehörenden Linien folgt.
+
+
+\begin{figure}[p]
+  \begin{center}
+    \Vgraph{vm}{$x$}{$V_M(x)$} \\
+    \bigskip
+    \Vgraph{v2}{$x$}{$V_2(x)$} \\
+    \bigskip
+    \Vgraph{v4}{$x$}{$V_4(x)$} \\
+    \bigskip
+    \Vgraph{v8}{$x$}{$V_8(x)$} \\
+    \bigskip
+    \Vgraph{v16}{$x$}{$V_{16}(x)$} \\
+    \bigskip
+    \Vgraph{v00}{$x$}{$V_\infty(x)$} 
+  \end{center}
+  \caption{Verschiedene verwendete Potentiale $V(x)$}
+  \label{Potentiale}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+  \vspace{-2cm}
+  \begin{center}
+    \sphr{sphr10} \sSgraph{labh10}{$V = V_M$}
+    \sphr{aphr2}  \sSgraph{aabh2}{$\alpha = 2$}
+    \sphr{aphr4}  \sSgraph{aabh4}{$\alpha = 4$}
+    \sphr{aphr8}  \sSgraph{aabh8}{$\alpha = 8$}
+    \sphr{aphr16} \sSgraph{aabh16}{$\alpha = 16$}
+  \end{center}
+  \caption{Stabilitätsinsel und Reflexionskoeffizient für verschiedene
+           $\alpha$}
+  \label{verschAlpha}
+\end{figure}
+
+\newcommand{\ANGraph}[3]{%
+  \begin{picture}(10,8)(0.3,0.3)
+    \put(0.5,7.0024){\myincludegraphics{#1.png}}
+    \put(0.5,7.0024){\myincludegraphics{#2.png}}
+    \put(0.3,0.3){\line(1,0){9.07}}
+    \put(0.3,0.3){\line(0,1){6.90}}
+    \put(0.3,7.20){\line(1,0){9.07}}
+    \put(9.37,0.3){\line(0,1){6.90}}
+    \multiput(0.5,0.3)(0.867,0){11}{\line(0,1){0.15}}
+    \multiput(0.5,7.20)(0.867,0){11}{\line(0,-1){0.15}}
+    \multiput(0.3,0.5)(0,0.361){19}{\line(1,0){0.15}}
+    \multiput(9.37,0.5)(0,0.361){19}{\line(-1,0){0.15}}
+    \put(0.5,0.15){\makebox(0,0)[t]{\footnotesize $0.1$}}
+    \put(3.968,0.15){\makebox(0,0)[t]{\footnotesize $0.5$}}
+    \put(8.303,0.15){\makebox(0,0)[t]{\footnotesize $1.0$}}
+    \put(9.4,-0.15){\makebox(0,0)[r]{$\frac{\Theta}{2\pi\hbar}$}}
+    \put(0.15,0.5){\makebox(0,0)[r]{\footnotesize $2$}}
+    \put(0.15,3.39){\makebox(0,0)[r]{\footnotesize $10$}}
+    \put(0.15,7){\makebox(0,0)[r]{\footnotesize $20$}}
+    \put(-0.1,6.5){\makebox(0,0)[t]{$\alpha$}}
+    \put(10,7){\makebox(0,0)[tl]{#3}}
+  \end{picture}}
+
+\begin{figure}[p]
+  \begin{center}
+     \ANGraph{rate2r}{rate2s}{$S^-(\Theta,\alpha)$}
+     \ANGraph{rate2i}{rate2s}{$I(\Theta,\alpha)$}
+  \end{center}
+  \caption{Reflexionskoeffizient und Tunnelrate in Abhängigkeit von $\alpha$}
+  \smallskip\noindent
+  $V = V_\alpha$, $\hbar = 0.05$, $\lambda = 0.5$. Die eingezeichneten
+  verschobenen Energieniveaus sind semiklassisch berechnet.
+  \label{alpha}
+\end{figure}
+
+\section{Abschwächung der Periodizitätsforderung}
+
+Im letzen Abschnitt wurde eine Verallgemeinerung des Potentials vorgenommen,
+um sicher zu stellen, daß es sich bei den Ergebnissen dieser Arbeit nicht um
+eine ganz spezielle Eigenheit eines bestimmten Potentials handelt. Eine
+mindestens genauso einengende Eigenschaft, die von dem in dieser Arbeit
+betrachteten System verlangt wird, ist die strenge Periodizität der Kicks. In
+einem realen physikalischen Experiment wird es sich nicht völlig vermeiden
+lassen, daß die Periodizität gestört wird.
+
+Aus diesem Grunde habe ich ebenfalls Rechnungen mit einem System vorgenommen,
+in dem die Periodendauer $T$ mit einem Fehler $\Delta$ behaftet ist:
+\begin{equation}
+  T = 1 + \xi
+  \quad\mbox{mit}\quad
+  \xi \in \II(-\fr{1}{2}\Delta,\fr{1}{2}\Delta),
+\end{equation}
+wobei $\xi$ eine aus dem Intervall $\II(-\frac{1}{2}\Delta,\frac{1}{2}\Delta)$
+stammende, gleichverteilte Zufallszahl ist. Der Hamiltonoperator des Systems
+lautet dann
+\begin{equation}
+  H_\Delta(t) = \fr{1}{2} p^2 + \lambda V(x)
+                \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-t_n),
+\end{equation}
+wobei über die $t_n$ nur vorausgesetzt wird, daß
+\begin{equation}
+  t_{n+1} - t_n \in \II(1-\fr{1}{2}\Delta,1+\fr{1}{2}\Delta)
+  \fueralle n\in\Z
+\end{equation}
+erfüllt ist.
+
+Abb.~\ref{Random} zeigt die klassische Stabilitätsinsel im Vergleich mit dem
+Reflexionskoeffizienten $S_{00}^-(\Theta)$ für verschiedene $\Delta$. Man
+erkennt, daß bei Störungen der Periodizität bis etwa $10\%$ ($\Delta = 0.1$)
+die Struktur nur unwesentlich beeinflußt wird. Bei $20\%$ ($\Delta = 0.2)$
+sind die dynamischen Resonanzen immer noch erkennbar, und erst bei $30\%$
+verschwinden die Maxima. Dies gibt Hoffnung, daß die dynamischen Resonanzen
+auch in einem realen System beobachtet werden können.
+
+\begin{figure}[p]
+  \begin{center}
+    \sphr{sphr10} \sSgraph{labh10}{$\Delta = 0$}
+    \sphr{dphr01} \sSgraph{dabh01}{$\Delta = 0.1$}
+    \sphr{dphr02} \sSgraph{dabh02}{$\Delta = 0.2$}
+    \sphr{dphr03} \sSgraph{dabh03}{$\Delta = 0.3$}
+  \end{center}
+  \caption{Stabilitätsinsel und Reflexionskoeffizient bei gestörter
+           Periodizität}
+  \label{Random}
+\end{figure}
+
+% \section{Der zeitunabhängige Grenzfall}
+%
+% Ein Grund, weshalb man sich überhaupt mit gekickten Systemen befaßt, liegt
+% darin, daß sie mit verhältnismäßig geringem Aufwand numerisch berechenbar
+% sind. Aus demselben Grunde werden gekickte Systeme mit kurzer Periode $T$ in
+% der numerischen Mathematik oft als Näherung für zeitunabhängige Systeme oder
+% für solche mit einer ganz anderen Zeitabhängigkeit eingesetzt.
+%
+% Wenn wir die \name{Hamilton}funktion unseres Systems ohne die Annahme $T = 1$
+% schreiben, erhalten wir:
+% \begin{equation}
+%   H(p,x,t) = \fr{1}{2} p^2 + \lambda V(x)
+%              \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(\frac{t-nT}{T}\right).
+% \end{equation}
+% Daraus ergibt sich die folgende \name{Poincaré}-Abbildung:
+% \begin{equation}
+%   \begin{array}{ccl}
+%     p_{n+1} & = & p_n - T \cdot \lambda V'(x_n), \\
+%     x_{n+1} & = & x_n + T \cdot p_{n+1}.
+%   \end{array}
+% \end{equation}
+%
+% Abb.~\ref{Tto0} zeigt, wie der chaotische Bereich verschwindet und das
+% Phasenraumportrait achsensymmetrisch wird, wenn wir $T$ verkleinern. Im
+% Grenzfall $T \to 0$ geht unser System in ein zeitunabhängiges System mit der
+% \name{Hamilton}funktion
+% \begin{equation}
+%   H_{T \to 0}(p,x) = \fr{1}{2}p^2 + \lambda V(x)
+% \end{equation}
+% über, dessen Dynamik vollständig regulär ist. Für endliche, aber kleine $T$
+% liefert uns die \name{Poincaré}-Abbildung brauchbare Näherungslösungen für die
+% mit $H_{T \to 0}$ gebildeten Bewegungsgleichungen.
+%
+% Dieses Verfahren, Differentialgleichungssysteme näherungsweise numerisch zu
+% lösen, heißt das Verfahren des {\em \name{Euler}"-schen Polygonzugs}
+% \cite[\S~7.1.2.9.1]{Bronstein} und ist das einfachste dieser Verfahren.
+%
+% Das in dieser Arbeit untersuchte Phänomen ist gewissermaßen der Fehler des
+% \name{Euler}"-schen Polygonzugs, der entsteht, wenn man $T$ zu groß wählt. Die
+% Kenntnis der in dieser Situation auftretenden Effekte kann hilfreich sein,
+% Fehlschlüsse zu vermeiden, wenn ein System mit Hilfe des
+% \name{Euler}-Verfahrens untersucht wird.
+%
+%
+% \begin{figure}[p]
+%   \vspace{-2cm}
+%   \begin{center}
+%     \phr{kam10m10}{$T = 1.0$}
+%     \phr{kam10m07}{$T = 0.7$}
+%     \vspace{1cm} \\
+%     \phr{kam10m06}{$T = 0.6$}
+%     \phr{kam10m05}{$T = 0.5$}
+%     \vspace{1cm} \\
+%     \phr{kam10m04}{$T = 0.4$}
+%     \phr{kam10m01}{$T = 0.1$}
+%   \end{center}
+%   \caption{Der Übergang $T \to 0$ für $\lambda = 1$}
+%   \label{Tto0}
+% \end{figure}
+%
+% \section{Ideen für weitere Untersuchungen}
+%
+% Im Laufe dieser Arbeit sind viele Ansätze erarbeitet, ausprobiert und wieder
+% verworfen worden, die sich für weiterführende Untersuchungen
+% möglicherweise durchaus als fruchtbar erweisen könnten. In diesem Abschnitt
+% sollen drei dieser Ansätze kurz skizziert werden.
+%
+% \subsection{Zeitintegration der Tunnelrate}
+%
+% In Gleichung~\ref{defI} wurde die Tunnelrate als derjenige "`Anteil des
+% Teilchens"' definiert, der sich innerhalb der Stabilitätsinsel befindet, zu
+% demjenigen Zeitpunkt, an dem die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Streuzentrum
+% -- in Ortsdarstellung gemessen -- maximal ist. Dies zielt darauf ab, das
+% Maximum der Aufenthaltswahrscheinlichkeit in der Stabilitätsinsel zu
+% ermitteln, ist aber zwangsläufig ungenau: In den resonanten Fällen konnte ich
+% beobachten, daß das Maximum der Aufenthaltswahrscheinlichkeit in der
+% Stabilitätsinsel erst deutlich später als in Ortsdarstellung angenommen wird,
+% nämlich erst dann, wenn das Teilchen bereits in Begriff ist, das Streuzentrum
+% wieder zu verlassen.
+%
+% Eine angemessenere Definition der Tunnelrate wäre sicherlich das zeitliche
+% Integral des Anteils des Teilchens innerhalb der Stabilitätsinsel über den
+% gesamten Streuprozeß:
+% \begin{equation}
+%   I\/' := \int\limits_{-\infty}^{\infty} \D{t}
+%           \int\limits_{\,\displaystyle \I\!}\!\!\!\int \D{x}\>\>\D{p} \,
+%           \rho_H(x,p,t).
+% \end{equation}
+% Die numerische Messung von $I\/'$ gestaltet sich nun leider sehr viel
+% zeitaufwendiger als die von $I$, da für $I$ die \name{Husimi}-Funktion nur ein
+% einziges Mal berechnet werden muß, wohingegen dies für $I\/'$ nach jedem
+% Rechenschritt der Fall ist. Einige Probemessungen ergaben keinen qualitativen
+% Unterschied zwischen $I$ und $I\/'$, während sich die Rechenzeit trotz
+% herabgesetzter Rechengenauigkeit vervierfachte. Es hat sich aber gezeigt, daß
+% die Verwendung von $I\/'$ anstelle von $I$ immerhin möglich und auch genauer
+% ist, wenn auch für die in dieser Arbeit vorgenommenen Betrachtungen nicht
+% unbedingt notwendig.
+
+\section{Der klassische Limes}
+
+Um den Übergang zwischen klassischem Chaos und Quantenchaos besser zu
+verstehen, wäre der nächste Schritt der Grenzübergang $\hbar \to 0$. Leider
+stoßen wir ziemlich schnell an die Grenzen der Rechenleistung heutiger
+Computer, da für kleiner werdende $\hbar$ immer mehr Stützstellen zur
+Speicherung der Wellenfunktion erforderlich werden (siehe
+Abschnitt~\ref{FloquetNumerik}) und der Rechenaufwand schneller als linear mit
+der Anzahl der Stützstellen wächst.
+
+% Mit $\hbar \approx 0.005$ sind die Grenzen
+% dessen erreicht, was sich noch mit einem 80486-PC oder einem RISC 6000 in
+% vertretbarer Zeit berechnen läßt. Die Verwendung eines schnelleren Rechners
+% (\zB~Cray) verschiebt diese Grenze meiner Vermutung nach höchstens bis $\hbar
+% \approx 0.0005$.
+
+Ein Ansatz, wie man die Anzahl der Stützstellen reduzieren könnte, liegt in
+der Verkleinerung des Ortsfensters bei gleichzeitigem Einführen von
+absorbierenden Randbedingungen \cite{KK86}. Es würde dann genügen, das
+Ortsfenster so groß zu wählen, daß es den Anfangszustand -- ein ins
+Streuzentrum laufendes \name{Gauss}sches Wellenpaket -- aufnehmen kann.
+Auslaufende Wellenpakete würden dann am Rand absorbiert, so daß man die
+Rechnung nicht abbrechen muß, sobald das erste Wellenpaket den Rand erreicht.
+Ein Nachteil dieser Methode liegt darin, daß es nicht ganz unproblematisch
+ist, die absorbierten Teile des Wellenpakets nach Kanälen getrennt
+aufzusummieren.
+
+Eine andere Idee zielt auf eine völlig neue Rechenmethode, die gerade an
+kleine $\hbar$ angepaßt ist. Man könnte \zB~von vorneherein in der
+\name{Husimi}-Darstellung rechnen und die Wellenfunktion als Überlagerung von
+\name{Gauss}-Paketen handhaben. Es wäre dann möglich, den Anfangs- und
+Endzustand durch sehr wenige komplexe Zahlen zu charakterisieren, und meine
+Hoffnung ist, daß sich auch die Zwischenzustände durch eine Summe von
+hinreichend vielen \name{Gauss}-Paketen gut genug approximieren lassen. Selbst
+bei $1000$ \name{Gauss}-Paketen hätten wir es immer noch mit weniger Zahlen zu
+tun als bei einer in Gestalt von $2^{16}$ komplexen Stützstellen vorliegenden
+Wellenfunktion. Eine Verallgemeinerung auf zwei oder mehr räumliche
+Dimensionen rückt damit in Reichweite.
+
+\section{Ein analytisch lösbares Modell}
+
+% Die numerische Behandlung physikalischer Phänomene ist für den theoretischen
+% Physiker stets ein wenig unbefriedigend: Einerseits existiert das Modell nur
+% in unserem Kopf und im Computer, so daß wir lediglich hoffen können, daß sich
+% die Ergebnisse auf die reale Welt übertragen lassen. Andererseits fehlt uns
+% das tiefere Verständnis des Mechanismus', der dazu führt, daß die vom Computer
+% ausgeworfenen Ergebnisse einer bestimmten Gesetzmäßigkeit folgen.
+% Wünschenswert wäre daher ein vollständig analytisch lösbares Modell, selbst
+% wenn wir uns dadurch von der Übertragbarkeit auf die Realität weiter
+% entfernen.
+%
+% In Abschnitt~\ref{Valpha} war bereits von dem Versuch die Rede, durch eine
+% Vereinfachung des Potentials das Modell analytisch zugänglich zu machen. Wie
+% dort bereits erwähnt, scheint das Kastenpotential $V_\infty(x)$ für diesen
+% Zweck nicht geeignet zu sein. Herr~\seba\ hat mir gegenüber jedoch in einem
+% Gespräch erwähnt, \dots
+
+Das in dieser Arbeit betrachtete Modell hat den Nachteil, daß keine
+analytische Lösung der Schrödingergleichung bekannt ist. Es ist jedoch
+möglich, daß es ein ausgezeichnetes Potential $V(x)$ gibt, für das eine solche
+Lösung existiert. Es besteht insbesondere Grund zu der Annahme, daß ein
+"`$\delta$-förmiger Potentialtopf"' mit
+\begin{equation}
+  V(x) = V_\delta(x) := - \delta(x)
+\end{equation}
+ein mathematisch exakt berechenbares Modell liefert.
+
+Eine denkbare Verallgemeinerung des Potentials $V_\delta$ wäre eine Summe
+derartiger $\delta$-Potentialtöpfe verschiedener Stärke $v_k$ an
+verschiedenen Orten $x_k$:
+\begin{equation}
+  V(x) = - \sum_k v_k \, \delta(x - x_k).
+\end{equation}
+Für geeignete $x_k$ und $v_k$ ist es dann möglich, jedes Potential $V(x)$
+durch eine solche Summe zu approximieren, insbesondere auch das in dieser
+Arbeit behandelte Potential $V(x) = - 1 / \cosh^2 x$. Ein Vergleich beider
+Modelle würde sicherlich zu einem noch tieferen Verständnis der
+"`Fingerabdrücke"' des klassischen Chaos in der Quantenmechanik beitragen.