Diplomarbeit von Peter Gerwinski – rekonstruierte PDF-Version

klassik.tex

+\chapter{Klassische Beschreibung \label{Klassik}}
+
+\section{Das System}
+
+In dieser Arbeit betrachten wir ein System, das durch die folgende
+\name{Hamilton}funktion beschrieben wird:
+\begin{equation}
+  H(p,x,t) = \fr{1}{2} p^2 + \lambda V(x) \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-n)
+  \label{HamFkt}
+\end{equation}
+mit dem Potential
+\begin{equation}
+  V(x) = - \frac{1}{\cosh^2 x}.
+  \label{defV}
+\end{equation}
+
+Es handelt sich um ein Teilchen der Masse~$1$, das sich entlang einer
+eindimensionalen Schiene bewegen kann. In zeitlich periodischen Abständen
+erfährt das Teilchen einen Kraftstoß, einen {\em Kick}, dessen Stärke und
+Richtung vom Ort abhängen. Ein derartiger Kick wird durch ein zeitabhängiges
+Potential der Gestalt $V(x) \cdot \delta(t)$ beschrieben. Wir wollen $V(x)$
+unverändert lassen und führen daher die {\em Kickstärke} $\lambda$ als einen
+reellen Vorfaktor zu $V(x)$ in die Gleichung ein. Die Kickperiode kann ohne
+Beschränkung der Allgemeinheit auf eins gesetzt werden.
+
+\begin{figure}[b]
+  \begin{center}
+    \Vgraph{vm}{$x$}{$V(x)$}
+  \end{center}
+  \label{Potential}
+  \caption{Das Potential $V(x) = - 1 / \cosh^2 x$}
+\end{figure}
+
+Das Potential $V(x)$ ist attraktiv:
+\begin{equation}               
+  V(x) \le 0 \fueralle x \in \R,
+\end{equation}                 
+symmetrisch zum Nullpunkt:
+\begin{equation}
+  V(x) = V(-x) \fueralle x \in \R
+\end{equation}
+und kurzreichweitig:
+\begin{equation}
+  \lim_{x\to\pm\infty} x^n V(x) = 0 \fueralle n \in \N.
+  \label{shortrange}
+\end{equation}
+Die Eigenschaft der Kurzreichweitigkeit erlaubt es uns, in "`weiter
+Entfernung"' vom Nullpunkt das Potential zu vernachlässigen. Wir können daher
+ein- und auslaufende Teilchen als freie Teilchen mit konstantem Impuls
+$p_\ein$ bzw.~$p_\aus$ behandeln. Genaugenommen definieren wir $p_\ein$ und
+$p_\aus$ als die asymptotischen Impulse für $t \rightarrow \pm \infty$:
+\begin{eqnarray}
+  & \lim\limits_{t \rightarrow - \infty} |p(t) - p_\ein| = 0, &
+  \label{pEin} \\
+  & \lim\limits_{t \rightarrow + \infty} |p(t) - p_\aus| = 0. &
+  \label{pAus} 
+\end{eqnarray}
+Es ist weiterhin nützlich, eine asymptotische Anfangs- und End-Ortskoordinate
+zu definieren:
+\begin{eqnarray}
+  & \lim\limits_{t \rightarrow - \infty} |x(t) - (x_\ein + t \cdot p_\ein)| = 0, &
+  \label{xEin} \\
+  & \lim\limits_{t \rightarrow + \infty} |x(t) - (x_\aus + t \cdot p_\aus)| = 0. &
+  \label{xAus}
+\end{eqnarray}
+$x_\aus$ ist demnach der Ort, an dem ein freies Teilchen zur Zeit $t = 0$
+gestartet worden sein müßte, damit es für $t \to \infty$ die gleiche Bewegung
+vollführt wie das gestreute Teilchen. Analog ist $x_\ein$ der Ort, an dem das
+Teilchen zur Zeit $t = 0$ bei Abwesenheit des Potentials eintreffen würde.
+
+Wegen der Zeitabhängigkeit des Potentials sind $x_\ein$ und $x_\aus$ zur
+vollständigen Beschreibung des Anfangs- bzw.~Endzustandes notwendig. Aufgrund
+der Zeitperiodizität ist jedoch $x_\ein$ äquivalent zu $x_\ein + n p_\ein$ mit
+$n \in \Z$. Es genügt daher für festgehaltenes $p_\ein$, sich bei
+Untersuchungen des Systems auf ein Intervall $\Ii(x_\ein,x_\ein + p_\ein)$ zu
+beschränken.
+
+\breath
+
+Das Verhalten eines Teilchens mit der \name{Hamilton}"-funktion~\ref{HamFkt}
+läßt sich folgendermaßen beschreiben: Zwischen zwei Kicks handelt es sich um
+ein freies Teilchen, das sich mit konstantem Impuls bewegt; "`während"' des --
+unendlich kurzen -- Kicks ändert sich der Impuls schlagartig, ohne daß das
+Teilchen die Zeit hätte, seinen Ort zu verändern. Es bietet sich daher an, das
+System zu den ausgezeichneten Zeitpunkten jeweils unmittelbar vor dem $n$-ten
+Kick zu betrachten. Wenn wir mit $x_n$ und $p_n$ den Ort bzw.~den Impuls des
+Teilchens vor dem $n$-ten Kick bezeichnen, wird die Dynamik des Systems durch
+die folgende Abbildung beschrieben:
+\begin{equation}
+  \begin{array}{ccl}
+    p_{n+1} & = & p_n - \lambda V'(x_n), \\
+    x_{n+1} & = & x_n + p_{n+1}.
+  \end{array}
+  \label{Poincare}
+\end{equation}
+
+Die Trajektorie eines Teilchens mit Anfangskoordinate $x_\ein = x_0$ und
+Anfangsimpuls $p_\ein = p_0$ erhalten wir, indem wir für $n\in\N_0$ iterativ
+die folgenden Schritte ausführen:
+\begin{enumerate}
+  \item
+    Wir berechnen $p_{n+1}$ und tragen die Strecke $(x_n,p_n)-(x_n,p_{n+1})$
+    in das Phasenraumdiagramm ein.
+  \item
+    Wir berechnen $x_{n+1}$ und tragen die Strecke
+    $(x_n,p_{n+1})-(x_{n+1},p_{n+1})$ ebenfalls ein.
+\end{enumerate}
+\goodbreak
+Wir können die Iteration beenden, sobald sich das Teilchen wieder in einem
+kräftefreien Bereich befindet und vom Streuzentrum weg bewegt.
+
+Abb.~\ref{Traj} zeigt auf diese Weise berechnete Trajektorien des Systems für
+unterschiedliche Anfangsimpulse $p_\ein$ bei festgehaltener Anfangskoordinate
+$x_\ein = -5$. Es fällt auf, daß bereits kleinste Änderungen des
+Anfangsimpulses ein völlig unterschiedliches Verhalten des Systems bewirken.
+Dies ist das von B.~\name{Eckhardt} und C.~\name{Jung} im Jahre 1986
+aufgestellte Kriterium für {\em irreguläre Streuung} \cite{EJ86}.
+
+Wir können dieses anschaulich unterschiedliche Verhalten quantitativ
+beschreiben, indem wir \zB~den Impuls $p_\aus$ des auslaufenden Teilchens als
+Funktion des Impulses $p_\ein$ des einlaufenden Teilchens bei festgehaltener
+Anfangskoordinate $x_\ein$ auftragen. Diese Funktion ist fraktal, \dh\ sie
+weist bei beliebiger Vergrößerung noch Strukturen auf. Abb.~\ref{pFrak1} und
+\ref{pFrak3} zeigen den Graphen der Funktion für $\lambda = 1$ bzw.~$\lambda =
+3$ auf immer kleiner werdenden Intervallen; ein Diagramm stellt jeweils einen
+Ausschnitt des vorhergehenden in zehnfacher Vergrößerung dar. Man kann sich
+gut vorstellen, daß sich die Strukturen bis zu unendlicher Vergrößerung
+fortsetzen.
+
+
+\newcommand{\traj}[2]{%
+  \begin{picture}(4.5,5)(0,0.5)
+    \put(1.05667,4.44333){\myincludegraphics{#1.png}}
+    \put(1,1){\line(0,1){3.5}}
+    \multiput(1,1.41666)(0,0.66667){5}{\line(1,0){0.15}}
+    \multiput(4.5,1.41666)(0,0.66667){5}{\line(-1,0){0.15}}
+    \put(0.75,4.6){\makebox(0,0)[tr]{$p$}}
+    \put(0.75,4.08334){\makebox(0,0)[r]{\footnotesize $2$}}
+    \put(0.75,2.75000){\makebox(0,0)[r]{\footnotesize $0$}}
+    \put(0.75,1.41666){\makebox(0,0)[r]{\footnotesize $-2$}}
+    \put(4.5,1){\line(0,1){3.5}}
+    \put(1,1){\line(1,0){3.5}}
+    \multiput(1.41666,4.5)(0.66667,0){5}{\line(0,-1){0.15}}
+    \multiput(1.41666,1)(0.66667,0){5}{\line(0,1){0.15}}
+    %
+    %  \put(1.41666,4.5){\line(0,-1){0.15}}
+    %  *** wieso fehlt diese Linie im letzen Diagramm -- und nur dort? ***
+    %
+    \put(4.6,0.75){\makebox(0,0)[tr]{$x$}}
+    \put(4.08334,0.75){\makebox(0,0)[t]{\footnotesize $2$}}
+    \put(2.75000,0.75){\makebox(0,0)[t]{\footnotesize $0$}}
+    \put(1.41666,0.75){\makebox(0,0)[t]{\footnotesize $-2$}}
+    \put(1,4.5){\line(1,0){3.5}}
+    \put(2.75000,0){\makebox(0,0)[b]{#2}}
+  \end{picture}}
+
+\begin{figure}[p]
+  \vspace{-1cm}
+  \begin{center}
+    \traj{traj1}{$p_\ein = 0.5000$}
+    \traj{traj2}{$p_\ein = 0.5001$}
+    \traj{traj3}{$p_\ein = 0.5002$}
+    \traj{traj4}{$p_\ein = 0.5003$}
+    \traj{traj5}{$p_\ein = 0.5004$}
+    \traj{traj6}{$p_\ein = 0.5005$}
+    \traj{traj7}{$p_\ein = 0.5006$}
+    \traj{traj8}{$p_\ein = 0.5007$}
+    \traj{traj9}{$p_\ein = 0.5008$}
+    \traj{traj10}{$p_\ein = 0.5009$}
+    \traj{traj11}{$p_\ein = 0.5010$}
+    \traj{traj12}{$p_\ein = 0.5011$}
+  \end{center}
+  \caption{Trajektorien in Abhängigkeit von $p_\protect\ein$
+           für $\lambda = 1$, $x_\protect\ein = -4.9$}
+  \smallskip\noindent
+  Bereits kleinste Änderungen des Anfangsimpulses $p_\ein$ bewirken ein völlig
+  unterschiedliches Verhalten des gestreuten Partikels. Dies ist das Kriterium
+  für irreguläre Streuung.
+  \label{Traj}
+\end{figure}
+
+
+\newcommand{\pFraktal}[4]{%
+  \begin{picture}(6.5,6.5)(0,0.5)
+    \put(1.21,6.29){\myincludegraphics{pfr#1.png}}
+    \put(1.25,1.15){\vector(0,1){5.4}}
+    \multiput(1.25,1.75)(0,1){5}{\line(-1,0){0.15}}
+    \put(0.9,6.5){\makebox(0,0)[tr]{$p_\aus$}}
+    \put(0.9,5.75){\makebox(0,0)[r]{\footnotesize $#4$}}
+    \put(0.9,3.75){\makebox(0,0)[r]{\footnotesize $0$}}
+    \put(0.9,1.75){\makebox(0,0)[r]{\footnotesize $-#4$}}
+    \put(1.25,1.15){\vector(1,0){5.4}}
+    \multiput(1.25,1.15)(0.5,0){11}{\line(0,-1){0.15}}
+    \put(6.35,0.85){\makebox(0,0)[tr]{\footnotesize $#3$}}
+    \put(3.75,0.85){\makebox(0,0)[t]{\footnotesize $0.5$}}
+    \put(1.175,0.85){\makebox(0,0)[tl]{\footnotesize $#2$}}
+    \put(6.5,0.25){\makebox(0,0)[br]{$p_\ein$}}
+  \end{picture}}
+
+
+\begin{figure}[p]
+  \vspace{-1.5cm}
+  \begin{center}
+    \pFraktal{1l1}{0}{1}{1}
+    \pFraktal{2l1}{0.45}{0.55}{1}
+    \bigskip
+    \pFraktal{3l1}{0.495}{0.505}{1}
+    \pFraktal{4l1}{0.4995}{0.5005}{1}
+    \bigskip
+    \pFraktal{5l1}{0.49995}{0.50005}{1}
+    \pFraktal{6l1}{0.499995}{0.500005}{1}
+  \end{center}
+  \caption{$p_\protect\aus$ als Funktion von $p_\protect\ein$
+           für $\lambda = 1$}
+  \smallskip\noindent
+  Jedes Diagramm stellt jeweils die 10-fache Ausschnittvergrößerung des
+  vorhergehenden dar. Die Funktion ist ein Fraktal: Trotz der Vergrößerung
+  werden die Strukturen nicht zu einer klaren Linie, sondern es treten immer
+  feinere Strukturen zutage.
+  \label{pFrak1}
+\end{figure}
+
+
+\begin{figure}[p]
+  \vspace{-0.5cm}
+  \begin{center}
+    \pFraktal{1l3}{0}{1}{4}
+    \pFraktal{2l3}{0.45}{0.55}{4}
+    \bigskip
+    \pFraktal{3l3}{0.495}{0.505}{4}
+    \pFraktal{4l3}{0.4995}{0.5005}{4}
+    \bigskip
+    \pFraktal{5l3}{0.49995}{0.50005}{4}
+    \pFraktal{6l3}{0.499995}{0.500005}{4}
+  \end{center}
+  \caption{$p_\protect\aus$ als Funktion von $p_\protect\ein$
+           für $\lambda = 3$} 
+  \smallskip\noindent
+  Jedes Diagramm stellt wiederum eine 10-fache Ausschnittvergrößerung des
+  vorhergehenden dar, und die Struktur ist fraktal.
+  \label{pFrak3}
+\end{figure}
+
+
+\section[Die \protect\name{Poincaré}-Abbildung]{Die \Name{Poincaré}-Abbildung}
+
+Die Gleichungen~\ref{Poincare} beschreiben eine Abbildung, die einen Punkt
+$(x_n,p_n)$ im Phasenraum auf den nächsten Punkt $(x_{n+1},p_{n+1})$ eine
+Periode später abbildet. Um einen Überblick über die Eigenschaften dieser
+Abbildung zu erhalten, insbesondere die Stabilität von Trajektorien mit
+unterschiedlichen Anfangsbedingungen $(x_0,p_0)$, können wir die Abbildung auf
+viele Teilchen mit zufällig gewählten Anfangsbedingungen iterativ anwenden und
+die erhaltenen Punkte in ein Phasenraumdiagramm eintragen. Wir erhalten einen
+Graphen (Abb.~\ref{KAM}), der wie ein \name{Poincaré}-Schnitt aussieht.
+
+
+\begin{figure}[b]
+  \begin{center}
+    \phr{kam10m10}{$\lambda = 1$: Stabilitätsinsel}
+    \phr{kam30m10}{$\lambda = 3$: vollständiges Chaos}
+  \end{center}
+  \caption{\protect\name{Poincaré}-Schnitte}
+  \label{KAM}
+\end{figure}
+
+
+In der Tat können wir den Phasenraum als \name{Poincaré}-Schnitt in einen
+erweiterten Phasenraum einbetten, indem wir den Zeitpunkt innerhalb einer
+Periode als neue Winkelvariable einführen, wie es von K.~\name{Yajima}
+\cite{Y77} und J.~S.~\name{Howland} \cite{H79} allgemein durchgeführt wurde.
+Das Potential hängt dann nur noch von dieser Winkelvariablen ab und nicht mehr
+von der formalen Zeit. Das System wird so zu einem zweidimensionalen,
+zeitunabhängigen Streusystem, dessen Phasenraum ein vierdimensionaler Torus
+ist. Im Sinne dieser Einbettung handelt es sich bei den
+Gleichungen~\ref{Poincare} um eine \name{Poincaré}-Abbildung, so daß wir das
+{\em KAM-Theorem} (\name{Kolmogorov}, \name{Arnold}, \name{Moser}) und den
+zugehörigen Formalismus anwenden können \cite{Graham}.
+
+In Abb.~\ref{KAM} erkennen wir für $\lambda = 1$ geschlossene Kurven innerhalb
+eines chaotischen Bereichs. Es handelt sich hierbei um {\em KAM-Tori}, welche
+auf eine reguläre Dynamik in der Umgebung des Nullpunktes hinweisen und den
+Fixpunkt im Nullpunkt des Phasenraums als {\em elliptischen Fixpunkt} der
+\name{Poincaré}-Abbildung ausweisen. Dieser Bereich mit regulärer Dynamik wird
+im folgenden als {\em Stabilitätsinsel\/} bezeichnet.
+
+% Am Rand der Stabilitätsinsel finden wir des weiteren zwei {\em elliptische
+% periodische Punkte\/} 5-ter Ordnung.
+
+Für $\lambda = 3$ ist die Stabilitätsinsel verschwunden, und der Nullpunkt ist
+ein {\em hyperbolischer} Fixpunkt. Dieser Fall wird im folgenden als {\em
+vollständig chaotischer Fall\/} bezeichnet, auch wenn möglicherweise noch
+elliptische periodische Punkte existieren.
+
+
+\begin{figure}[b]
+  \begin{center}
+    \phr{phr10}{$\lambda = 1$: Stabilitätsinsel}
+    \phr{phr30}{$\lambda = 3$: vollständiges Chaos}
+  \end{center}
+  \caption{\protect\name{Poincaré}-Schnitte bei Streuung}
+  \label{Insel}
+\end{figure}
+
+
+Die Stabilitätsinsel ist durch einen äußersten KAM-Torus scharf begrenzt. Da
+KAM-Tori für die Trajektorien klassischer Teilchen unpassierbar sind,
+erscheint die Stabilitätsinsel als ein "`Loch im Phasenraum"', wenn wir
+Partikel von außerhalb einfallen lassen. Im vollständig chaotischen Fall
+hingegen kann jeder Punkt im Phasenraum von Teilchen erreicht werden, die mit
+geeigneten Anfangsbedingungen außerhalb der Stabilitätsinsel gestartet wurden.
+
+Abb.~\ref{Insel} illustriert dieses Phänomen. Für einen fest gewählten
+Anfangsimpuls $p_\ein$ wurden Teilchen mit Anfangskoordinaten $x_\ein$ aus
+einem Intervall der Länge $p_\ein$ durchgerechnet. Im Fall $\lambda = 1$ tritt
+die Stabilitätsinsel als Bereich hervor, in den keines der Teilchen eindringen
+konnte. Der "`chaotische Bereich"' um die Stabilitätsinsel herum hingegen wurde
+selbst bei nur einem Anfangsimpuls $p_\ein$ weitgehend ausgefüllt.
+
+Im Fall $\lambda = 3$ wird ebenfalls ein "`chaotischer Bereich"' des
+Phasenraums von den Trajektorien weitgehend ausgefüllt, es bleibt aber kein
+"`Loch"' im Zentrum frei.
+
+
+\section{Die Verweilzeit im Streuzentrum}
+
+In einem Computerexperiment starten wir ein Teilchen an einem Ort $x_0$ in
+"`weiter Entfernung"' vom Streuzentrum und berechnen seine Zeitentwicklung so
+lange, bis es sich wieder "`weit genug"' vom Streuzentrum entfernt hat. Wenn
+es darum geht, die Verweilzeit $\Delta t$ im Streuzentrum zu definieren, so
+ist der erste Gedanke, einfach die Anzahl $n$ der Iterationen zu nehmen. Diese
+Definition unterliegt jedoch einer gewissen Willkür, da die Ausdehnung des
+Streuzentrums nicht von Natur aus festliegt, sondern ebenfalls nur mit einer
+gewissen Willkür definiert werden kann. Im folgenden wird eine Definition der
+Verweilzeit $\Delta t$ im Streuzentrum gegeben, die von der Definition der
+Ausdehnung des Streuzentrums unabhängig ist.
+
+Zu diesem Zwecke legen wir zunächst $x_0$ auf einen Ort fest, an dem die
+Wirkung des Potentials vernachlässigt werden kann. In diesem Fall dürfen wir
+$x_0$ mit dem in Gleichung~\ref{xEin} definierten $x_\ein$ gleichsetzen und
+ebenso $p_0$ mit $p_\ein$:
+\begin{equation}
+  x_\ein = x_0, \qquad p_\ein = p_0. 
+\end{equation}
+Wir wählen nun die Abbruchbedingung für unsere Iterationen derart, daß am Ende
+des Experiments wieder näherungsweise ein freies Teilchen vorliegt, so daß der
+Impuls $p_n$ gleich dem asymptotischen Impuls $p_\aus$ ist:
+\begin{equation}
+  p_\aus = p_n.
+\end{equation}
+Die durch Gleichung~\ref{xAus} definierte Endkoordinate ist nun derjenige Ort,
+an dem ein freies Teilchen $n$ Perioden vorher gestartet worden sein müßte, um
+zum Zeitpunkt $t = n$ an der Stelle $x_n$ einzutreffen:
+\begin{equation}
+  x_\aus = x_n - n p_n.
+\end{equation}
+Wie haben nun die willkürlichen Anfangs- und Endkoordinaten und -impulse
+$x_0$, $p_0$, $x_n$ und $p_n$ auf die von den willkürlichen Start- und
+Abbruchbedingungen unabhängigen Größen $x_\ein$, $p_\ein$, $x_\aus$ und
+$p_\aus$ umgerechnet. Mit Hilfe dieser Größen können wir nun eine Ein- und
+Austrittszeit definieren:
+\begin{equation}
+  t_\ein := - \frac{x_\ein}{p_\ein}, \qquad
+  t_\aus := - \frac{x_\aus}{p_\aus}.
+\end{equation}                                           
+Die Differenz dieser Zeiten liefert uns eine von der Wahl der Start- und
+Abbruchbedingungen unabhängige Definition der Verweilzeit $\Delta t$:
+\begin{eqnarray}
+  \Delta t & := & t_\aus - t_\ein
+        = \frac{x_\ein}{p_\ein} - \frac{x_\aus}{p_\aus} \nonumber \\
+    & = & \frac{x_0}{p_0} - \frac{x_n - np_n}{p_n} 
+        = \frac{x_0}{p_0} - \frac{x_n}{p_n} + n.
+\end{eqnarray}
+
+\breath
+
+Eine für die Charakterisierung des Systems und für semiklassische
+Untersuchungen wichtige Größe ist die Wahrscheinlichkeitsdichte $P(E,t)$, ein
+Teilchen mit der Energie $E$ zu finden, dessen Verweilzeit $\Delta t$ im
+Streuzentrum eine vorgegebene Zeit $t$ übersteigt. Diese Größe wird im
+folgenden als {\em Verweilrate} bezeichnet.
+
+Für ein vollständig chaotisches System fällt die Verweilrate für
+festgehaltenes $E$ bei langen Zeiten $t$ exponentiell mit $t$ ab \cite{JT91}:
+\begin{equation}
+  P(E,t) \sim e^{-\kappa t}.
+  \label{expAbf}
+\end{equation}
+In den hier betrachteten Systemen gibt es für nicht zu große $\lambda$ einen
+elliptischen Fixpunkt und eine Stabilitätsinsel, was zu einem algebraischen
+Abfallen führt \cite{K83,MO85}:
+\begin{equation}
+  P(E,t) \sim t^{-\gamma}.
+  \label{ratAbf}
+\end{equation}
+
+Abbildung~\ref{VeRa} liefert einen numerischen Beleg für die Gültigkeit der
+Gleichungen \ref{expAbf} und \ref{ratAbf} für unser System.
+
+
+\begin{figure}[htbp]
+  \begin{picture}(6.5,7)(0,0)
+    \put(1.21,6.29){\myincludegraphics{vera1b.png}}
+    \put(1.25,1.75){\vector(0,1){4.8}}
+    \multiput(1.25,1.75)(0,0.8){6}{\line(-1,0){0.15}}
+    \put(1.5,6.5){\makebox(0,0)[tl]{$\log_{10}p(E,t)$}}
+    \put(0.9,5.75){\makebox(0,0)[r]{\footnotesize $0$}}
+    \put(0.9,1.75){\makebox(0,0)[r]{\footnotesize $-5$}}
+    \put(1.25,1.75){\vector(1,0){5.4}}
+    \multiput(1.25,1.75)(1.25,0){5}{\line(0,-1){0.15}}
+    \put(6.25,1.45){\makebox(0,0)[t]{\footnotesize $4$}}
+    \put(3.75,1.45){\makebox(0,0)[t]{\footnotesize $3$}}
+    \put(1.25,1.45){\makebox(0,0)[t]{\footnotesize $2$}}
+    \put(6.5,0.80){\makebox(0,0)[br]{$\log_{10}t$}}
+    \put(3.5,0.5){\makebox(0,0)[b]{$\lambda = 1$}}
+  \end{picture}
+  \begin{picture}(6.5,7)(0,0)
+    \put(1.21,6.29){\myincludegraphics{vera3a.png}}
+    \put(1.25,1.75){\vector(0,1){4.8}}
+    \multiput(1.25,1.75)(0,0.8){6}{\line(-1,0){0.15}}
+    \put(1.5,6.5){\makebox(0,0)[tl]{$\log_{10}p(E,t)$}}
+    \put(0.9,5.75){\makebox(0,0)[r]{\footnotesize $0$}}
+    \put(0.9,1.75){\makebox(0,0)[r]{\footnotesize $-5$}}
+    \put(1.25,1.75){\vector(1,0){5.4}}
+    \put(1.25,1.75){\line(0,-1){0.15}}
+    \multiput(2.6786,1.75)(1.7857,0){3}{\line(0,-1){0.15}}
+    \put(6.25,1.45){\makebox(0,0)[t]{\footnotesize $150$}}
+    \put(4.4643,1.45){\makebox(0,0)[t]{\footnotesize $100$}}
+    \put(2.6786,1.45){\makebox(0,0)[t]{\footnotesize $50$}}
+    \put(1.25,1.45){\makebox(0,0)[t]{\footnotesize $10$}}
+    \put(6.5,0.80){\makebox(0,0)[br]{$t$}}
+    \put(3.5,0.5){\makebox(0,0)[b]{$\lambda = 3$}}
+  \end{picture}
+  \caption{Verhalten der Verweilrate für große $t$ bei $E = 0.1$}
+  \smallskip\noindent
+  Man beachte die unterschiedliche Skalierung der $t$-Achse für $\lambda = 1$
+  und $\lambda = 3$.
+  \label{VeRa}
+\end{figure}